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{   \theorembodyfont{\upshape}
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  \newtheorem{exercise}[Cexe]{Exercice}
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\newcounter{Ccorr}[section]
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{\Roman{Cprob}.}
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  \newtheorem{problem}[Cprob]{Problème}
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\newboolean{booltrou}
% \setboolean{booltrou}{true} % Décommenter pour remplacer par des pointillés.
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\newlength\htrou
\newlength\ltrou
\newcommand{\trou}[1]{%
  \ifthenelse{\boolean{booltrou}}{%
    \ifmmode% si on est en mode mathématique
    \ifinner% si on est en mode mathématique simple
    \sbox\boxtrou{\phantom{\ensuremath{#1}}}%
    \else% si on est en mode mathématique hors-texte
    \sbox\boxtrou{\phantom{\ensuremath{\displaystyle #1}}}%
    \fi%
    \else%Mode texte
    \sbox\boxtrou{\phantom{#1}}%
    \fi
    \settoheight{\htrou}{\usebox{\boxtrou}}%
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    \mbox{\parbox[][1.5\htrou][b]{1.75\ltrou}{\dotfill}}
  }{#1}}

\newcommand{\Euro}[1]{\unit[#1]{\geneuro{}}}
\renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}}
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\renewcommand{\theenumiii}{\roman{enumiii}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi)}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii)}}
\renewcommand{\labelenumiii}{\textbf{\theenumiii.}}

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\newenvironment{qcm}{%
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    {\setlength{\fboxrule}{.05em}\setlength{\fboxsep}{0pt}\fbox{\rule[-0.3em]{0pt}{1em}\hspace{1em}}}}
  \begin{itemize}}{\end{itemize}}

\newcommand{\allbold}[1]{\ifmmode\hbox{\bfseries\boldmath$#1$}\else{\bfseries\boldmath#1}\fi}

\newboolean{affduree}
\newboolean{bcalculatrice}
\newboolean{nominatif}

% \setboolean{nominatif}{true} % Décommenter pour mettre un champs Nom:.......
\newcommand{\titre}{Devoir (non surveillé) \no5}
\newcommand{\classe}{Seconde 5}
\setboolean{bcalculatrice}{true} % Décommenter si la calculatrice est autorisée.
\newcommand{\calculatricetrue}{}
\newcommand{\calculatricefalse}{}
\newcommand{\Date}{Le 19 décembre 2007}
% \setboolean{affduree}{true}
\newcommand{\duree}{Durée: $1^{\text{h}}$}
\newcommand{\pourle}{à rendre le 07 janvier 2008}
\newcommand{\etablissement}{Lycée {\sc Jules Fil}}
\newcommand{\discipline}{Mathématiques}
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  \lhead{\etablissement}
  \rhead{\discipline}
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  \rfoot{\thepage$/$\pageref{LastPage}}
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\begin{document}
%%%%%%%%%%b{gedeonInfo}%%%%%%%%%
%%--Document N° 123726098144574--
%%--Généralités sur les fonctions--
%%%%%%%%%%e{gedeonInfo}%%%%%%%%%
\thispagestyle{firstpage}\hspace*{0mm}\vspace*{-2cm}
\begin{center}
  \hrulefill
\end{center}
\noindent\begin{tabularx}{\textwidth}[t]{X>{\centering\arraybackslash}X>{\raggedleft\arraybackslash}X}
  \classe&{\large\titre}&\Date \\
  &&\\
  \ifthenelse{\boolean{nominatif}}{Nom:
    \makebox[0mm][l]{\makebox[50mm][l]{\dotfill}\;}}{}&%
  \ifthenelse{\boolean{affduree}}{\duree}{\pourle}&%
  \ifthenelse{\boolean{bcalculatrice}}{\calculatricetrue}{\calculatricefalse}
\end{tabularx}
\begin{center}
  \hrulefill%
  \ \scriptsize{\emph{\textbf
      {La qualité de la rédaction et la précision des raisonnements
        influent sur la notation}}\ }%
  \hrulefill%
\end{center}
\begin{exercise}\hspace*{0mm}
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\fbox{\includegraphics[scale=0.8]{include/courbe.pdf}}
\end{center}
% \vspace*{2cm}
On a repr\'{e}sent\'{e} ci-contre:
\begin{itemize}
\item La droite d'\'{e}quation $y=x;$

