
\documentclass[11pt,a4paper,svgnames,fleqn,openany,utf8x]{trmbook}

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\usepackage{fancyhdr,bclogo}
\usepackage{listings}

\let\Cross\undefined
\usepackage{bbding,picins}




\newcommand\ath[1]{\foreignlanguage{greek}{\athnum{#1}}}



\let\vert\undefined
\usepackage{mathabx}
\newcommand{\mathbfont}{\usefont{U}{mathb}{m}{n}}


\usepackage{akkadian}
\newcommand{\babun}{{\AKK\dish}}
\newcommand{\babdeux}{{\AKK\min}}
\newcommand{\babtrois}{{\AKK\eshV}}
\newcommand{\babquatre}{{\AKK\shaII}}
\newcommand{\babcinq}{{\AKK\iaII}}
\newcommand{\babsix}{{\AKK\ashIII}}
\newcommand{\babsept}{{\AKK\imin}}
\newcommand{\babhuit}{{\AKK\ussu}}
\newcommand{\babneuf}{{\AKK\geshilimmu}}
\newcommand{\babdix}{{\AKK\AKKu}}
\newcommand{\babvingt}{{\AKK\man}}
\newcommand{\babtrente}{{\AKK\esh}}
\newcommand{\babquarante}{{\AKK\ninV}}
\newcommand{\babcinquante}{{\AKK\ninnu}}

\usepackage{hieroglf}
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\newcommand{\hdix}{{\LARGE\pmglyph{\Hten}}}
\newcommand{\hcent}{{\LARGE\pmglyph{\Hhundred}}}
\newcommand{\hmil}{{\LARGE\pmglyph{\Hthousand}}}
\newcommand{\hdixmil}{{\LARGE\pmglyph{\HXthousand}}}
\newcommand{\hcentmil}{{\LARGE\pmglyph{\HCthousand}}}
\newcommand{\hmillion}{{\LARGE\pmglyph{\Hmillion}}}



\usepackage{CJK}
\newcommand\japonais[1]{\begin{CJK}{UTF8}{song}#1\end{CJK}}
\newcommand{\jzero}{\japonais{〇}}
\newcommand{\jun}{\japonais{一}}
\newcommand{\jdeux}{\japonais{二}}
\newcommand{\jtrois}{\japonais{三}}
\newcommand{\jquatre}{\japonais{四}}
\newcommand{\jcinq}{\japonais{五}}
\newcommand{\jsix}{\japonais{六}}
\newcommand{\jsept}{\japonais{七}}
\newcommand{\jhuit}{\japonais{八}}
\newcommand{\jneuf}{\japonais{九}}
\newcommand{\jdix}{\japonais{十}}
\newcommand{\jcent}{\japonais{百}}
\newcommand{\jmil}{\japonais{千}}
\newcommand{\jdixmil}{\japonais{万}}
\newcommand{\jdixiem}{\japonais{割}}
\newcommand{\jcentiem}{\japonais{分}}
\newcommand{\jmiliem}{\japonais{厘}}
\newcommand{\jcentmillion}{\japonais{おく}}
\newcommand{\jgiga}{\japonais{ちょお}}


%%%% un peu de giac/xcas

\makeatletter
\newcommand{\executGiacmp}[1]{
\immediate\write18{giac  <#1 } }
\makeatother

\begin{VerbatimOut}{XCASjaptex.cxx}
testjap(n):={
ifte(n=="0","zero",
ifte(n=="1","\\jun",ifte(n=="2","\\jdeux",ifte(n=="3","\\jtrois",ifte(n=="4","\\jquatre",ifte(n=="5","\\jcinq",ifte(n=="6","\\jsix",ifte(n=="7","\\jsept",ifte(n=="8","\\jhuit","\\jneuf"))))))))
)
}:;

japtex(n):={
puis:=["","\\jdix","\\jcent","\\jmil","\\jdixmil","\\jcentmil","\\jmillion","\\jdixmillion","\\jcentmillion","\\jmilliard","\\jdixmilliard","\\jcentmilliard","\\jgiga"]
n:=string(n);
N:=NULL;for(j:=0;j<size(n);j++){N:=N,n[j]};N:=[N];
NN:=NULL;for(k:=0;k<size(N);k++){NN:=NN,ifte(testjap(N[k])=="zero","",concat(testjap(N[k]),puis[size(N)-k-1]))};
L:="":;for(k:=0;k<size(NN);k++){L:=concat(L,NN[k])};
return(L);
}:;

japop(L):={
local r,n,m,opp;
n:=L[0];m:=L[1];opp:=L[2];
r:=expr(n+opp+m);
return(japtex(n)+"  "+opp+"  "+japtex(m)+"  =  "+japtex(r));
}

\end{VerbatimOut}



\begin{VerbatimOut}{XCASjaptex.giac}
maple_mode(0);
read("XCASjaptex.cxx");
Sortie:=fopen("XCASjaptex.tex");
donnees:=read("XCASjaptex.user");
donnees:=donnees[0];
Resultat:=cat("japtex(",donnees);
Resultat:=cat(Resultat,");");
Resultat:=expr(Resultat);
fprint(Sortie,Unquoted,Resultat);
fclose(Sortie);
\end{VerbatimOut}

\newenvironment{japtex}
{\VerbatimEnvironment\begin{VerbatimOut}{XCASjaptex.user}}
{\end{VerbatimOut}
           \executGiacmp{XCASjaptex.giac}

\input{XCASjaptex}
}



\begin{VerbatimOut}{XCASjapop.giac}
maple_mode(0);
read("XCASjaptex.cxx");
Sortie:=fopen("XCASjapop.tex");
donnees:=read("XCASjapop.user");
Resultat:=cat("japop(",donnees);
Resultat:=cat(Resultat,");");
Resultat:=expr(Resultat);
fprint(Sortie,Unquoted,Resultat);
fclose(Sortie);
\end{VerbatimOut}

\newenvironment{japop}
{\VerbatimEnvironment\begin{VerbatimOut}{XCASjapop.user}}
{\end{VerbatimOut}
           \executGiacmp{XCASjapop.giac}

