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\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 13128898814399--
%%--National 2000--
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\begin{center}
{\LARGE {\textbf{National 2000 Série S}}}

\bigskip

{\LARGE {\textbf{Enoncé}}}

\bigskip
\end{center}

\begin{exercise}
[4 points -commun à tous les candidats-]\textbf{Les résultats numériques
seront donnés sous forme de fractions. }\newline

Dans une classe de 30 élèves sont formés un club photo et un club thêatre. Le
club photo est composé de 10 membres, le club thêatre de 6 membres. Il y a
deux élèves qui sont membres des deux clubs à la fois. On note $\overline{A}$
l'événement contraire de l'évènement $A$ et $p(A/B)$ la probabilité
conditionnelle de $A$ sachant que $B$ est réalisé.

\begin{enumerate}
\item On interroge un élève de la classe pris au hasard.\newline On appelle
$P$ l'événement ''~l'élève fait partie du club photo~'' et $T$ l'événement
''~l'élève fait partie du club thêatre~''.\newline Montrez que les événements
$P$ et $T$ sont indépendants.

\item Lors d'une séance du club photo, les 10 membres sont tous présents.

Un premier élève est tiré au sort. Il doit prendre la photo d'un autre membre
du club qui sera lui aussi tiré au sort.

\begin{enumerate}
\item On appelle $T_{1}$ l'événement '' le premier élève appartient au club
thêatre ''. Calculez $p(T_{1})$.

\item On appelle $T_{2}$ l'événement '' l'élève pris en photo appartient au
club thêatre ''. Calculez $p(T_{2}/T_{1})$, puis $p(T_{2}/\overline{T_{1}})$.
En déduire $p(T_{2}\cap T_{1})$ et $p(T_{2}\cap\overline{T_{1}})$. ( On pourra
éventuellement utiliser un arbre. )

\item Montrer que la probabilité que l'élève pris en photo appartienne au club
thêatre est $0,2$.
\end{enumerate}

\item Toutes les semaines on recommence de façon indépendante la séance de
photographie avec tirage au sort du photographe et du photographié. Le même
élève peut être photographié plusieurs semaines de suite. Calculer la
probabilité qu'au bout de 4 semaines, aucun membre du club thêatre n'ait été photographié.
\end{enumerate}

\bigskip
\end{exercise}

\begin{exercise}
[5 points -candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité-]Dans le
plan complexe rapporté au repère orthonormal direct $\left(
O\,;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)  $,unité graphique 4 cm, on
considère les points $A$ d'affixe $z_{A}=1$ et $B$ d'affixe $z_{B}=2$.\newline
Soit un réel $\theta$ appartenant à l'intervalle $\left]  0,\pi\right[
$.\newline On note $M$ le point d'affixe%
\[
z=1+e^{2i\theta}%
\]


\begin{enumerate}
\item Montrer que le point $M$appartient au cercle $\mathcal{C}$ de centre $A
$ et rayon 1.

\item Exprimer l'angle $\left(  \overrightarrow{AB},\overrightarrow
{AM}\right)  $ en fonction de $\theta$.\newline En déduire l'ensemble $E$ des
points $M$ quand $\theta$ décrit l'intervalle $\left]  0,\pi\right[  $.

\item On appelle $M^{\prime}$ l'image de $M$ par la rotation de centre $O$ et
d'angle $-2\theta$ et on note $z^{\prime}$ l'affixe de $M^{\prime}$. Montrer
que $z^{\prime}=\overline{z}$, puis que $M^{\prime}$ appartient à
$\mathcal{C}$.

\item Dans toute la suite on choisit $\theta=\dfrac{\pi}{3}$.\newline On
appelle $r$ la rotation de centre $O$ et d'angle $-\dfrac{2\pi}{3}$ et
$A^{\prime}$ l'image de $A$ par $r$.

\begin{enumerate}
\item Définir l'image $\mathcal{C}^{\prime}$ du cercle $\mathcal{C}$ par
$r$.\newline Placer sur une figure $A$, $B$, $\mathcal{C}$, $M$,
$\mathcal{C}^{\prime}$ puis le point $M^{\prime}$ image de $M$ par $r$.

\item Montrer que le triangle $AMO$ est équilatéral.

\item Montrer que $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}^{\prime}$ se coupent en $O$ et
$M^{\prime}$.