\item La courbe repr\'{e}sentative d'une fonction $f$ d\'{e}finie sur
l'intervalle $[1;8].$
\end{itemize}%
\end{multicols}%


\hspace{2cm}\textbf{Les questions suivantes seront r\'{e}solues par lecture
graphique.}

\begin{enumerate}
\item Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses \textbf{sans
justifier votre r\'{e}ponse}:\medskip%

\begin{tabular}
[c]{|c|l|}\hline
\textbf{Affirmations} & \textbf{Vrai ou faux}\\\hline
\multicolumn{1}{|l|}{$1$ a pour image $0$ par la fonction $f.$} &
\parbox{1.5cm}{
\setlength{\unitlength}{0.1cm}
\begin{picture}(3,6)
\end{picture}
}%
\\\hline
\multicolumn{1}{|l|}{$0$ a pour image $1$ par la fonction $f.$} &
\parbox{1.5cm}{
\setlength{\unitlength}{0.1cm}
\begin{picture}(3,6)
\end{picture}
}%
\\\hline
\multicolumn{1}{|l|}{$7$ est un ant\'{e}c\'{e}dent de $4$ par la fonction $f.
$} &
\parbox{1.5cm}{
\setlength{\unitlength}{0.1cm}
\begin{picture}(3,6)
\end{picture}
}%
\\\hline
\multicolumn{1}{|l|}{$3$ est un ant\'{e}c\'{e}dent de $4$ par la fonction $f.
$} &
\parbox{1.5cm}{
\setlength{\unitlength}{0.1cm}
\begin{picture}(3,6)
\end{picture}
}%
\\\hline
\multicolumn{1}{|l|}{$f(3)=4.$} &
\parbox{1.5cm}{
\setlength{\unitlength}{0.1cm}
\begin{picture}(3,6)
\end{picture}
}%
\\\hline
\multicolumn{1}{|l|}{$f(2)=5.$} &
\parbox{1.5cm}{
\setlength{\unitlength}{0.1cm}
\begin{picture}(3,6)
\end{picture}
}%
\\\hline
\multicolumn{1}{|l|}{$f(3)>f(5).$} &
\parbox{1.5cm}{
\setlength{\unitlength}{0.1cm}
\begin{picture}(3,6)
\end{picture}
}%
\\\hline
\multicolumn{1}{|l|}{$2.5$ a trois ant\'{e}c\'{e}dents par la fonction $f.$}
&
\parbox{1.5cm}{
\setlength{\unitlength}{0.1cm}
\begin{picture}(3,6)
\end{picture}
}%
\\\hline
\multicolumn{1}{|l|}{$0.5$ a un seul ant\'{e}c\'{e}dent par la fonction $f.$}
&
\parbox{1.5cm}{
\setlength{\unitlength}{0.1cm}
\begin{picture}(3,6)
\end{picture}
}%
\\\hline
\multicolumn{1}{|l|}{L'\'{e}quation $f(x)=3$ a au moins une solution dans
l'intervalle $[1;8].$} &
\parbox{1.5cm}{
\setlength{\unitlength}{0.1cm}
\begin{picture}(3,6)
\end{picture}
}%
\\\hline
\multicolumn{1}{|l|}{L'\'{e}quation $f(x)=x$ a au moins une solution dans
l'intervalle $[1;8].$} &
\parbox{1.5cm}{
\setlength{\unitlength}{0.1cm}
\begin{picture}(3,6)
\end{picture}
}%
\\\hline
\multicolumn{1}{|l|}{$f$ est croissante sur l'intervalle $[1;8].$} &
\parbox{1.5cm}{
\setlength{\unitlength}{0.1cm}
\begin{picture}(3,6)
\end{picture}
}%
\\\hline
\multicolumn{1}{|l|}{Si $x\in\lbrack4;5]$ alors $f(x)\leq x.$} &
\parbox{1.5cm}{
\setlength{\unitlength}{0.1cm}
\begin{picture}(3,6)
\end{picture}
}%
\\\hline
\multicolumn{1}{|l|}{Si $a$ et $b$ appartiennent \`{a} $[3;5]$ avec $a<b,$
alors $f(a)<f(b).$} &
\parbox{1.5cm}{
\setlength{\unitlength}{0.1cm}
\begin{picture}(3,6)
\end{picture}
}%
\\\hline
\end{tabular}