\input{XCASjapop}
}





\newcommand\frbal[3]{\  {\Large{\textifsym{#1}}}\!\!\!
\raisebox{1ex}{\resizebox{8pt}{9pt}{$\frac{{\rm \textifsym{#2}}}{{\rm \textifsym{#3}}}$}}\,}

\usepackage{casio,ti83font,keystroke,xlop} 













\usepackage{tikz}

\usetikzlibrary{calc}
%\usepackage[xcas]{pro-courbes}
\usepackage[autolanguage]{numprint}
%\usepackage[french,vlined]{algorithm2e}
\usepackage{cclicenses}
\usepackage{cclicence}
%\usepackage{docacompleter}



% \newcommand{\cacheb}[1]{\dotfill\textcolor{white}{#1}\textcolor{white}{#1}}
% \newcommand{\cacheg}[1]{\dotfill\textcolor{0.9white}{#1}\textcolor{0.9white}{#1}} 

% \newcommand{\cachegg}[1]{\dots\dots\textcolor{0.8white}{#1}\textcolor{0.8white}{#1}} 
\newcolumntype{A}{>{\arraybackslash}X}

\usepackage{textcomp}
\usepackage{mathtools}
%\usepackage[xcas]{pro-statdiv}

\hypersetup{
pdftitle={Activités mathématiques en 1L}, % title
}



\graphicspath{{/home/moi/Figures/figuresTS/}{/home/moi/Photos/Tehessin/}{/home/moi/Figures/FigSTI/}{/home/moi/Alice/figures3/}{/home/moi/Alice/figures3/newcourbes/}{/home/moi/Alice/figures/}{/home/moi/Figures/figuresAlice/}{/home/moi/Photos/Maths/}{/home/moi/Lycee/TS/}{/home/moi/Lycee/TS/2009_10/}{/home/moi/Figures/FigMaple/}{/home/moi/Figures/figuresTS/newcourbes/}{/home/moi/Figures/FigEspace/}}





%\setcounter{tocdepth}{4}


\entete{\rightmark }{\rightmark}{\href{http://tehessin.tuxfamily.org/fr.html}{Licence
    Creative Commons}\byncsa}%g,d,b




\title{ Une année de mathématiques en 1\up{ère}L 
}

\author{ Guillaume \textsc{Connan}}

\date{Première L1 2010-2011 }



\newcommand\soustitre{
  Licence Creative Commons
\CcGroupByNcSa{1.25}{1.25ex}}


\coverillustration{\includegraphics[width=8cm]{Boulier}}




\renewcommand{\vect}{\ve}

\lstset{numbers=none,language=XCAS,xleftmargin=10pt,%
keywordstyle=\color{MidnightBlue}\bfseries,basicstyle=\ttfamily\color{MidnightBlue},commentstyle=\normalfont\footnotesize\slshape,breaklines=true,backgroundcolor=\color{green!20},frame=trBL,framerule=1pt,framesep=4pt,rulesep=1pt}%,backgroundcolor=yellow}



\newcommand{\MarqueCommandeGiac}[1]{%
    \color{red}$>\ $}
\newcommand{\MarqueLaTeXGiac}{%
    \color{blue}}
\newcommand{\InscriptionFigureGiac}[1]{%
    \begin{figure}
\begin{center}
	\includegraphics[width=0.7\linewidth]{#1}\caption{Sortie
          graphique de XCAS}
    \end{center}
\end{figure}
}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\setlength{\headheight}{23pt}
\setlength{\parindent}{0pt}

\begin{document}


\chapterimage{Marienbad}


\chaptertext{En   1961,   le   film   du  réalisateur   français   Alain
  \textsc{Resnais} reçoit le Lion d'Or  à la Mostra de Venise, l'une des
  récompenses  cinématographiques les  plus prestigieuses  au  monde. Un
  jeu semble-t-il banal y tient un rôle essentiel. Il sera le point de
  départ de nos aventures mathématiques....}

\chapter{Maths, histoire, littérature et cinéma}

\section{L'année
  dernière à Marienbad}
%\parpic{\fbox{\includegraphics[height=4cm]{resnais2}}}
En   1961,  Alain   \textsc{Resnais}   pour  la   réalisation  et   Alain
\textsc{Robbe-Grillet}  pour  le  scénario,  présentent  \textit{L'année
  dernière à Marienbad} qui passent pour certains pour être LE plus beau
film de l'histoire du cinéma et pour d'autres le plus ennuyeux...


%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=4cm]{resnais2}
\end{center}
%\end{figure}

Il  y est  question  d'un  homme, dont  on  ne sait  rien,  qui essaie  de
convaincre une femme,  dont on ne sait rien, qu'ils  ont eu une aventure
amoureuse l'année précédente à Marienbad.

Voici comment le réalisateur présente son film:

\begin{quote}
  {\itshape
Oui,  L'année dernière à  Marienbad est  totalement onirique.  C'est une
comédie musicale,  sans chanson, qui  tente d'approfondir les  forces du
rêve. Je suis  parti de cette idée : une  forme d'itinéraire qui pouvait
aussi être  une forme d'écriture, un  labyrinthe c'est à  dire un chemin
qui a toujours l'air guidé par des parois strictes, mais qui néanmoins à
chaque instant conduit  à des impasses et oblige à  revenir en arrière à
repasser plusieurs fois aux même endroits sur des parcours plus ou moins
longs, à explorer une nouvelle  direction et à retomber sur une nouvelle
impossibilité.
}
\end{quote}
Pour ce qui est de notre propos, c'est cet 
\href{http://www.dailymotion.com/video/xa92dg\_l-annee-derniere-a-marienbad-1\_music?start=867}{EXTRAIT}
qui nous intéresse, situé à la quinzième minute du film.

En voici un commentaire disponible sur le site du 
\href{http://www.libresavoir.org/index.php?title=L\%27Ann\%C3\%A9e\%20derni\%C3\%A8re\%20\%C3\%A0\%20Marienbad\%20d\%27Alain\%20Resnais}{ \textit{LIBRE SAVOIR}} :

\begin{quote}
{\itshape
Les personnages du film assistent
à une  représentation théâtrale, se  préparent pour un  concert, dansent
lors  d'un  bal,  conversent  dans  des  salons  ou  des  couloirs.  Ils
s'essaient aussi à un jeu,  réservé aux hommes, semble-t-il, qui utilise
tour à tour  allumettes, cartes ou dominos, et  consiste à retrancher un
ou plusieurs éléments d'un ensemble.



