\chapterimage{ovomaltine}
\chaptertext{J'ai deux heures pour vous dire que MAPLE, c'est de la dynamique}

\setcounter{chapter}{5}
\chapter{Logistique dynamique}



\section{Présentation du problème}

\ill{Le   mathématicien  Belge  Pierre-François   \textsc{Verhulst}  (28
  octobre 1804 - 15 février  1849) proposa en 1838 un modèle d'évolution
  des  populations  animales  qui  porte  son  nom  et  qui  rompt  avec
  l'habituelle  croissance exponentielle.  On suppose  qu'une population
  vaut  $p_n$  à   un  certain  instant  et  qu'il   existe  une  valeur
  d'équilibre $e$ telle  que la population tend à  y revenir avec autant
  de force  qu'elle s'en écarte.  Il existe donc un  coefficient positif
  $k$ tel que:
$$ \frac{p_{n+1}-p_n}{p_n}=-k(p_n-e)$$
}{Verhulst}


\medskip
\begin{recherche}
Déduisez-en qu'il existe une constante $R \geqslant 1$ telle que: $$ p_{n+1}=Rp_n(1-\frac{k}{R}p_n)$$

puis qu'il  existe une valeur  maximum de la population  $p_{{\rm max}}$
et que : $$ u_{n+1}=R u_n(1-u_n)$$

en notant $u_n$ le rapport $\frac{p_n}{p_{{\rm max}}}$.
\end{recherche}

Depuis  \textsc{Verhulst} on  désigne par  \textit{suite  logistique} ce
type  de  suite.  Il faut  bien  sûr  considérer  la plus  ancienne  des
définition du mot:

\begin{verse}
\textbf{LOGISTIQUE}  n.f. \textbf{1.} (1611)  Anc. nom  de la  partie de
l'algèbre qui traite des quatre règles.
\end{verse}

car nous  n'utiliserons que les quatre opérations  arithmétiques de base
mais n'étudierons pas les problème de ravitaillement des armées.


\begin{recherche}
Dans quel intervalle varie R?
\end{recherche}

Étudier la  suite $(u_n)$,  c'est étudier le  \textit{système dynamique}
défini   par   la   fonction    $f$.   L'ensemble   des   $x$,   $f(x)$,
$f(f(x))$,...,$f^n(x)$,... est appelé l'\textit{orbite} de $x$.

\section{Exploration au petit bonheur}

Peut-on  se contenter  d'observer le  comportement d'une  suite? L'outil
informatique permet-il de se passer d'une exploration théorique?

Commençons donc  par explorer  au petit bonheur  le comportement  de ces
suites à  l'aide de Maple. Il  faudrait tout d'abord  nous construire un
petit  outil qui  affiche les  fameux  escargots et  autres escaliers  à
l'aide de  la première  bissectrice. Ce programme  sera très  utile pour
l'oral de Centrale...

\begin{lstlisting}[caption={}]
> escargot:=proc(R,uo,n)
  local u,fu,k,e,g,c;
  u:=uo;
  e:=NULL;
  for k from 1 to n do
   fu:=R*u*(1-u);
   e:=e,[u,u],[u,fu];
   u:=fu;
  od;
  e:=plot([e],color=pink,title=cat(`R=`,convert(R,string), ` et uo=`,convert(uo,string)));
  g:=plot(t,t=0..1,color=green);
  c:=plot(R*t*(1-t),t=0..1,color=blue);
  plots[display]({e,g,c});
  end:
\end{lstlisting}

\begin{recherche}
Que fait \lstinline+escargot+ ? 


Commentez alors les animations suivantes:

\begin{lstlisting}[caption={}]
> A:=seq(escargot(0.01*R,0.2,50),R=100..400):
> plots[display](A,insequence=true);
> B:=seq(escargot(4,0.01*uo,50),uo=1..99):
> plots[display](B,insequence=true);
\end{lstlisting}

\end{recherche}



\section{Convergence et points fixes}

Vous  connaissez  parfaitement  votre  cours  sur le  rapport  entre  la
convergence des suites définies par une relation $u_{n+1}=f(u_n)$ et les
points fixes de $f$.

Malheureusement,  on  ne  parle  pas  assez du  caractère  attractif  ou
répulsif des points fixes.

