\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin1]{inputenc}          % les bons codes pour les bonnes lettres
\usepackage{listings}% pour les listings informatiques
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage{keystroke}% pour les touches du clavier
\usepackage{amsmath,amsfonts,amsthm,geometry,pst-all}
\usepackage{amssymb,numprint,euler}
\geometry{a4paper,left=1cm,right=1cm,top=1cm,bottom=1cm,noheadfoot}
\usepackage{pifont}
\usepackage{graphicx}

% Chemin vers les figures

\graphicspath{{/home/moi/Photos/Tehessin/}{/home/moi/Figures/FigSTI/}{/home/moi/Figures/FigXCAS/}}




%\usepackage{yhmath} %pour faire un arc de cercle $\wideparen{AB}$ 
\usepackage{eurosym} % pour avoir le symbole euro \euro
\pagestyle{empty}
\setlength{\parindent}{0cm}
\usepackage{multicol}
\usepackage{slashbox} %pour barrer une cellule d'un tableau
\usepackage{color}
\usepackage{mathrsfs, wasysym} % mathscfs donne accès aux lettres curvilignes
\usepackage{pstricks,pstricks-add,pst-math,pst-xkey} % packages utiles pour le pstricks
\usepackage{multirow,colortbl,tabularx} % packages utilisés dans un tableau (tabular)
\usepackage{array}
\usepackage{calc,fp}

\makeatletter
\define@key[psset]{}{transpalpha}{\pst@checknum{#1}\pstranspalpha}
\psset{transpalpha=1}
\def\psfs@transp{%
  \addto@pscode{/Normal .setblendmode \pstranspalpha .setshapealpha }%
  \psfs@solid}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ceci sert lorsqu'on remplit une figure géométrique

\newcounter{numero}
\newcommand{\partie}{
\addtocounter{numero}{1}%
\textbf{\psframebox*[fillcolor=black!60]{\textbf{\white Partie \arabic{numero}:}}}\quad}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% incrémente le numéro de la partie

\setlength\leftmargini{0.73cm}
\renewcommand{\labelenumi}{\psframebox*[fillcolor=black!25]{\textbf{\white{\arabic{enumi}.}}}}
\setlength\leftmarginii{0.40cm}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\alph{enumii}.}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% définition des items

\newcounter{degradecadre}
\newcounter{ptinit}
\newcounter{ptfin}
\newcounter{ycadreinit}
\newcounter{ycadrefin}
\newcommand{\cadre}[2]{\begin{pspicture}(0,0)(19,1.4)
	\multido{\i=1+1}{16}{
		\multido{\n=1+1}{2}{
			\FPeval{\degradecadre}{90-\i*4}
			\FPeval{\ptinit}{1.1875*(\i-1)}
			\FPeval{\ptfin}{1.1875*(\i-1)+1.1875}
			\FPeval{\ycadreinit}{(\n-1)*1.4}
			\FPeval{\ycadrefin}{(\n-1)*1.4+0.1}
			\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=black!\degradecadre,linestyle=none](\ptinit,\ycadreinit)(\ptfin,\ycadrefin)}}
	\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=black!90,linestyle=none](0,0)(0.1,1.4)
	\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=black!26,linestyle=none](18.9,0)(19,1.4)
	\rput(9.5,1){#1} \rput(9.5,0.4){#2}
\end{pspicture}\par}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% cadre et titre

\newcounter{degrade}
\newcounter{ptdepart}
\newcounter{ptfinal}
\def\lignetirets{\begin{pspicture}(0,0)(19,0.2)
	\multido{\i=1+1}{16}{
		\FPeval{\degrade}{90-\i*4}
		\FPeval{\ptdepart}{1.2*(\i-1)}
		\FPeval{\ptfinal}{1.2*(\i-1)+1}
		\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=black!\degrade,linestyle=none](\ptdepart,0)(\ptfinal,0.2)}
\end{pspicture}\par}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% ligne tirets

\renewcommand\rmdefault{phv}

\newcommand{\procedure}[3]{
	\setlength{\arrayrulewidth}{1.8pt}
	\begin{tabularx}{#1}[t]{|X}
		\rowcolor[gray]{0.6}
		\textcolor{white}{#2}\\ 
		\cellcolor{gray!20}
		#3\\
	 \hline
	\end{tabularx}
	\setlength{\arrayrulewidth}{0.6pt}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% crée les cadres pour Procédure; en paramètre, on met le texte