%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics{Marienbad22}
\end{center}
%\end{figure}




Précisément, ces séquences récurrentes sur le Jeu de société dont il est
dit et répété qu'il est fondé sur une stratégie plutôt que sur le hasard
ne renverraient-elles pas au thème de l'Amour ? Ne seraient-elles pas un
questionnement sur le  sentiment amoureux lui aussi né  du hasard (de la
rencontre) et  d'une stratégie (de  séduction) ? Cet  affrontement entre
l'Inconnu et  le Mari  supposé n'aurait-il pas  pour objet une  forme de
connaissance et de pouvoir sur la jeune Femme brune ?

\begin{center}
  \includegraphics{Marienbad23}
\end{center}
%\end{figure}

\begin{itemize}

\item  Le supposé Mari : \og Je  connais un jeu où je gagne toujours. \fg{}
\item  L'Inconnu : \og Si vous ne pouvez  pas perdre, ce n'est pas un jeu! \fg{} 
\item Le  supposé Mari  :  \og  Je peux  perdre,  mais je  gagne  toujours.\fg{}  *
\item L'Inconnu : \og Essayons ! \fg{}

\end{itemize}


L'assurance - voire  la prétention - de l'Homme  au visage maigre dans
son talent pour  le Jeu de société trouve  sa justification dans chacune
des rencontres  qu'il remporte contre l'Inconnu, mais  elle est démentie
par l'échec de sa relation avec la jeune Femme brune qui se détournerait
du vainqueur, séduite par le vaincu.
}


\end{quote}


Nous ne parlerons pas ici  de stratégie amoureuse mais nous contenterons
d'en trouver une pour gagner à  coup sûr à ce qui se nomme aujourd'hui
\textit{Le jeu de Marienbad}.


Pour cela, nous  allons devoir tout d'abord revenir sur  les bases de la
numération.




\section{L'Égypte antique}
\subsection{Le système de numération de l'Égypte antique}

Les Égyptiens avaient très peu de signes (hiéroglyphes) pour compter ~:

\hun :~représente 1

\hdix :~représente 10

\hcent :~représente 100

\hmil :~représente 1000

\hdixmil :~représente 10000

\hcentmil :~représente 100000

\hmillion :~représente 1000000

\medskip

Leur système est dit «~additif~», comme les grecs et les romains~:~on «~additionne les signes~» pour
obtenir le nombre désiré. Par exemple, que représente~:
\begin{center}
 \hmil \hmil \hmil \hcent \hcent \hcent \hcent  \hcent \hcent \hcent \hcent \hcent \hdix \hdix \hdix
 \hdix \hdix \hdix \hdix \hun \hun\hun\hun\hun\hun\hun
\end{center}

Écrivez en égyptien~: 2008, 37612, 354.


\subsection{L'addition égyptienne}


Calculez : 

\hcentmil \hcentmil \hcentmil \hcentmil  \hmil \hmil \hcent \hcent  \hcent \hcent \hcent
\hcent \hcent \hun \hun \hun \hun \hun \hun \hun \hun \hun 

$+$ 

\hmillion \hmillion \hmillion \hcentmil \hcentmil \hdixmil \hdixmil \hmil \hmil \hcent \hcent \hdix \hdix \hdix \hdix \hun \hun \hun \hun \hun \hun

puis lisez-le en français.

Inventez d'autres additions et faites-les calculer à votre voisin.


\subsection{La multiplication égyptienne}


Ce système n'est pas très pratique pour  multiplier les nombres. Les Égyptiens utilisaient une table
contenant une série de nombres : 


{\tiny
 \begin{center}
             \begin{tabular}{*{8}{|c}|}
	     \hline
             \hun & \hun \hun& \hun \hun \hun \hun & \hun \hun \hun \hun \hun \hun \hun \hun & \hdix \hun \hun \hun \hun
             \hun \hun & \hdix \hdix \hdix \hun \hun & \hdix \hdix \hdix \hdix \hdix \hdix \hun \hun
             \hun \hun & \hcent \hdix \hdix \hun \hun \hun \hun \hun \hun \hun \hun \\% & \hcent \hcent \hdix \hdix \hdix \hdix \hdix \hun \hun \hun \hun \hun \hun \\
           %  \hcent \hcent \hcent \hcent \hcent \hdix \hun \hun & \hmil \hdix \hdix \hun \hun \hun \hun \\
             \hline
             \end{tabular}
             \end{center}
}

Comment est construite cette table~?

\medskip


Par exemple, pour multiplier 235 par 53, ils écrivaient :

\hdix \hdix \hdix \hdix \hdix \hun \hun \hun = \hdix \hdix \hdix \hun \hun + \hdix \hun \hun \hun \hun
             \hun \hun + \hun \hun \hun \hun +\hun.

Ensuite ils dessinaient le tableau suivant : 

\begin{center}
             \begin{tabular}{*{3}{|l}|}
	     \hline
             \XSolidBrush & \hun & \hcent \hcent \hdix \hdix \hdix \hun \hun \hun \hun \hun\\
                   & \hun \hun & \hcent \hcent\hcent \hcent\hdix \hdix \hdix\hdix \hdix \hdix\hdix\\
              \XSolidBrush   &   \hun   \hun\hun   \hun&   \hcent   \hcent\hcent\hcent   \hcent\hcent\hcent
              \hcent\hcent\hdix \hdix \hdix\hdix\\
                   &  \hun \hun\hun  \hun\hun \hun\hun  \hun& \hmil  \hcent \hcent\hcent\hcent\hcent
                   \hcent\hcent\hcent \hdix \hdix \hdix\hdix\hdix \hdix \hdix\hdix\\
              \XSolidBrush & \hdix \hun \hun\hun\hun \hun\hun&\hmil\hmil\hmil \hcent \hcent\hcent\hcent\hcent
                   \hcent\hcent \hdix \hdix \hdix\hdix\hdix \hdix\\
              \XSolidBrush     &    \hdix\hdix\hdix  \hun\hun   &     \hmil\hmil\hmil\hmil\hmil\hmil\hmil    \hcent
              \hcent\hcent\hcent\hcent\hdix\hdix\\

             \hline
             \end{tabular}
             \end{center}

Il suffit alors d'additionner les cases marquées d'un \XSolidBrush. Pouvez-vous dire pourquoi ?
Posez d'autres multiplication à votre voisin.

