%  En préambule,  les  sources metapost.  Si  vous lancez  latex  sur ce  fichier,  il vous  placera
% automatiquement le fichier .mp dans le répertoire courant. 
\begin{filecontents*}{primif.mp}
verbatimtex
%&latex
\documentclass{article}
\usepackage{itek}
\usepackage[utf8]{preambule}
\usepackage[scaled]{helvet} % With " scaled " option
\usepackage{eulervm} %
\begin{document}
etex

input newcourbes;
input couleur;
%input geometriesyr16;
%input TEX;

 
beginfig( 1)


% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% vardef fx(expr t)=
% t
% enddef;

% vardef fy(expr t)=
%                               % c'est la seule ligne à changer
% enddef;
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
repere(0,0,-.5,4.4,-0.5,3.7,2cm,2cm);
grad_x(1,1,0.4white);
grad_y(1,1,0.4white);

r_axes;
r_origine;
r_unites;
r_labelxy;
quad_xy(0.5,0.8white);
quadu_xy(0.6white);

pair m,n,p,q,r,s;
m:=r_p(0,1.5); n:=r_p(1,3.5); p:=r_p(2,2.5);
q:=r_p(3,1.5); r:=r_p(4,3.5); s:=r_p(3,1);


draw m{dir 70}..tension2.5..{dir0}n{dir0}..tension2.5..{dir300}p{dir300}..tension2.5..{dir0}q{dir0}..tension2.5..r{dir70} withpen pencircle scaled 1.5bp withcolor 0.7white;

dotlabel.lft(btex M etex,m );
dotlabel.top(btex N etex,n );
dotlabel.llft(btex P etex,p );
dotlabel.top(btex Q etex,q );
dotlabel.top(btex R etex,r );
dotlabel.llft(btex S etex,s );

draw r_droite(2,2.5,-1.5) dashed evenly withpen pencircle scaled 1.2bp;
drawdblarrow r_p(0.5,3.5)--r_p(1.5,3.5) withpen pencircle scaled 1.3bp;
drawdblarrow r_p(2.5,1.5)--r_p(3.5,1.5)withpen pencircle scaled 1.3bp;

label.urt(btex (D) etex,r_p(3.3,0.5) );

r_fin;
endfig;



end
\end{filecontents*}




\documentclass[10pt,a4paper,svgnames,landscape]{report}
\usepackage{etex}
\usepackage[height=170mm,width=265mm,left=1.5cm]{geometry}
%\usepackage[height=250mm,width=180mm]{geometry}
\usepackage[french,vlined,boxed]{algorithm2e}
\usepackage[kpfonts]{preambule}
\usepackage{monster2e}

%\usepackage{lmodern}
\graphicspath{{/home/moi/Figures/figuresTS/}{/home/moi/Photos/Maths/}{/home/moi/Photos/Tehessin/}}

\entete{Primitives}{Primitives}{T\up{ale}S4 - Lycée Jean \textsc{Perrin}}%g,


\begin{document}
\setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}




\setlength{\parindent}{0pt}



\psshadowbox*[fillcolor=MidnightBlue,framearc=.1]{%
\begin{minipage}{\textwidth}
\smallskip
{\color{green!20}\monster\bfseries\fontfamily{ugq}\selectfont \begin{center}
    Primitives\end{center}}
\smallskip
\end{minipage}
}
\vspace{1cm}



\begin{multicols}{2}




\exot{Primitives d'une fonction du type \mg{$u'\,u^n$}}

Si vous reconnaissez une forme du style $u'\,u^n$, alors une
primitive sera $\fr{u^{n+1}}{n+1}$.

Soit par exemple $$f(x)=\fr{3}{(x-1)^2}=3(x-1)^{-2}$$ Si nous
posons $$u(x)=x-1$$ alors $$u'(x)=1$$ donc
$$f(x)=3u'(x)\big(u(x)\big)^{-2}$$ et finalement
$$F(x)=3\fr{\big(u(x)\big)^{-2+1}}{-2+1}=3\fr{\big(u(x)\big)^{-1}}{-1}=-\fr{3}{x-1}$$


\exot{} $f$ est la fonction définie sur $I=[-1,8]$ par
$$f(x)=\fr{2x^3+8x^2+8x-3}{x^2+4x+4}$$
\been \item Prouvez que pour tout $x\in I$, $\
f(x)=2x-\fr{3}{(x+2)^2}$ \item \been \item Déduisez-en $une$
primitive $G$ de $f$ sur $I$. \item Calculez $la$ primitive $F$ de
$f$ telle que $F(0)=2$. \een \een