\def\R{{\mathbb R}} % les réels
\def\Q{{\mathbb Q}} % les rationnels
\def\Z{{\mathbb Z}} % les entiers relatifs
\def\D{{\mathbb D}} % les décimaux
\def\N{{\mathbb N}} % les entiers naturels
\def\C{{\mathbb C}} % les complexes
\def\c{{\mathscr C}} % pour les courbes
\def\Pl{\mathscr{P}} % pour les plans
\def\Oij{$\left(O;~\vec{i},~\vec{j}\right)$} % pour nommer un repère (O;i,j)
\def\cad{c'est-à-dire}
\def\e{\mathrm{e}} %pour écrire correctement le nombre e
\def\i{\mathrm{i}} %pour écrire correctement le nombre i
\def\d{\,\text{d}} % pour avoir un d droit dans l'intégrale

\newcommand{\ve}[1]{\overrightarrow{#1}} %pour les vecteurs
\newcommand{\Cnp}[2]{\displaystyle{{#1 \choose #2}}} % pour les p parmi n
\newcommand{\systeme}[2]{\left\{\begin{array}{l}
	#1\\
	#2\\
\end{array}\right.} % pour créer un système de deux équations

\makeatletter
\newlength{\@longarc}
\newcommand{\arc}[1]{\settowidth{\@longarc}{$#1$}
	\addtolength{\@longarc}{-0.2em}
	\unitlength \@longarc
	\ensuremath{
		\stackrel{\begin{picture}(1,0.2)
			\qbezier(0,0)(0.5,0.2)(1,0)
		\end{picture}}
		{#1}
	}}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%   Pour les listings de code et les réponses du logiciel


\usepackage{bold-extra,fancyvrb}
\usepackage[scaled=0.85]{luximono}
\DefineVerbatimEnvironment{boxedverbatim}{Verbatim}{gobble=2,frame=single,framesep=4mm,label=\textit{\small
    Réponse du logiciel}}

\definecolor{0.9white}{rgb}{0.9,0.9,0.9}
\definecolor{0.2white}{rgb}{0.2,0.2,0.2}


\lstloadlanguages{XCAS}
\lstset{numbers=none,language=XCAS,xleftmargin=10pt,%
keywordstyle =\color{black!10!blue}\bfseries,basicstyle=\ttfamily\color{black!90},commentstyle=\normalfont\scriptsize\slshape,breaklines=true,backgroundcolor=\color{black!10},frame=trBL,framerule=1pt,framesep=4pt,rulesep=1pt,showstringspaces=false,stringstyle=\slshape,captionpos=b}




\newcommand\Prog[1]{{\bfseries\ttfamily #1}}

\newcommand{\code}[1]{\texttt{#1}}


% %%% un ; avec un peu d'espace autour pour les intervalles
\newcommand{\pv}{\ensuremath{\: ; \,}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% pour créer un arc de cercle
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Début du document %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\begin{document}
\setlength{\unitlength}{1mm}

\cadre{\LARGE        \emph{FLUCTUATIONS       D'ÉCHANTILLONNAGE}}{\Large
  \emph{Simulations avec XCAS... }}


\lignetirets



\procedure{\linewidth}{Le problème}{Le  but de notre  séance de vérifier
  un résultat admis en 2\up{nde} concernant les sondages}


\partie \textbf{SONDAGES ET URNES}\\

\begin{enumerate}

\item  \textbf{Expérience }\\


Une  urne contient  un  très grand  nombre  de boules  dont $40\%$  sont
rouges. On en tire un échantillon de taille 100 au hasard. 

On mesure la fréquence de boules rouges obtenues.

Un résultat classique  en statistique affirme que la  probabilité que la
fréquence         observée         soit        dans         l'intervalle
$\left[0,40-\frac{1}{\sqrt{100}},0,40+\frac{1}{\sqrt{100}}\right]$    est
au moins supérieure  à une valeur que nous  allons essayer de déterminer
expérimentalement.



\item \textbf{Que voulons-nous que l'ordinateur fasse~?}\\

Nous allons généraliser le problème.

Nous allons demander à l'ordinateur d'effectuer un grand nombre N de
tirages  d'échantillons de  taille  $n$, sachant  que  la proportion  de
boules rouges est $p$.

Nous allons  représenter le nuage des points  d'ordonnées les fréquences
de boules rouges obtenues par échantillon.