À  l'aide du  théorème des  accroissements finis,  on peut  montrer que,
$\ell$ étant un point fixe de $f$:

\begin{itemize}
\item  si  $\left|f'(\ell)\right|<1$, le  point  fixe  est attractif  et
  $(u_n)$ converge vers $\ell$ avec $\left|u_n-\ell\right| \leqslant k^n
  \left|u_0-\ell\right|$ pour un certain $k \in ]0;1[$;
\item si $f'(\ell)=0$,  le point est dit \textit{super  attractif} et la
  suite converge très rapidement;
\item  si  $\left|f'(\ell)\right|>1$,  le  point fixe  est  répulsif  et
  $(u_n)$ ne converge que si elle est constante et égale à
  $\ell$ à partir d'un certain rang;
\item si $\left|f'(\ell)\right|=1$, le cas est litigieux.
\end{itemize}

\begin{recherche}
Mais au fait, ces points fixes, quels sont-ils?

Discuter selon les valeurs de $R$ et commencer à expliquer grossièrement
certains   comportements   observés.    Étudier   en   particulier   \og
l'attractivité\fg{} des points fixes.
\end{recherche}


\section{Étude de la convergence dans le cas 1<R<3}

\subsection{Cas 1<R<=2}

\begin{recherche}
Traiter le cas $R=2$.

Que peut-on dire du point fixe non nul dans les autres cas? Dans quel intervalle
se trouve-t-il?

Discuter alors selon la position de $u_0$ par rapport à ce point fixe et
à $\frac{1}{R}$
\end{recherche}
\subsection{Cas 2<R<3}

Les dessins obtenus avec Maple peuvent donner des idées.

\begin{recherche}
Montrer que $I=\left[ \frac{1}{2}  ; \frac{R}{4} \right]$ est stable par
$f$.

En déduire  que si  $u_0\in I$, alors  $(u_{2n})$ puis  $(u_n)$ converge
vers le point fixe non nul.

Étudier ensuite le cas $u_0\in \left]0; \frac{1}{2} \right[$ puis le cas
$u_0\in \left]  \frac{R}{4};1 \right[$ et montrer qu'on  peut se ramener
aux cas précédents.
\end{recherche}


\section{Théorème de \textsc{Coppel} et conséquences}

On note $f^n=f\circ f\circ f\circ \cdots \circ f$.

Soit $f~:  I\to I$ une fonction continue.  Soit $x\in I$. Si  $x$ est un
point fixe  de $f^n$  mais n'est pas  un point  fixe de $f^k$  pour tout
$0<k<n$, on dit que $x$ est \textbf{\textit{n}-périodique}.

L'ensemble      $\bigl\{x,f(x),\cdots,f^{n-1}(x)\bigr\}$      est     un
\textbf{\textit{n}-cycle} pour $f$.

Soit $p_0$, $p_1$,...,$p_{n-1}$ un $n$-cycle
On dit qu'il est \textbf{attractif} si $\left|(f^n)'(p_i)\right|<1$ pour
tout entier  naturel $i$  strictement inférieur à  $n$. Dans ce  cas, si
$u_0$ est  suffisamment proche de l'un  des éléments du  cycle, la suite
admet les éléments du cycle comme valeurs d'adhérence.


\begin{theoreme}[Théorème de \textsc{Coppel}]
Soit  $f~:[a,b]\to[a,b]$ une fonction  continue. Si  $f$ n'admet  pas de
2-cycle,   alors,  pour   tout  $u_0\in   I$,  la   suite   définie  par
$u_{n+1}=f(u_n)$ converge.
\end{theoreme}

La  démonstration est assez  longue et  nous ne  nous en  occuperons pas
aujourd'hui.

Nous sommes pourtant en mesure de démontrer l'utile lemme suivant:

\begin{lemme}
Soit $f~:[a,b]\to[a,b]$  une fonction de  classe $\mathscr C^1$.  Si $f$
admet deux points fixes répulsifs consécutifs distincts $\alpha$ et $\beta$ avec
$\alpha<\beta$,  alors il  existe $p_2\in]\alpha,\beta[$  tel  que $p_2$
soit un point fixe de $f^2$.
\end{lemme}


Pour démontrer  ce lemme,  il suffit d'étudier  la fonction  définie sur
$[a,b]$ par  $$g(x)=f^2(x)-x$$ en précisant  en particulier le  signe de
$g'(\alpha)$ et $g'(\beta)$.

\begin{recherche}
Démontrer le lemme.
\end{recherche}



\subsection{Cas R=3}

C'est un cas ambigu car dans ce cas $\left|f'(p)\right|=\left|2-3\right|=1$.