\exot{} \'Etudiez si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ \been \item
$f(x)=\fr{2x^2+8x-5}{(x^2+x+3)^2}\ $ et $\
F(x)=\fr{x^2-x+2}{x^2+x+3}\ $ avec $\ I=\bbr$

\item $f(x)=\fr{2x-3}{2x\sqrt{x}}\ $ et $\
F(x)=\fr{2x+3}{\sqrt{x}}\ $ avec $\ I=]0,+\infty[$ \item
$f(q)=\fr{3q-4}{\sqrt{2q-4}}\ $ et $\ F(q)=q\sqrt{2q-4}\ $ avec 
$I=]2,+\infty[ $



\een

\exot{} Le \textit{coût marginal} est la dérivée du \textit{coût
total}.

Le coût marginal d'un produit en milliers d'euros est défini sur
$[1,10]$ par
$$C_m(q)=q^2-10q+\fr{1}{q^2}+30$$
Déterminez le coût total sachant qu'il est de $10\,000$ euros pour $q=1$.

 \exot{} \been \item $f$ est la fonction définie sur $]2,+\infty[$
par $f(x)=-\fr{2}{(x-2)^2}$

Calculez une primitive $F$ de $f$ sur $]2,+\infty[$ \item $G$ est
la fonction définie sur $]2,+\infty[$ par $G(x)=\fr{3x-4}{x-2}$

Calculez la fonction dérivée de $G$. \item Que pouvez-vous en
déduire pour les fonctions $F$ et $G$~?

Vérifiez ce résultat en calculant $F(x)-G(x)$. \een




\exot{Reconnaître $\frac{u'}{2\sqrt{u}}$, $\frac{u'}{u^n}$,...}

Déterminez une primitive sur $\bbr$ de :

\begin{nliste}{3}

%\item $f : x\mapsto \dfrac{x}{x^2-4}$
\item $g : x\mapsto \dfrac{3x}{\sqrt{x^2-1}}$
\item $h : x\mapsto \dfrac{\E^x+3}{\bigl(\E^x+3x\bigr)^3}$
\item $k : x\mapsto \dfrac{1}{(ax+b)^2}$
\end{nliste}




\exot{Reconnaître $nu'u^n$, $u'\E^u$,...}

Déterminez une primitive sur $\bbr$ de


\begin{nliste}{2}


\item $f : x\mapsto \frac{\E^{\frac{1}{x}}}{x^2}$

\item $g : x\mapsto \E^{3x+2}$

\item $h : x\mapsto (2x+1)\E^{x^2+x+7}$

\item $k : x\mapsto \sin(3x)+3\cos(2x)$


\end{nliste}

\exot{} Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l'intervalle
$[0,4]$ dont la représentation graphique, dans un repère
orthonormal $(O,\ve{i},\ve{j})$ est la courbe $\CR$ ci-dessous

\begin{center}
  \includegraphics{primif.1}
\end{center}

Les points $M$, $N$, $P$, $Q$  et $R$ appartiennent à $\CR$. Les
coordonnées de $M$ sont $(0,3/2)$, celles de $N$ $(1,7/2)$, celles
de $P$ $(2,2/5)$ celles de $Q$ $(3,3/2)$ et celles de $R$
$(4,7/2)$.

La courbe $\CR$ admet en chacun des points $N$ et $Q$ une tangente
parallèle à l'axe des abscisses.

La droite $(D)$ est tangente à la courbe $\CR$ au point $P$; elle
passe par le point $S$ de coordonnées $(3,1)$. \been \item \been

\item Donnez par lecture graphique $f'(1)$, $f'(2)$ et $f'(3)$.
\item Déterminez une équation de la droite $(D)$. \een \item
Déterminez à l'aide du graphique le nombre de solutions de
l'équation $f(x)=3$ sur l'intervalle $[0,4]$. \item \been \item
Pour tout $x\in[0,4]$, on admet que $f'(x)=a(x-1)(x-3)$, $a$ étant
une constante réelle.

Déterminer $a$ à l'aide des résultats de la question 1)a).

\item Vérifiez que pour tout $x\in[0,4]$,
$f'(x)=\fr{3}{2}x^2-6x+\fr{9}{2}$.

Déterminez l'expression de $f(x)$ pour $x\in[0,4]$. \een\een


\end{multicols}
\end{document}
