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\DeclareMathOperator{\e}{e}
\begin{document}

%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 13121642551224--
%%--Asie 1999--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%


\begin{center}
{\LARGE ANNALES DE MATHEMATIQUES SERIE S}

{\LARGE ASIE 1999}

{\LARGE ENONCE }
\end{center}

\begin{exercise}
[4 points]Voici le tableau des principaux groupes sanguins des habitants de la
France :
\[%
\begin{tabular}
[c]{l|c|c|c|c|}\cline{2-5}
& O & A & B & AB\\\hline
\multicolumn{1}{|l|}{Rhésus +} & 35,0 \% & 38,1 \% & 6,2 \% & 2,8 \%\\\hline
\multicolumn{1}{|l|}{Rhésus -} & 9,0 \% & 7,2 \% & 1,2 \% & 0,5 \%\\\hline
\end{tabular}
\]
Dans cet exercice, les résultats numériques demandés seront, s'il y a lieu,
arrondis à 3 décimales.

\begin{enumerate}
\item L'objectif de cette question est de compléter à l'aide de données de ce
tableau l'arbre suivant, à recopier sur la copie.\newline%
%TCIMACRO{\TeXButton{arbre}{\hspace{1cm}
%\unitlength=0.8cm
%\begin{picture}(4,5.8)
%\put(0,2){\line(1,1){2}}
%\put(0,2){\line(1,-1){2}}
%\put(3,4){\line(4,1){4}}
%\put(3,4){\line(1,0){4}}
%\put(3,4){\line(2,-1){4}}
%\put(3,4){\line(4,-1){4}}
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%\put(3,0){\line(1,0){4}}
%\put(3,0){\line(2,-1){4}}
%\put(3,0){\line(4,-1){4}}
%\put(2.1,3.9){Rh+}
%\put(2.1,-0.2){Rh-}
%\put(0.1,3.5){$p_{1}=$?}
%\put(0.3,0.8){?}
%\put(7.2,-2.2){AB}
%\put(7.2,-1.2){B}
%\put(7.2,-0.1){A}
%\put(7.2,0.9){O}
%\put(7.2,1.9){AB}
%\put(7.2,2.8){B}
%\put(7.2,3.9){A}
%\put(7.2,4.9){O}
%\put(6,-1.5){?}
%\put(6,-0.7){?}
%\put(6,0.1){?}
%\put(6,0.8){?}
%\put(6,2.5){?}
%\put(6,3.3){?}
%\put(6,4.0){?}
%\put(5.56,5.0){$p_{2}=$?}
%\end{picture}
%}}%
%BeginExpansion
\hspace{1cm}
\unitlength=0.8cm
\begin{picture}(4,5.8)
\put(0,2){\line(1,1){2}}
\put(0,2){\line(1,-1){2}}
\put(3,4){\line(4,1){4}}
\put(3,4){\line(1,0){4}}
\put(3,4){\line(2,-1){4}}
\put(3,4){\line(4,-1){4}}
\put(3,0){\line(4,1){4}}
\put(3,0){\line(1,0){4}}
\put(3,0){\line(2,-1){4}}
\put(3,0){\line(4,-1){4}}
\put(2.1,3.9){Rh+}
\put(2.1,-0.2){Rh-}
\put(0.1,3.5){$p_{1}=$?}
\put(0.3,0.8){?}
\put(7.2,-2.2){AB}
\put(7.2,-1.2){B}
\put(7.2,-0.1){A}
\put(7.2,0.9){O}
\put(7.2,1.9){AB}
\put(7.2,2.8){B}
\put(7.2,3.9){A}
\put(7.2,4.9){O}
\put(6,-1.5){?}
\put(6,-0.7){?}
\put(6,0.1){?}
\put(6,0.8){?}
\put(6,2.5){?}
\put(6,3.3){?}
\put(6,4.0){?}
\put(5.56,5.0){$p_{2}=$?}
\end{picture}
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TeXButton{vskip}{\vskip2cm}}%
%BeginExpansion
\vskip2cm%
%EndExpansion
L'expérience consiste à choisir une personne au hasard dans la population
donnée\newline( les habitants de la France ).\newline On note Rh+ l'évènement
'' la personne a le facteur Rh+ ''\newline On note O l'évènement '' la
personne appartient au groupe O ''

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité $p_{1},$ c'est à dire $p\left(  \text{Rh+}%
\right)  .$ On détaillera le calcul effectué puis on reportera ce résultat
dans l'arbre.\newline Déterminer de même la probabilité $p_{2}$ ( en
détaillant les calculs ).

\item Compléter le reste de l'arbre, en remplaçant chaque point
d'interrogation par la probabilité correspondante ( il est inutile de
détailler les nouveaux calculs ).
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Comment peut-on, à partir de l'arbre complété, déterminer la probabilité
de O ?\newline Vérifier ce résultat à l'aide du tableau.

\item Quelle est la probabilité pour qu'une personne appartenant au groupe O
ait le facteur Rh+ ?
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item On considère $n$ personnes choisies au hasard dans la population donnée
( les habitants de la France ).\newline Calculer, en fonction de $n,$ la
probabilité $p$ pour qu'il y ait, parmi elles, au moins une personne du groupe O.