Est-ce un moyen très efficace de multiplier ?



\subsection{La division égyptienne}

Observez la division posée de 65 par 5~:

\begin{center}
             \begin{tabular}{*{3}{|l}|}
	     \hline
              & \hdix \hdix\hdix \hdix\hdix \hdix \hun\hun\hun \hun\hun & \hun\hun\hun \hun\hun \\
              \hline
 \XSolidBrush & \hun & \hun\hun\hun \hun\hun \\
              & \hun \hun & \hdix \\
 \XSolidBrush & \hun \hun\hun \hun & \hdix\hdix\\
\XSolidBrush & \hun \hun\hun \hun\hun \hun\hun \hun & \hdix\hdix\hdix\hdix\\

\hline
             \end{tabular}
             \end{center}

Expliquez la méthode et proposez des divisions à votre voisin (pas trop compliquées...).


\subsection{les fractions égyptiennes}

D'après la religion égyptienne, le dieu Horus (à tête de Faucon) se battit contre son oncle Seth. Au
cours du  combat, Seth arracha un  \oe il à Horus,  le coupa en six  et jeta les  morceaux à travers
l'Égypte. Le  dieu Toth (à tête  d'ibis) se chargea de  récupérer les morceaux et  de les rassembler
pour former le schéma suivant~:

\begin{center}
  \includegraphics[height=4.5cm]{oeilhorus}
\end{center}


Y a-t-il un problème~?

Les fractions avec dénominateur 64 étaient utilisées pour mesurer les volumes.

Les Égyptiens utilisaient d'autres fractions, mais toujours  avec un numérateur égal à 1 en écrivant
les dénominateurs sous une sorte d'\oe il.

\medskip

Tout ça est un peu compliqué...

\section{Numération athénienne}


Plus tard, de l'autre côté de la Méditerranée, les Grecs avaient adopté un système du même type :

\begin{itemize}
\item 2 se note \ath{2}
\item 5 se note \ath{5}
\item 9 se note \ath{9}
\item 17 se note \ath{17}
\item 43 se note \ath{43}
\item 438 se note \ath{438}
\item 782 se note \ath{782}
\item 1997 se note \ath{1997}
\item 6284 se note \ath{6284}
\end{itemize}



Arrivez-vous à en percer le secret~? À quel autre système cela vous fait-il penser~?

Ménélas a gagné 286 mines au jeu de l'oie : écrivez ce nombre... à la manière de Ménélas.

Écrivez votre date de naissance en Athénien.

%Proposez des nombres à vos voisins.

\section{Babylone}

\subsection{La numération babylonienne}

Tout à côté de l'Égypte, à la même époque, à Babylone, apparut un autre système de numération. La
forme, d'abord, était différente car les Babyloniens utilisaient des tablettes et des poinçons au lieu
de papyrus et de pinceaux. Il y avait principalement deux caractères~:~\babun et \babdix.

Pour compter jusqu'à 59, le système fonctionne comme en  Égypte et plus tard en Grèce et à Rome : on
ajoute la valeurs  des signes écrits. Ainsi \babdix\babdeux correspond  à 12, \babquarante\babhuit à
48.

Lisez les nombres suivants~:~\babtrente\babhuit ; \babcinquante\babtrois ; \babvingt\babneuf.

Proposez d'autres exemples à vos voisins.



\medskip

À partir  de 60, la  numération ressemble  plus à la  nôtre car elle  devient «~positionnelle~»~:~en
effet, la valeur d'un signe dépend de sa position par rapport aux autres.

Ainsi, 63 s'écrit \babun \ \babtrois, c'est-à-dire 1 fois 60 plus 3 fois 1.

De même, \babtrois \ \babvingt\babtrois correspond à $3\times60+23=203$

Enfin \babdeux\ \babdix\babneuf  \ \babtrente\babcinq correspond à 2  soixantaines de soixantaines +
19 soixantaines +35, c'est-à-dire~?

\medskip 

Proposez d'autres nombres à vos voisins. 

.
\medskip


Que pensez-vous de cette opération~: \babdix\babcinq + \babquarante\babcinq = \babun ~?

Et de celle-ci~: \babdeux $\times$ \babun\babtrente $=$ \babtrois~ ?

Est-ce que ça ne vous rappelle pas quelque chose~?


\smallskip

Les Babyloniens étaient confrontés  à une petite ambiguité~:~le nombre
\babtrois \ \babvingt\babtrois  qu'on peut noter $[3;23]$ représentait
à la fois 
\begin{itemize}
\item $3\times60+23$~;
\item $3\times60^2+23\times 60$~;
\item $3+23\times\frac{1}{60}$~;
\item etc.
\end{itemize}

En  fait,  cela fait  penser  aux  «~multiplications  à virgules~»  de
l'école primaire où vous «~décaliez~» la virgule quitte à rajouter des
zéros~:~pourquoi~?






\subsection{Multiplication babylonienne}
Les petits Babyloniens devaient apprendre beaucoup de tables de multiplications qui
ressemblaient à ce
% \begin{center}
%   \includegraphics[height=5cm]{tablebab1}
% \end{center}
% et avaient des sortes de bouliers à leur disposition. 
% Voici un
«~cahier~» d'écolier~:~de quelle table s'agit-il~?

\begin{center}
  \includegraphics[width=.75\linewidth]{tablebab2}
\end{center}

Ils disposaient également d'une  table des carrés~; complétez la table
suivante~:

\begin{center}
             \begin{tabularx}{0.8\textwidth}{Y{19}}
	     \whline
             $n$&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20\\
             \hline
             $n^2$&1&4&9&&&&&&&&&&&&&&&&&\\
             \whline
             \end{tabularx}
             \end{center}



Pour multiplier 14 par 22, ils avaient ce petit dessin en tête~:


\begin{center}
  \includegraphics[height=7cm]{numbab.1}
\end{center}

et il ne restait plus qu'à additionner~:~$14\times22=14^2+8^2+6^2+2^2+2^2+2^2$

Multipliez de la même manière 17 par 31.