\item Soit le point $P$ symétrique de $M$ par rapport à $A$.\newline Montrer
que $M^{\prime}$ est le milieu de $\left[  A^{\prime}P\right]  $.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[Problème 11 points]Dans tout le problème le plan est rapporté à un repère
orthonormal $\left(  O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)  $ (~
unité graphique~: 5cm~).%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie A}{\subsection*{Partie A}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie A}%
%EndExpansion


On considère la fonction $f_{1}$ définie sur $\left[  0,+\infty\right[  $ par%
\[
f_{1}(x)=xe^{-x^{2}}%
\]
et on appelle $\mathcal{C}_{1}$ sa courbe représentative.

\begin{enumerate}
\item Montrez que pour tout réel positif $x$,
\[
f_{1}^{\prime}(x)=e^{-x^{2}}-2x^{2}e{-x^{2}}%
\]
En déduire le sens de variation de $f_{1}$.

\item Calculez la limite de $f_{1}$ en $+\infty$ ( on pourra poser $u=x^{2}$)
Interpréter graphiquement ce résultat.

\item Dresser le tableau de variation de $f_{1}$.

\item On apelle $\Delta$ la droite d'équation $y=x$. Déterminez la position de
$\mathcal{C}_{1}$ par rapport à $\Delta$.

\item Tracez $\mathcal{C}_{1}$ et $\Delta$.
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie B}{\subsection*{Partie B}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie B}%
%EndExpansion


On considère la fonction $f_{3}$ définie sur $\left[  0,+\infty\right[  $ par
\[
f_{3}(x)=x^{3}e^{-x^{2}}%
\]
et on appelle $\mathcal{C}_{3}$ sa courbe représentative.

\begin{enumerate}
\item Montrez que pour tout réel positif $x$, $f_{3}^{\prime}(x)$ a même signe
que $\left(  3-2x^{2}\right)  $. En déduire le sens de variation de $f_{3}$.

\item Déterminez les positions relatives de $\mathcal{C}_{1}$ et
$\mathcal{C}_{3}$.

\item Tracer $\mathcal{C}_{3}$ dans le même repère que $\mathcal{C}_{1}$ (~on
admettra que $\mathcal{C}_{3}$ a la même asymptote que $\mathcal{C}_{1}$ en
$+\infty$~).

\item On appelle $D$ la droite d'équation $x=1$. Soit $A_{1}$ l'aire en unités
d'aire du domaine limité par la courbe $\mathcal{C}_{1}$, les deux axes de
coordonnées et la droite $D$ et soit $A_{3}$ l'aire en unités d'aire du
domaine limité par la courbe $\mathcal{C}_{3}$, les deux axes de coordonnées
et la droite $D$.

\begin{enumerate}
\item Calculez $A_{1}$.

\item Á l'aide d'une intégration par parties, montrez que
\[
A_{3}=-\dfrac{1}{2e}+A_{1}%
\]

\end{enumerate}
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie C}{\subsection*{Partie C}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie C}%
%EndExpansion


On désigne par $n$ un entier naturel non nul et on considère la fonction
$f_{n}$ définie sur $\left[  0,+\infty\right[  $ par
\[
f_{n}\left(  x\right)  =x^{n}e^{-x^{2}}%
\]
On note $\mathcal{C}_{n}$ la courbe représentative de $f_{n}$ dans le repère
$\left(  O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)  $.

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout entier $n\geqslant1$, $f_{n}$ admet un maximum
pour $x=\sqrt{\dfrac{n}{2}}$. On note $\alpha_{n}$ ce maximum.

\item On apelle $S_{n}$ le point de $\mathcal{C}_{n}$ d'abscisse $x=
\sqrt{\dfrac{n}{2}}$. Montrer que, pour tout $n$, $\mathcal{C}_{n}$ passe par
$S_{2}$. Placer $S_{1}$, $S_{2}$, $S_{3}$ sur la figure.

\item Soit la fonction $g$ définie sur $\left]  0,+\infty\right[  $ par
\[
g(x)=e^{\frac{x}{2}\left[  -1+\ln\left(  \frac{x}{2}\right)  \right]  }%
\]
c'est à dire%
\[
g(x)=\exp\left[  \dfrac{x}{2}\left(  -1+\ln\left(  \dfrac{x}{2}\right)
\right)  \right]
\]


\begin{enumerate}
\item Étudier le sens de variation de $g$.

\item Montrer que pour tout entier $n\geqslant1$, $\alpha_{n}=g(n)$.\newline
En déduire que tout point $S_{n}$ a une ordonnée supérieure à celle de $S_{2}
$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}


\end{document}