\item Calculer la plus petite valeur de $n$ pour laquelle on a $p\geqslant
0,999.\bigskip$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Pour tout nombre complexe $Z,$ on pose
\[
P\left(  Z\right)  =Z^{4}-1
\]


\begin{enumerate}
\item Factoriser $P\left(  Z\right)  .$

\item En déduire les solutions dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres
complexes de l'équation $P\left(  Z\right)  =0,$ d'inconnue $Z.$

\item Déduire de la question précédente les solutions dans $\mathbb{C}$ de
l'équation d'inconnue $z$ :
\[
\left(  \frac{2z+1}{z-1}\right)  ^{4}=1
\]


\item Le plan complexe $\left(  P\right)  $ est rapporté à un repère
orthonormal direct $\left(  O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)  $
( l'unité graphique est $5$ cm ).\newline Placer les points $A,$ $B$ et $C$
d'affixes respectives :
\[
a=-2\quad b=-\frac{1}{5}-\frac{3}{5}i\quad c=-\frac{1}{5}+\frac{3}{5}i
\]


\item Démontrer que les points $O,$ $A,$ $B$ et $C$ sont situés sur un cercle,
que l'on déterminera.
\end{enumerate}

\item Placer le point $D$ d'affixe $d=-\frac{1}{2}.$\newline Exprimer sous
forme trigonométrique le nombre complexe $z^{\prime}$ défini par :
\[
z^{\prime}=\frac{a-c}{d-c}%
\]
En déduire le rapport $\dfrac{CA}{CD}.$\newline Quelle autre conséquence
géométrique peut-on tirer de l'expression de $z^{\prime}$ ?\bigskip
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
[Problème: 11 points]%
%TCIMACRO{\TeXButton{Partie}{\subsection
%*{Partie A: Résolution de l'équation différentielle}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie A: Résolution de l'équation différentielle}%
%EndExpansion%
\[
\left(  E\right)  :y^{\prime}+y=x-1
\]


\begin{enumerate}
\item A l'aide d'une intégration par parties, calculer
\[
\int_{1}^{x}e^{t}\left(  t-1\right)  \,dt
\]


\item
\begin{enumerate}
\item Soit $z$ une fonction dérivable sur l'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres
réels. On pose
\[
f\left(  x\right)  =z\left(  x\right)  e^{-x}%
\]
Montrer que la fonction $f$ est solution de $\left(  E\right)  $ si et
seulement si pour tout $x$ de $\mathbb{R},$
\[
z^{\prime}\left(  x\right)  =e^{x}\left(  x-1\right)
\]


\item A l'aide de la première question, déterminer toutes les fonctions $z$
vérifiant pour tout $x$ de $\mathbb{R},$
\[
z^{\prime}\left(  x\right)  =e^{x}\left(  x-1\right)
\]


\item Déduire de la question précédente les solutions de $\left(  E\right)  .$

\item Déterminer la solution de $\left(  E\right)  $ pour laquelle l'image de
$1$ est $0.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie}{\subsection*{Partie B: Etude d'une fonction}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie B: Etude d'une fonction}%
%EndExpansion


Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par
\[
f\left(  x\right)  =x-2+e^{1-x}%
\]
Le plan est rapporté à un repère orthonormal $\left(  O;\vec{\imath}%
,\vec{\jmath}\right)  $ ( unité graphique : $1$ cm ). On désigne par $\left(
C_{f}\right)  $ la courbe représentative de $f.$

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Etudier le sens de variation de $f.$

\item Préciser $\lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(  x\right)  $ et
$\lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(  x\right)  .$
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que la droite $\left(  D\right)  ,$ d'équation $y=x-2$, est
asymptote à la courbe $\left(  C_{f}\right)  .$

\item Préciser la position de $\left(  C_{f}\right)  $ par rapport à $\left(
D\right)  .$
\end{enumerate}

\item Tracer $\left(  D\right)  $ et $\left(  C_{f}\right)  .$
\end{enumerate}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Partie}{\subsection*{Partie C: Calcul d'aires}}}%
%BeginExpansion
\subsection*{Partie C: Calcul d'aires}%
%EndExpansion


Soit $x_{0}$ un nombre réel strictement positif.

\begin{enumerate}
\item On considère le domaine limité par la courbe $\left(  C_{f}\right)  ,$
son asymptote $\left(  D\right)  $ et les droites d'équations $x=0$ et
$x=x_{0}.$ \newline Exprimer, à l'aide de $x_{0}$, l'aire $S_{1}$ de ce domaine.

\item On considère la fonction $g,$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g\left(
x\right)  =e^{1-x}.$

\begin{enumerate}
\item Etudier rapidement $g,$ puis tracer sa courbe représentative $\left(
C_{g}\right)  .$

\item Donner une interprétation, en terme d'aire, de l'intégrale ayant servie
au calcul de $S_{1}$ à l'aide de la courbe $\left(  C_{g}\right)  .$
\end{enumerate}

\item $A$ est le point de coordonnées $\left(  x_{0},0\right)  .$ \newline$B$
est le point de la courbe $\left(  C_{g}\right)  $ d'abscisse $x_{0}.$
\newline Soit $\left(  T\right)  $ la tangente à la courbe $\left(
C_{g}\right)  $ au point d'abscisse $x_{0}.$ \newline$C$ est le point
d'intersection de $\left(  T\right)  $ et de l'axe des abscisses.\newline
Déterminer les coordonnées de $C.$

\item Calculer ( en unités d'aire ) l'aire $S_{2}$ du triangle $ABC.$ Vérifier
que
\[
S_{1}+2S_{2}=e
\]

\end{enumerate}
\end{exercise}


\end{document}