% \subsection{Division babylonienne}


% Pour effectuer des divisions,  les Babyloniens utilisaient le fait que
% diviser par un nombre, c'est multiplier par... Ils disposaient d'une table
% d'inverses mais  attention à  la définition d'un  inverse babylonien~!
% C'est 60 le nombre magique. L'inverse  babylonien de 2 est donc 30 car
% $2\times30=60$ ou encore $\frac{60}{2}=30$.

% Pour trouver l'inverse de 8, on écrit~:

% \[\frac{60}{8}=\frac{56}{8}+\frac{4}{8}=7+\frac{1}{2}=[7;30]=\text{\babsept\
% \babtrente}\]

% Complétez alors le tableau suivant~:
% \small
% \begin{center}
%              \begin{tabularx}{\textwidth}{Y{16}}
% 	     \whline
%              2&3&4&5&6&8&9&10&12&15&16&18&20&24&27&30&32&36\\
% \hline
%              30&20&15&12&10&[7;30]&[6;40]&6&5&4&[3;45]&&&&&&&\\

%              \whline
%              \end{tabularx}
%              \end{center}
\normalsize

\section{Les Mayas}

\subsection{Numération}

Les Mayas ont vécu en Amérique centrale depuis  la nuit des temps jusqu'à la conquête espagnole. Ils
ont été parmi les premiers  (si ce n'est les premiers) à utiliser un zéro  à partir du IV\eme siècle
après JC, 1100 ans avant les Européens~! Leur système de numération était totalement «~positionnel~»
est ressemble  donc au  nôtre mais  leur nombre de  «~base~» était  vingt au lieu  de dix  pour nous
(peut-être parce qu'ils n'avaient pas oublié leurs dix doigts de pied...).

Essayez  de décrire  leur  système de  numération sachant  que~:  6 s'écrit  $\maya{6}$, 13  s'écrit
$\maya{13}$, 24  s'écrit $\maya{24}$,  30 s'écrit $\maya{30}$,  65 s'écrit $\maya{65}$,  232 s'écrit
$\maya{232}$, 400 s'écrit $\maya{400}$, 512 s'écrit $\maya{512}$, 8600 s'écrit $\maya{8600}$.

Proposez des nombres à écrire à vos voisins.


\subsection{Parlons yucatèque}


{\footnotesize
 \begin{center}
             \begin{tabular}{*{5}{|l}|}
	     \hline
\vtabb  Hun~:  $\maya{1}$&

  Ca~:   $\maya{2}$&

  Ox~:   $\maya{3}$&

  Can~:  $\maya{4}$&

  Ho~:  $\maya{5}$\\

\hline

\vtabb  Uac~:  $\maya{6}$&

  Uuc~:  $\maya{7}$&

  Uaxac~:  $\maya{8}$&

  Bolon~:  $\maya{9}$&

  Lahun~:  $\maya{10}$\\


\hline

\vtabb  Buluc~:  $\maya{11}$&

  Lahca~:  $\maya{12}$&

  Oxlahun~:  $\maya{13}$&

  Canlahun~:  $\maya{14}$&

  Holhun~:  $\maya{15}$\\

\hline 

\vtabb Uaclahun~:  $\maya{16}$&

  Uuclahun~:  $\maya{17}$&

  Uaxaclahun~:  $\maya{18}$&

  Bolonlahun~:  $\maya{19}$&

       

  Hunkal~:  $\maya{20}$\\

\hline

\vtabb  Huntukal~:  $\maya{21}$&

  Catukal~:  $\maya{22}$&

  Oxtukal~:  $\maya{23}$&

  Cantukal~:  $\maya{24}$&

  Hotukal~:  $\maya{25}$\\


\hline

\vtabb  Cakal~:  $\maya{40}$&

  Huntuyoxkal~:  $\maya{41}$&

  Catuyoxkal~:  $\maya{42}$&

  Oxtuyoxkal~:  $\maya{43}$&

  Cantuyoxkal~:  $\maya{44}$\\



\hline


% \vtabb  Hotuyoxkal~:  $\maya{45}$&

  
       
%   Oxkal~:  $\maya{60}$&

%   Huntucankal~:  $\maya{61}$&

%   Catucankal~:  $\maya{62}$&

%   Oxtucankal~:  $\maya{63}$\\


% \hline

% \vtabb  Cantucankal~:  $\maya{64}$&

%   Hotucankal~:  $\maya{65}$&


 
%   Cankal~:  $\maya{80}$&

%   Hutuyokal~:  $\maya{81}$&

%   Catuyokal~:  $\maya{82}$\\


% \hline


% \vtabb  Oxtuyokal~:  $\maya{83}$&

%   Cantuyokal~:  $\maya{84}$&

%   Hotuyokal~:  $\maya{85}$&
 
%   Hokal~:  $\maya{100}$&

%   Huntu uackal~: $\maya{101}$\\

% \hline

   \end{tabular}
             \end{center}
}

\subsection{La «~cinquième opération~»}

Regardons comment s'écrit 35 : \emph{  holhucakal}.  On peutle décomposer en ho.lahun ti+u-ca-KAL ce
qui se
traduit mot à mot par : «~15 vers 2\eme vingt~».

 Ces formes font apparaître la spécificité des numérations mayas parlées précolombiennes, à savoir que les Mayas disposaient d'une opération que nous ne connaissons pas dans notre arithmétique. Une opération qui donne le résultat 35 quand on la fait porter sur les arguments 15 et 40 (ca-KAL est aussi le nom de quarante).


Appelons-la «~mayation~»~:~que  donne la  mayation de  $\maya{5}$ et $\maya{60}$~?  de $\maya{16}$  et $\maya{120}$~?  Proposez d'autres
opérations à vos voisins.