Cependant, on peut utiliser  le théorème de \textsc{Coppel} pour montrer
que la suite converge.

\begin{recherche}
Avec  l'aide  éventuelle du  \lstinline+solve+  de  Maple, démontrer  la
convergence de la suite $(u_n)$ dans le cas $R=3$.

\end{recherche}


\subsection{Cas R>3}

C'est maintenant que ça devient amusant...

\subsubsection{Cycles d'ordre 2}

\begin{recherche}
Les points fixes sont maintenant répulsifs: que peut-on en déduire?

Utiliser éventuellement Maple pour déterminer les éventuels points fixes
de $f^2$.

Que se passe-t-il lorsque R tend vers 3 par valeurs supérieures?

Qu'illustre le script suivant:

\begin{lstlisting}[caption={}]
> IR:=[seq(0.01*k,k=100..400)]:
> C:=seq(plot([f(t),f(f(t)),t],t=0..1,color=[red,blue,pink],title=cat(`R=`,convert(R,string))),R=IR):
> plots[display](C,insequence=true);
\end{lstlisting}

\end{recherche}


\subsubsection{Attractivité des cycles d'ordre 2}

Soit $p_2$ un point fixe de $f^2$ autre que 0 et $p$.
Il faudrait maintenant savoir quand est-ce que le 2-cycle $(p_2,f(p_2))$
est attractif.


\begin{recherche}
 Montrer  que   $(f^2)'(p_2)=-p_2^2+2p_2+4$.  Pour  cela,   montrer  que
 $(f^2)'(p_2)=(f)'(p_2)\cdot f'(f(p_2))$  et utiliser le  fait que $p_2$
 et $f(p_2)$ sont des racines d'un polynôme du second degré introduit au
 paragraphe précédent.


Commenter alors les deux graphiques définis par:

\begin{lstlisting}[caption={}]
> escargot(evalf(0.99+sqrt(6)),0.5,200);
> escargot(evalf(1.01+sqrt(6)),0.5,200);
\end{lstlisting}
\end{recherche}


\subsubsection{Cycles d'ordre 4}


Le  2-cycle  cesse  d'être  attractif pour  $R>1+\sqrt{6}$.  D'après  le
théorème de  \textsc{Coppel}, on en  déduit que $f^2$ admet  un 2-cycle,
c'est-à-dire que $f$ admet un 4-cycle: jusqu'à quelle valeur de R?

C'est plus  difficile à déterminer. On peut  regarder graphiquement, par
affinements successifs:

\begin{lstlisting}[caption={}]
> IR:=[seq(0.0001*k,k=35440..35450)]:
> G:=seq(plot([(f@@4)(t)-t,(f@@8)(t)-t],t=0.52..0.526,numpoints=1000,color=[pink,purple],title=cat(`R=`,convert(R,string))),R=IR):
> plots[display](G,insequence=true,view=[0.52..0.526,-0.00001..0.00001]);
\end{lstlisting}


\begin{recherche}
  Quel renseignement nous donne ce graphique?
\end{recherche}



\section{Théorème de \textsc{Feigenbaum}}


\subsection{Diagramme de \textsc{Feigenbaum}}



\begin{lstlisting}[caption={}]
> Feig:=proc(r1,r2,pas)
  local k,r,tmp,ligne,res,t,etendue;
  etendue:=floor((r2-r1)/pas)+1;
  res:=[0$etendue]:
  ligne:=[0$20]:
  tmp:=0.2:
  for r from r1 to r2 by pas do
    for k from 1 to 100 do
      tmp:=r*tmp*(1-tmp);
    od;
    for k from 1 to 20 do
      ligne:=subsop(k=[r,tmp],ligne);
      tmp:=r*tmp*(1-tmp);
    od:
    t:=floor((r-r1)/pas)+1;
    res:=subsop(t=ligne,res):
  od:
  plot(res,x=r1..r2,style=point,color=black);
  end:
\end{lstlisting}


\begin{recherche}
Interpréter le dessin obtenu.
\end{recherche}

\subsection{Le théorème}

\ill{On doit au physicien Mitchell \textsc{Feigenbaum} des conjectures qui furent
  prouvées par  la suite par  des mathématiciens, des vrais,  mais c'est
  le  nom du  physicien qui  reste  attaché aux  bifurcations. Voici  un
  condensé des résultats proposé par Daniel \textsc{Perrin}}{feigenbaum}