\item R\'{e}soudre graphiquement: $f(x)-f(3)>0;$ on donnera la solution sous
la forme d'un intervalle et on fera appara\^{\i}tre en couleur sur le
graphique la partie de la courbe correspondante.

\item R\'{e}soudre graphiquement: $f(x)\geq x;$ on donnera la solution sous la
forme d'un intervalle et on fera appara\^{\i}tre en couleur sur le graphique
la partie de la courbe correspondante.

\item Dresser le tableau de variation de $f.$\newpage
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
Le tableau ci-dessous indique les variations d'une fonction $f$ d\'{e}finie
sur $[-5;8]:$%

\[%
\begin{tabular}
[c]{c|c|ccc|ccc|ccc|ccc|c}%
$x$ & \multicolumn{2}{|c}{$-5$} &  & \multicolumn{2}{c}{$-3$} &  &
\multicolumn{2}{c}{$0$} &  & \multicolumn{2}{c}{$4$} &  &
\multicolumn{2}{c}{$8$}\\\hline
&  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  & \\
&  &  &  & \multicolumn{2}{c}{$0$} &  &  &  &  & \multicolumn{2}{c}{$10$} &  &
& \\
$f$ &  &  &
\parbox{1.5cm}{
\setlength{\unitlength}{0.1cm}
\begin{picture}(14,7)
\put(0,0){\vector(2,1){14}}
\end{picture}
}%
&  &  &
\parbox{1.5cm}{
\setlength{\unitlength}{0.1cm}
\begin{picture}(14,7)
\put(0,7){\vector(2,-1){14}}
\end{picture}
}%
&  &  &
\parbox{1.5cm}{
\setlength{\unitlength}{0.1cm}
\begin{picture}(14,7)
\put(0,0){\vector(2,1){14}}
\end{picture}
}%
&  &  &
\parbox{1.5cm}{
\setlength{\unitlength}{0.1cm}
\begin{picture}(14,7)
\put(0,7){\vector(2,-1){14}}
\end{picture}
}%
&  & \\
& \multicolumn{2}{|c}{$-2$} &  &  &  &  & \multicolumn{2}{c}{$-1$} &  &  &  &
& \multicolumn{2}{c}{$1$}%
\end{tabular}
\]


\begin{enumerate}
\item Dire si les affirmations suivantes sont vraies, fausses ou incertaines
\textbf{en expliquant votre r\'{e}ponse}.%

\begin{multicols}{2}


\begin{enumerate}
\item L'image de $0$ par $f$ est $-3.$

\item L'ant\'{e}c\'{e}dent de $-1$ par $f$ est $0.$

\item $-3$ n'a pas d'ant\'{e}c\'{e}dent par $f$.

\item $10$ n'a pas d'image par $f$.

\item $0$ admet exactement deux ant\'{e}c\'{e}dents par $f$.

\item $4$ admet exactement deux ant\'{e}c\'{e}dents par $f$.

\item $-1$ a deux images par $f$.

\item $f(-4)<0.$

\item $f(-4)\leq0.$

\item $f(-4)=-1.$

\item Si $x\in\lbrack-5;0]$ alors $f(x)\leq0.$

\item Si $f(x)\leq0$ alors $x\in\lbrack-5;0].$

\item $f(x)\leq0\Leftrightarrow x\in\lbrack-5;0].$

\item Si $x\in\lbrack-5;0]$ alors $f(x)\leq2.$

\item $f(-4)\leq f(-2).$

\item $f(-4)<f(5).$

\item $f$ admet un maximum de $4$ en $10.$

\item $f$ est major\'{e}e par $16.$

\item $f$ est minor\'{e}e par $-1.$

\item $f(-1)>f(-2).$

\item $f(2)>f(1).$

\item Si $f(x)\geq0$ alors $x\in\lbrack4;8].$

\item Si $f(x)=3$ alors $x\in\lbrack4;8].$

\item Si $x$ et $x^{\prime}$ sont dans $[0;4]$ avec $x<x^{\prime}$ alors
$f(x)<f(x^{\prime}).$