%\pagebreak

\section{La numération sino-japonaise}


\subsection{Un peu d'Histoire}

La numération  que nous allons découvrir est  née en Chine... il  y a très longtemps,  sûrement à la
même époque qu'en Égypte.  Cependant,  bien avant tous les autres, les
Chinois ont adopté un système en base 10 tout à fait similaire à celui que nous utilisons
actuellement.  Ils ont  ainsi  découvert  bien avant  nous  bon nombre  de  résultats  grâce à  leur
numération \og moderne\fg.

Les Grecs, quant à  eux, ne disposant que d'un système fort peu pratique,  se sont plutôt concentré sur
la géométrie.  Ce n'est  qu'au XV\eme que  les barrières  religieuses et d'usage  ont été  levées en
Europe pour enfin  adopter une numération décimale  entre temps modernisée par les  Indiens puis les
Arabes à la suite des Chinois.

Il existe deux grands  système de numération en Chine. Nous étudierons le  plus ancien afin de mieux
comprendre notre propre système. Le deuxième est trop proche du nôtre (en utilisant des
bâtons) pour nous permettre une approche différente.

\subsection{Comptons}

Essayez  de deviner  comment  on écrit  les nombres  en  Chine et  au  Japon à  partir des  éléments
suivants :

\begin{itemize}
\item 7 s'écrit \jsept
\item 20 s'écrit \jdeux \jdix
\item 24 s'écrit \jdeux \jdix \jquatre
\item 26 s'écrit \jdeux \jdix \jsix
\item 40 s'écrit \jquatre\jdix
\item 75 s'écrit \jsept\jdix \jcinq
\item 11 s'écrit \jdix \jun
\item 98 s'écrit \jneuf\jdix\jhuit
\item 308 s'écrit \jtrois \jcent \jhuit au Japon et \jtrois \jcent \jzero\jhuit en Chine
\item 3008 s'écrit \jtrois \jmil \jhuit au Japon et \jtrois \jmil \jzero\jhuit en Chine
\item 30008 s'écrit \jtrois \jdixmil \jhuit  au Japon et \jtrois \jdixmil \jzero\jhuit en Chine
\item 0,3 s'écrit \jtrois \jdixiem
\item 0,03 s'écrit \jtrois \jcentiem
\item 0,003 s'écrit \jtrois \jmiliem
\end{itemize}


Proposez des nombres à vos voisins.


Que pensez-vous de ce calcul~:


\begin{japop}
8250,7054,"+"
\end{japop}


et de celui-ci~:

\begin{japop}
8,12,"*"
\end{japop}

ou encore de celui-là~:

\begin{japop}
128,4,"/"
\end{japop}




\section{La numération shadock}



Le calcul a toujours donné beaucoup de fil à retordre aux Shadoks...
En effet n'ayant que quatres cases il ne pouvait pas compter plus que quatre... 1, 2, 3, 4...
Mais le professeur Shadoko avait réformé tout ca...
\begin{itemize}
\item Quand il n'y a pas de Shadoks, on dit GA~;
\item Quand il y a un shadok de plus, on dit BU~;
\item Quand il y a encore un shadok de plus, on dit ZO~;
\item Et quand il y a encore un autre, on dit MEU.
\end{itemize}

Si je mets un shadok en plus, évidement, je n'ai plus assez de mots pour les compter...


\begin{center}
  \includegraphics{shaga.jpg}
\end{center}


alors c'est très simple: on les jette dans une poubelle, et je dis que j'ai BU poubelle.
Et pour ne pas confondre avec le BU du début, je dis qu'il n'y a pas de Shadok à coté de la poubelle et j'écris BU GA.

\begin{center}
  \includegraphics{shabu.jpg}
\end{center}


Bu Shadok à coté de la poubelle: BU BU.

Un autre : BU ZO.

Encore un autre : BU MEU.

...

MEU poubelles et MEU Shadoks à coté : MEU MEU.
Arrivé là si je mets un Shadok en plus, il me faut une autre poubelle.

Mais comme  je n'ai plus de  mots pour compter les  poubelles, je m'en
débarrasse en les  jetant dans une grande poubelle.  J'écris BU grande
poubelle avec pas de  petite poubelle et pas de Shadok à  coté : BU GA
GA.

Et on continue... BU GA BU, BU GA ZO....


\begin{center}
  \includegraphics{shazo.jpg}
\end{center}


MEU MEU ZO, MEU MEU MEU.

Quand on arrive là et qu'on a trop de grandes poubelles pour pouvoir les compter, eh bien, on les met dans une super poubelle, on écrit BU GA GA GA, et on continue...









Vous trouverez une machine à calculer shadock ici : 


\href{http://www.lesshadoks.com/telechargement/Install.exe}{http://www.lesshadoks.com/telechargement/Install.exe}



Pour voir en image ce que nous venons de découvrir, c'est là:

\href{http://www.youtube.com/watch?v=fQ8rPlksAu8}{http://www.youtube.com/watch?v=fQ8rPlksAu8}















\section{La numération... des ordinateurs}


\subsection{Comment compter avec des 0 et des 1~?}

Peut-être  savez-vous  que  les  ordinateurs parlent  en  «~binaire~»,
c'est-à-dire en base 2~:~voyons ce que cela veut dire.

Par exemple, comptons de zéro à six en binaire~:

0 - 1 - 10 - 11 - 100 - 101 - 110 

Continuez à compter en binaire jusqu'à douze~?

\subsection{Paquets}

Groupez ces vélos par 2, puis les groupes de 2 par 2, etc.

{\LARGE \Bicycle\Bicycle\Bicycle\Bicycle\Bicycle\Bicycle\Bicycle\Bicycle\Bicycle\Bicycle\Bicycle}

Utilisez  ce schéma  pour  compter  les vélos  en  n'utilisant que  le
chiffre 2.

\subsection{La table des Égyptiens}

Souvenez-vous  de la  table  des puissances  de  2 qu'utilisaient  les
Égyptiens pour multiplier les  entiers. Décomposer 11 en puissances de
2 à l'aide de cette table.

Des remarques~?