\begin{theoreme}
Soit  $R_n$ la  borne inférieure  des  R tel  que $f$  admette un  cycle
d'ordre $2^n$.
\begin{itemize}
\item  on a $R_0=0$,  $R_1=3$, $R_2=1+\sqrt{6}$,  $R_3\approx 0,544090$,
  $R_4\approx 3,564407$;
\item la suite  $(R_n)$ est strictement croissante, majorée  par 4. Elle
  converge vers un réel $R_\infty\approx 3,5699456$;
\item Pour  $R_n<R<R_\infty$, $f_R$ admet un unique  $2^n$-cycle qui est
  attractif tant que $R$ est strictement inférieur à $R_{n+1}$;
\item pour $R<R_\infty$, $f_R$ n'a pas de cycle d'ordre $p$ si $p$ n'est
  pas une puissance de 2.
\end{itemize}
\end{theoreme}

Voici qui confirme nos intuitions.




\section{Exposant de Lyapounov}

Pour  mesurer  la  sensibilité  d'un système  dynamique  aux  conditions
initiales, on  mesure l'exposant de \textsc{Lyapounov}  introduit par le
mathématicien russe  Alexandre \textsc{Lyapounov} à la  fin du XIX\up{e}
siècle.

On considère une suite définie par la relation $u_{n+1}=f(u_n)$.  Quelle est l'influence d'un
écart $e_0$ sur $u_0$ pour la suite des itérés~?

Après une itération,  l'écart absolu vérifie $|e_1|=|f(u_0+e_0)-f(u_0)|$
et                  l'écart                 relatif                 vaut
$\frac{|e_1|}{|e_0|}=\frac{|f(u_0+e_0)-f(u_0)|}{|e_0|}\approx    f'(u_0)$
pour $|e_0|$ suffisamment petit.


Après $n$ itérations, l'écart relatif vaut 

$$\frac{|e_n|}{|e_0|}=\frac{|e_1|}{|e_0|}\times
\frac{|e_2|}{|e_1|}\times\cdots\times \frac{|e_n|}{|e_{n-1}|}=\prod_{k=1}^nf'(u_{k-1})$$


Si un des écarts devient nul, notre étude est sans intérêt.
Comme effectuer un produit  est une opération coûteuse, informatiquement
parlant, nous allons pouvoir considérer le logarithme de ce produit.

Notre  problème est  de savoir  si les  écarts s'amplifient  et  donc le
produit est supérieur à  1, ou bien si le système est  stable et donc le
produit est inférieur à 1.

$$\prod_{k=1}^nf'(u_{k-1})<1\ssi                          \sum_{k=1}^n\ln
\left(f'(u_{k-1})\right)<0$$

Pour relativiser le rôle du choix de $n$, nous allons normer cette somme
en la divisant par $n$.


On définit alors l'exposant de \textsc{Lyapounov}~:


$$\lambda=\lin \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\ln\left(f'(u_{k-1})\right)$$


\begin{recherche}
  Écrire  une procédure  \verb+lyapounov:=proc(u0,R,n)+  qui calcule  une
approximation  numérique de  l'exposant de  Lyapounov qui  dépend  de la
donnée de $u_0$, $R$ et le nombre $n$ d'itérations.


Ensuite, l'utiliser pour représenter l'exposant en fonction de R.

\end{recherche}

Par exemple, avec $u_0=0,45$ et 50 itérations~:

\begin{lstlisting}
plot([seq([r*0.001,lyapounov(0.45,r*0.001,50)],r=3000..4000)],view=[-3..4,-3..1]);
\end{lstlisting}




\begin{center}
  \includegraphics[height=\linewidth,angle=270]{lyapou02}
\end{center}


\begin{recherche}
  Comment interpréter ce graphique~?
\end{recherche}



\section{Prolongements}

\ill{Pour  savoir  ce  qui  se   passe  au-delà  de  $R_\infty$,  étudiez  ce
merveilleux document:\\
\href{http://www.math.u-psud.fr/~perrin/Conferences/logistiqueDP.pdf}{http://www.math.u-psud.fr/~perrin/Conferences/logistiqueDP.pdf}
écrit en 2008 par Daniel \textsc{Perrin} de l'Université d'Orsay.  Dans la note
de  première page,  vous retrouverez  le  nom de  deux professeurs  bien
connus...}{DPerrin}

%%% Local Variables: 
%%% TeX-master: "PolyMaple10"
%%% End: 
