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\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N� 881854607023--
%%--Etudes de fonctions et probabilit�s--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{center}
\textbf{Mai 1998 Terminale S Obligatoire \\[0pt]Premi\`{e}re partie avec
calculatrice \\[0pt]Probl\`{e}me (11 points)}
\end{center}

\textbf{Avertissement : l'usage d'une calculatrice n'est pas n\'{e}cessaire
pour traiter la partie C.}

On consid\`{e}re la fonction d\'{e}finie sur $\mathbb{R}_{+}^{*}$ par
$f(x)=x\ln x -2 \ln x -(\ln x)^{2}$, \newline on note $f^{\prime}$ sa fonction
d\'{e}riv\'{e}e et $g$ la fonction d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par
$g(x)=2x$.\newline Dans un rep\`{e}re orthogonal donn\'{e}, on appelle
$\Gamma$ la repr\'{e}sentation graphique de $f$, $\Gamma^{\prime}$ la
repr\'{e}sentation graphique de $f^{\prime}$, et $\Delta$ celle de
$g$.\newline

Voir figure 1 ces trois courbes sur l'\'{e}cran d'une calculatrice pour $x$
compris entre $0$ et $5$.

\textbf{A - Etude de $f$}

\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer $\lim_{x \to O^{+}}f(x)$.

\item Montrer que $f^{\prime}(x) = (1- \frac{2}{x})(1+ \ln x)$.

\item En d\'{e}duire le sens de variation de f.

\item Montrer que l'\'{e}quation $f(x)=0$ admet trois solutions. \newline
Donner un encadrement de longueur $10^{-2}$ pour les deux solutions non enti\`{e}res.
\end{enumerate}

\textbf{B - Intersection des repr\'{e}sentations graphiques de $f$ et de $g$}

\begin{enumerate}
\item Reproduire sur la copie et compl\'{e}ter le tableau des valeurs suivant
en donnant les r\'{e}sultats \`{a} $10^{-2}$ pr\`{e}s.\newline%
\begin{tabular}
[c]{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
Point de $\Gamma$ & $A$ & $B$ & $C$ & $D$ & $E$ & $F$ & $G$ & $H$ & $I$ &
$J$\\\hline
$x$ & $0,05$ & $0,25$ & $e^{-1}$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ &
$7$\\\hline
$f(x)$ &  &  &  &  &  &  &  &  &  & \\\hline
\end{tabular}


\item On veut d\'{e}terminer si la courbe repr\'{e}sentative de $f$ coupe la
droite $\Delta$ pour $0<x<7$. Que peut-on, \`{a} l'aide de sa calculatrice,
conjecturer ? \newline Pr\'{e}ciser les \'{e}l\'{e}ments qui permettent de
faire cette conjecture. (noter le type de calculatrice utilis\'{e}e).

\item On s'int\'{e}resse aux solutions de l'\'{e}quation $f(x)=g(x)$
appartenant \`{a} l'intervalle $[7 ; +\infty[$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f^{\prime}$ est une fonction croissante sur $[7 ; +\infty[
$.

\item En d\'{e}duire que $f^{\prime}(x)>2,1$ pour tout $x$ appartenant \`{a}
$[7 ; +\infty[$.

\item Montrer que l'\'{e}quation $f(x)=g(x)$ admet une solution unique sur $[7
; +\infty[$. (on pourra utiliser le sens de variation de la fonction $h$
d\'{e}fine sur $[7 ; +\infty[$ par : $h(x)=f(x)-2x$ ).
\end{enumerate}

\textbf{Dans la suite, on notera $\alpha$ cette solution.}

\item Mise en \'{e}vidence de $\alpha$ sur un graphique. \newline Choisir un
nombre entier $a$ tel que $a<\alpha< a+5$. \newline Sur papier
millim\'{e}tr\'{e}, on trace un carr\'{e} de $10 cm$ de c\^{o}t\'{e}.\newline
Le sommet inf\'{e}rieur gauche repr\'{e}sentera le point de coordonn\'{e}es
$(a;2a)$ et le sommet diagonalement oppos\'{e} le point de coordonn\'{e}es
$(a+5;2(a+5))$.\newline Tracer dans ce carr\'{e} $\Gamma$ et $\Delta$.
\newline Mettre le nombre $\alpha$ en \'{e}vidence sur le graphique et en
donner une valeur approch\'{e}e.
\end{enumerate}

\textbf{C - Calcul de probabilit\'{e}.}

Dans cette partie, on se r\'{e}f\`{e}re au tableau des valeurs construit dans
la partie B.1) \newline Les trois questions sont ind\'{e}pendantes. \newline
Pour chacune des trois questions, les choix effectu\'{e}s sont \'{e}quiprobables.

\begin{enumerate}
\item On place les $4$ points $A$, $C$, $H$ et $J$ dans un rep\`{e}re, et on
les relie \`{a} l'aide de $3$ segments formant une ligne bris\'{e}e continue
(par exemple la ligne bris\'{e}e $AHJC$).

\begin{enumerate}
\item Combien de lignes bris\'{e}es diff\'{e}rentes peut-on former ainsi
?\newline($AHJC$ et $CJHA$ repr\'{e}sentent la m\^{e}me ligne bris\'{e}e)

\item On choisit l'une de ces lignes bris\'{e}es. \newline Quelle est la
probabilit\'{e} d'obtenir la repr\'{e}sentation graphique d'une fonction ?
\end{enumerate}

\item On choisit cinq points parmi les dix du tableau ; on les relie suivant
l'ordre de leurs abscisses croissantes, \`{a} l'aide de segments formant une
ligne bris\'{e}e.\newline Quelle est la probabilit\'{e} d'obtenir une ligne
qui ne coupe pas l'axe des abscisses ? (le point $D$ peut \^{e}tre choisi).

\item On choisit cinq points cons\'{e}cutifs parmi les dix (par exemple
$BCDEF$).

\begin{enumerate}
\item Combien y-a-t-il de possibilit\'{e}s ?

\item On \'{e}change l'abscisse et l'ordonn\'{e}e de chacun de ces cinq
points.\newline Les nouveaux points ainsi obtenus sont joints \`{a} l'aide de
segments dans l'ordre de leurs ordonn\'{e}es croissantes.\newline Quelle est
la probabilit\'{e} d'obtenir la repr\'{e}sentation graphique d'une fonction ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Figure 1 (courbes $\Gamma$, $\Gamma^{\prime}$ et $\Delta$) :Non
disponibles}
\end{center}


\end{document}