\item Si $x$ et $x^{\prime}$ sont dans $[4;8]$ avec $x<x^{\prime}$ alors
$f(x)<f(x^{\prime}).$

\item $f$ est croissante sur $[-5;-3]\cup\lbrack0;4].$
\end{enumerate}%
\end{multicols}%


\item Tracer dans un rep\`{e}re de votre choix ce qui pourrait \^{e}tre une
repr\'{e}sentation graphique de $f.$
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
Soit $f$ la fonction d\'{e}finie par $f(x)=\dfrac{3}{(1-x)^{2}}$ dont on note
$\mathcal{C}_{f}$ une repr\'{e}sentation graphique.

\begin{enumerate}
\item D\'{e}terminer le domaine de d\'{e}finition $\mathcal{D}_{f}$ de $f.$

\item D\'{e}terminer le sens de variation de $f$ sur $]-\infty;1[$ et sur
$]1;+\infty\lbrack.$

\item D\'{e}terminer l'ordonn\'{e}e du point $A$ de $\mathcal{C}_{f}$ ayant
pour abscisse $2.$

\item D\'{e}terminer les abscisses des deux points $B$ et $C$ de
$\mathcal{C}_{f}$ ayant pour ordonn\'{e}e $3.$

\item Le point $D$ de coordonn\'{e}es $\left(  \tfrac{5}{2};1.33\right)  $
appartient-il \`{a} $\mathcal{C}_{f}$?

\item Donner, sans explication, le plus grand des minorants $m$ de $f.$

$m$ est-il un minimum ?\newpage
\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
Dans les figures $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ et $6$ de la page \pageref{figures}, $ABCD$ est un carr\'{e} de
c\^{o}t\'{e} $1.$ $M$ est un point variable du segment $[AB].$

On pose $x=AM$ et l'on note:%
\begin{align*}
& f_{1}\text{ la fonction qui \`{a} }x\text{ associe l'aire de la
  surface grisée de la figure 1;}\\
& f_{2}\text{ la fonction qui \`{a} }x\text{ associe l'aire de la
  surface grisée de la figure 2;}\\
& \text{etc...}%
\end{align*}
Les graphes A, B, C , D et E repr\'{e}sentent l'aire de la surface
grisée en fonction de $x$ pour chacune des figures; autrement dit ce
sont les repr\'{e}sentations graphiques des fonctions pr\'{e}c\'{e}demment d\'{e}finies.

\begin{enumerate}
\item \label{item1} Calculer l'aire des surfaces grisées pour $x=0$, pour
  $x=\frac{1}{2}$ et pour $x=1$; \emph{on présentera les résultats
    sous forme de tableau}.
\item Associer \`{a} chaque figure le graphe lui correspondant.
\item Exprimer $f_{1}(x),$ $f_{2}(x),$ $f_{3}(x),$ $f_{4}(x),$
  $f_{5}(x)$ et $f_{6}(x)$ en fonction de $x$ et v\'{e}rifier que les
  images de $0$ et $1$ par ces fonctions correspondent aux valeurs
  trouvées à la question \ref{item1}).
\end{enumerate}%
\begin{exercise}
  Soit $f$ la fonction d\'{e}finie sur $%
  % TCIMACRO{\U{211d} }%
  % BeginExpansion
  \mathbb{R}
  % EndExpansion
  $ par: $f(x)=x^{2}-6x.$

  D\'{e}montrer que $f(x)$ admet un minimum de $-9$ pour une valeur de $x$ que
  l'on pr\'{e}cisera.
\end{exercise}
\newpage
\begin{figure}
  \centering
  \includegraphics[scale=0.8]{include/figures.pdf}\\[5mm]
  \includegraphics[scale=0.8]{include/graphes.pdf}
  \label{figures}
\end{figure}
\end{exercise}
\end{document}