\subsection{Une méthode plus générale}

Si on dispose de la «~table égyptienne~», on peut donc s'arranger mais il
existe un autre moyen si on n'en  dispose pas ou si le nombre est trop
grand pour notre table...

\smallskip


Vous savez encore ce qu'est une division euclidienne~? Par exemple 
que vous inspire ce dessin~:

\begin{center}
  \includegraphics[width=.75\linewidth]{Nombres}
\end{center}



Comment traduire cette division à l'aide d'une somme et d'un produit~?

Comment s'appelle chaque membre de cette division~?



\medskip

Observez maintenant cette séquence~:
\begin{center}
\opidiv[remainderstyle=\bfseries\large\gray,resultstyle=\blue]{11}{2}
\hspace{0.5cm}\opidiv[remainderstyle=\bfseries\large\gray,resultstyle=\blue]{5}{2}\hspace{0.5cm}
\opidiv[remainderstyle=\bfseries\large\gray,resultstyle=\blue]{2}{2}\hspace{0.5cm}
\opidiv[remainderstyle=\bfseries\large\gray,resultstyle=\blue]{1}{2}
\end{center}

et retrouvez l'écriture binaire de 11...







\bigskip



Que pensez-vous de cette phrase~:

«~Le monde se sépare en 10 catégories~:~ceux qui comprennent cette phrase et les autres...~»





\section{La numération des Mickeys}


Vous savez que Mickey n'a que quatre doigts à  chaque main. Il ne dispose donc que de huit chiffres,
de zéro jusqu'à sept...



Mickey aime jouer au football: combien a-t-il de ballons dans son garage~?

{\LARGE
  \Football\Football\Football\Football\Football\Football\Football\Football\Football\Football\Football
  \Football\Football\Football\Football\Football\Football\Football\Football\Football\Football\Football }






\section{Le code bibinaire}

%\parpic{\fbox{\includegraphics[height=4cm]{bobybouf}}}
Boby \textsc{Lapointe},  célèbre chanteur  français, était aussi  mathématicien à ses  heures. Ayant
trouvé le code binaire trop compliqué à utiliser, il  inventa le code... bibinaire (il y a un jeu de
mot caché). Il  suffit de remplacer les chiffres  par des lettres. On commence par  couper le nombre
écrit en  binaire en  paquets de 2.  S'il y a  un nombre impair  de chiffres,  on rajoute un  zéro à
gauche, ce qui ne  modifie pas la valeur de nombre (expliquez pourquoi).  On commence par le premier
groupe de deux chiffres le plus à droite. On remplace 00 par O, 01 par A, 10 par E, 11 par I.\\
Puis on prend le paquet de deux chiffres suivants en se déplaçant de droite à gauche. On remplace 00
par H, 01 par B, 10 par K, 11 par D.\\
Pour le paquet suivant, on recommence avec les  voyelles. S'il y a encore un groupe, on remplace par
une consonne, etc.



%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=5cm]{bobybouf}
\end{center}
%\end{figure}


\begin{enumerate}

\item Écrivez les nombres de 0 à 31 en bibinaire.\\
\item Récitez la table de multiplication par HI en bibinaire.
\item Quelle est la base du bibinaire~?
\item Pour les curieux : écrivez 1177 en bibinaire.
\item Écrivez KEKIDIBIBI en numération décimale et également KEBOKADO.
\item Pour les très curieux : quel est le plus grand nombre qu'on peut écrire avec six lettres en bibinaire~?

\end{enumerate}



\section{Notion de base}

\subsection{On n'est pas des Mickey}

Contrairement à cette charmante souris, nous avons dix doigts et pas huit. Nous comptons donc en \textbf{base dix} : qu'est-ce que ça veut dire~?

Pour vous aider à avoir des idées, pensez à ce qui se passe après 9, 99, 999, etc. et surtout, pensez \textbf{puissances de 10}.




\subsection{Les bases à travers les âges}

Il  est temps  de dresser  un petit  bilan de  toutes ces  activités~:~dans chacune  des numérations
étudiées précisez
\begin{itemize}
\item quelle est la base utilisé~?
\item est-ce que la position des «~chiffres~» est importante~?
\item quelle est l'opération qui permet d'obtenir la valeur du nombre à partir de son écriture~?
\end{itemize}

Effectuez maintenant la multiplication  par 10 puis par 100  des nombres suivants dans
chacune des numérations~:

\begin{itemize}
\item 11
\item le nombre de vos doigts de pieds et de main;
\item votre année de naissance;
\item le nombre d'habitants de Rezé.
\end{itemize}

Faites de même avec une multiplication par 2, puis avec une multiplication par 20 et enfin par 60.

Quels commentaires cela vous inspire-t-il~?


\section{Le jeu de Marienbad}

Nous pouvons enfin  tenter de percer le secret du  succès de \og l'homme
au visage maigre\fg{} pour gagner au jeu de Marienbad...

Reprenons; nous  avons une ligne  avec un objet,  une autre avec  3, une
autre avec 5 puis une autre avec 7.

Écrivez  ligne par  ligne ces  quatre  nombres en  système binaire  puis
faites la somme des nombres  colonne par colonne: si les nombres obtenus
sont pairs, on les remplace par des 0, sinon par des 1.

La stratégie gagnante  est d'obtenir à chaque coup  une somme constituée
de zéros. Pourquoi?...


\section{\textsc{STENDHAL} et l'enseignement des mathématiques}

Vous   connaissez    \textsc{Stendhal},   de   son    vrai   nom   Henry
\textsc{Beyle}.  Vous ne  savez  peut-être pas  cependant  qu'il fut  un
lycéen  passionné par  les mathématiques  et qu'il  renonça à  rentrer à
Polytechnique pour s'engager dans l'Armée d'Italie menée par \textsc{Bonaparte}.



%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=5cm]{Stendhal}
\end{center}
%\end{figure}


Energie, passion,  horreur de l'hypocrisie, désir du  naturel, chasse au
bonheur, ou égotisme: tous ces mots dessinent la silhouette de \textsc{Stendhal}.