On trace également les droites d'équations:

\[y=p\pm\frac{1}{\sqrt{n}}\]

\item \textbf{Procédure}\\



Essayez d'analyser la procédure suivante:

\begin{lstlisting}[caption={}]
echantillon(n,p,N):={
Freq:=NULL;
pour k de 1 jusque N faire
    S:=0;
    pour j de 1 jusque n faire
       si evalf(hasard(0,1))<p alors S+=1; fsi
    fpour 
    Freq:=Freq,[k,evalf(S/n)];
fpour
P:=affichage(nuage_points([Freq]),epaisseur_point_3);
D1:=affichage(droite(y=p-1./sqrt(n)),bleu+epaisseur_ligne_3);
D2:=affichage(droite(y=p+1./sqrt(n)),rouge+epaisseur_ligne_3);
retourne(P,D1,D2)
}:;
\end{lstlisting}


puis analysez le résultat.


\item \textbf{À vous de jouer}\\

Il faudrait légèrement modifier  la procédure précédente pour obtenir le
pourcentage de fréquences observées de boules rouges.


\item \textbf{Le théorème}\\
Le résultat suivant sera admis :

\begin{center}
  \procedure{0.8\linewidth}{Théorème}{\slshape  Lorsqu'on prélève  un échantillon  de taille  $n$  dans une
    population  où la  fréquence  d'un caractère  est  $p$, alors,  sous
    certaines conditions,  la probabilité que  cet échantillon fournisse
    une                       fréquence                      appartenant
    à  \[I=\left[p-\frac{1}{\sqrt{n}},p+\frac{1}{\sqrt{n}}\right]\]  est
    \textbf{au moins égale} à ..... $\%$}
\end{center}

\end{enumerate}

\partie \textbf{SONDAGES ET URNES: LES ÉLECTIONS}\\

Vu à la radio:
\og  {\itshape  En  perte de  vitesse  ces  derniers  mois, la  cote  du
  président syldave est remontée de $49\%$ à $52\%$ après son mariage avec la princesse
  Carlotta de Bordurie  qui a su séduire par  ses sourires les électeurs
  de Syldavie. }\fg{}

\begin{enumerate}
\item 
La véritable cote  de popularité du président auprès  des 60 millions de
Syldave est inconnue. Désignons-la par $p$. 

On  connaît   deux  fréquences   observées  sur  deux   échantillons  de
$\numprint{1000}$ personnes: $f_1=49\%$ et $f_2=52\%$.


Montrez                             que                            $f_i\in
I_i=\left[p-\frac{1}{\sqrt{n}},p+\frac{1}{\sqrt{n}}\right]$ équivaut à $p\in J_i=\left[f_i-\frac{1}{\sqrt{n}},f_i+\frac{1}{\sqrt{n}}\right]$.

\item 
Écrivez  les  intervalles  $J_1$  et  $J_2$  correspondant  à  $f_1$  et
$f_2$. Représentez-les sur une  droite graduée. Commentez alors l'annonce
faite à la radio.

\end{enumerate}



\partie \textbf{SONDAGE PERSONNEL}\\


Lu à la syldavision:

{\itshape Le président  syldave a affirmé hier lors  de sa conférence de
  presse que sa cote de popularité est de $52\%$.}


\begin{enumerate}
\item Un  groupe dissident soutenu  par la Bordurie effectue  un sondage
  auprès  de 625  personnes et  obtient  une cote  de $47\%$  d'opinions
  favorables: le président syldave aurait-il menti?
\item Un autre sondage effectué auprès de 625 autres personnes donne une
  cote de $49\%$. Cela permet-il de confirmer la cote de $52\%$ annoncée
  par le président syldave?
\end{enumerate}



\partie \textbf{Arnaque?}

La princesse  Carlotta anime  un jeu à  la télévision. Elle  annonce que
dans une urne  se trouvent 50 boules noires et  50 boules blanches. Elle
offrira une  photo dédicacée  de son mari  à toute personne  obtenant au
moins 11 boules blanches en tirant 30 boules au hasard de l'urne.

L'ambassadeur bordure participe au jeu.  Il tire 30 boules et obtient 10
blanches  seulement. Furieux,  il  décide  de déclarer  la  guerre à  la
Syldavie  affirmant   que  le   jeu  est  truqué.    Qu'en  pensez-vous?
Parviendrez-vous à éviter la guerre?

\end{document}




%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