Il écrit en 1835-36
la \textit{Vie de Henry Brulard}, récit autobiographique où il décrit une personnalité déchirée, passionnée,
révoltée,  résolument libérale  et athée:  formé à  l'Ecole  centrale de
Grenoble, Henry, malgré un corps enseignant hétéroclite, apprend à aimer
les mathématiques, la logique, la pensée claire contre le conformisme et
contre l'hypocrisie.  Sa théorie du style, précis comme  celui du Code
civil, et son goût des petits faits vrais, ainsi que celui des analyses
logiques, viennent sûrement de là.


Voici un premier extrait de cette \oe uvre:

\begin{quote}
{\itshape
Mon  enthousiasme pour les  mathématiques avait  peut-être eu  pour base
principale  mon  horreur  pour  l’hypocrisie, l’hypocrisie  à  mes  yeux
c’était ma  tante Séraphie, Mme  Vignon, et leurs prêtres.   Suivant moi
l’hypocrisie était  impossible en  mathématiques et, dans  ma simplicité
juvénile, je  pensais qu’il en était  ainsi dans toutes  les sciences où
j’avais  ouï  dire  qu’elles  s’appliquaient.  Que  devins-je  quand  je
m’aperçus  que personne  ne pouvait  m’expliquer comment  il  se faisait
que : moins par moins donne plus ($-\times -=+$) ? C’est une des bases
fondamentales de la science qu’on  appelle algèbre.  On faisait bien pis
que ne pas  m'expliquer cette difficulté (qui sans  doute est explicable
car  elle conduit  à  la vérité),  on  me l'expliquait  par des  raisons
évidemment peu  claires pour ceux  qui me les présentaient.   M. Chabert
pressé  par moi  s'embarrassait,  répétait sa  leçon, celle  précisément
contre laquelle je faisais des  objections, et finissait par avoir l'air
de  me  dire  :  «  Mais  c'est  l'usage,  tout  le  monde  admet  cette
explication.  Euler et  Lagrange,  qui apparemment  valaient autant  que
vous, l'ont bien admise... »

Je me rappelle  distinctement que, quand je parlais  de ma difficulté de
moins par  moins à un fort,  il me riait au  nez ; tous  étaient plus ou
moins comme  Paul-Émile Teysseyre  et apprenaient par  c\oe ur.  Je leur
voyais dire  souvent au tableau à la  fin des démonstrations :  « Il est
donc   évident  »,   etc.    Rien  n'est   moins   évident  pour   vous,
pensais-je.  Mais  il  s'agissait  de  choses  évidentes  pour  moi,  et
desquelles malgré  la meilleure volonté  il était impossible  de douter.
Les  mathématiques ne considéraient  qu'un petit  coin des  objets (leur
quantité), mais  sur ce point  elles ont l'agrément  de ne dire  que des
choses sûres, que la vérité, et presque toute la vérité.  Je me figurais
à quatorze  ans, en  1797, que les  hautes mathématiques, celles  que je
n'ai jamais  sues, comprenaient tous  ou a peu  près tous les  côtés des
objets,  qu'ainsi, en  avançant,  je parviendrais  à  savoir des  choses
sûres, indubitables, et que je pourrais me prouver à volonté, sur toutes
choses.   Je  fus  longtemps  à  me convaincre  que  mon  objection  sur
$-\times-=+$
 ne  pourrait pas  absolument entrer  dans la tête  de M.  Chabert, que
M. Dupuy n'y répondrait jamais que par un sourire de hauteur, et que les
forts auxquels je faisais des  questions se moqueraient toujours de moi.
J'en fus réduit à ce que je me dis encore aujourd'hui : il faut bien que
$-$ par  $-$ donne $+$ soit  vrai, puisque, évidemment, en  employant à chaque
instant cette règle  dans le calcul, on arrive à  des résultats vrais et
indubitables.
}
\end{quote}


Heureusement, le  jeune Henry finit  par rencontrer des  pédagogues plus
compétents...



\begin{quote}
{\itshape
\og Citoyens, par où commençons-nous ? Il faudrait voir ce que vous savez
déjà.\fg{}

\og Mais nous savons les équations du second degré\fg{}. 

Et, en un homme
de  sens,  il se  mit  à nous  montrer  ces  équations, c’est-à-dire  la
formation d’un  carré de $a+b$,  par exemple, qu’il  nous fit élever  à la
seconde puissance :  $a^2+2ab+b^2$, la supposition que le  premier membre de
l’équation était  un commencement de  carré, le complément de  ce carré,
etc., etc., etc.  C’étaient les yeux ouverts pour nous  ou du moins pour
moi. Je voyais enfin le pourquoi des choses, ce n’était plus une recette
d’apothicaire tombé du ciel pour résoudre les équations. 
}
\end{quote}


Commentez ces deux textes de \textsc{Stendhal} en vous référant à vos
années d'étude des mathématiques...

\section{FLATLAND}


Vous êtes  maintenant prêt à  explorer FLATLAND, dont vous  trouverez le
texte original ici:

\href{http://ibiblio.org/eldritch/eaa/FL.HTM}{http://ibiblio.org/eldritch/eaa/FL.HTM}

et une traduction française là:

\href{http://www.ebooksgratuits.com/pdf/abbot\_flatland.pdf}{http://www.ebooksgratuits.com/pdf/abbot\_flatland.pdf}


Pour citer Wikipedia:

\begin{quote}
  {\itshape
Ce  petit ouvrage  est-il  une fiction  fondée  sur la  géométrie ?  une
critique de la société à l'époque d'Edwin Abbott Abbott ? une invitation
à la philosophie, dans la droite ligne de l'allégorie de la caverne ? la
suggestion de l'existence d'une quatrième dimension spatiale ?

  Au moyen d'une
instrumentation    géométrique,   elle    fait    passer   un    message
philosophique. Ainsi, un  peu partout, depuis deux siècles  que le monde
avait  commencé à  tourner  dans les  têtes  comme dans  la réalité,  la
contestation de  la pensée unique pointaient timidement  ses saillies et
Flatland en a fait partie.
}
\end{quote}



%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=12cm]{FlatlandCover}
\end{center}
%\end{figure}




\end{document}
%%% Local Variables: 
%%% TeX-master: t
%%% End: 
