\documentclass[11pt,landscape]{report}
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\fancyfoot[C]{Page \thepage}
\fancyhead[R]{{\scriptsize\textsl{  2\textsuperscript{nde}  4  -  Lycée
       Jean \textsc{Perrin} - 2009/2010 }}}
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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}



\newcommand\xc{\lstset{numbers=none,language=C,xleftmargin=10pt,%
keywordstyle=\color{black}%\usefont{OT1}{cmtt}{b}{n}
,basicstyle=\ttfamily\color{0.2white},commentstyle=\normalfont\small\itshape,breaklines=true,backgroundcolor=\color{ciel},frame=trBL,framerule=1pt,framesep=4pt,rulesep=1pt}
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\newcommand\caml{\lstset{numbers=none,language=caml,xleftmargin=10pt,%
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\newcommand{\reponse}[1]{
\begin{center}
\textcolor{blue}{\texttt{#1}}
\end{center}
}


\fbox{%
\begin{minipage}{\textwidth}
\smallskip
{\LARGE\bfseries 
\begin{center} 
TP algorithmique 2 - Nombre d'Or -  2\up{nde} 4
\end{center}}
\smallskip
\end{minipage}
}
\vspace{1cm}



\begin{multicols}{2}


\section{Des animaux, des plantes et des nombres}

\subsection{Des lapins}

Voici l'énigme des lapins qui fut proposée en 1202 par Léonard  de Pise, fils  de Bonacci~:

%\begin{figure}[!h]
  \begin{Probleme}[Lapins de Fibonacci]
    Partant d'un couple, combien de couples de lapins obtiendrons-nous après
un nombre donné de mois sachant que chaque couple produit chaque mois un
nouveau couple, lequel ne devient productif qu'après deux mois. 

    \end{Probleme}
 % \end{figure}


Alors...le mois n°0, il y a 1  couple de bébés lapin...le mois n°1 encore le
même couple...le  mois n°2,  hop, un  couple de bébés  naît, ça  fait deux
couples en tout...le mois n°3, un couple de plus, ça fait 3 couples...

\subsection{Des fourmis et des abeilles}


%\begin{figure}[!h]
  \begin{Probleme}[arbre généalogique]
    Les  abeilles et les  fourmis ne  naissent pas  comme nous  dans les
    roses ou les choux mais sortent du ventre de leur reine qui passe sa
    vie à pondre.

Lorsque l'\oe  uf est fécondé,  le bébé est  femelle, sinon, ce  sera un
mâle.

Ainsi, une  femelle a un papa et  une maman alors qu'un  mâle n'a qu'une
maman.

On voudrait compter les ancêtres d'un mâle de la septième génération.

    \end{Probleme}
 % \end{figure}


Bon, alors,  un mâle a  une seule  maman, cette maman  a un papa  et une
maman et... vaudrait  mieux dresser un arbre généalogique,  ce sera plus
clair.

Appelons $A(n)$  le nombre d'ancêtres de la  génération $n$, $F(n)$
le nombre de femelles et $M(n)$ le nombre de mâles.


\subsection{Des tournesols}


\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=10.5cm]{tournesol}
\end{center}
\end{figure}


Comptez les spirales....



\subsection{Des pommes de pin}


\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics{pommedepin}
\end{center}
\end{figure}

Comptez les spirales...





\subsection{Des ordinateurs}

\begin{Probleme}[Fibonacci~:~le retour]

On appelle suite de Fibonacci la \og séquence\fg{} de nombres~:

\[1 - 1 - 2 - 3 - 5 - 8 - 13 - 21 - 34 - 55 - 89 - \cdots \]

Quel est le suivant~?
\end{Probleme}



Essayez de trouver un algorithme  malin afin que CAML puisse calculer le
$n$-eme nombre de cette séquence.


Utilisez cet algorithme pour étudier le quotient d'un terme de cette
séquence par le précédent.



\section{Des hommes et un nombre}


\subsection{Un rectangle}

\begin{Probleme}[un rectangle en or]
\begin{itemize}
\item Tracez un segment~;
\item tracez un autre segment, perpendiculaire au premier et de longueur
  double. On obtient ainsi un triangle rectangle~;
\item prolongez le premier segment à partir de son extrémité libre d'une
  longueur égale à l'hypoténuse du triangle précédemment tracé~;
\item on obtient  à présent un rectangle. Calculez  de manière exacte le
  quotient  entre  la  largeur  et  la longueur  de  ce  rectangle  puis
  donnez-en une valeur approchée. 
\end{itemize}  
\end{Probleme}

Cela vous rappelle-t-il quelque chose~?


\subsection{Une spirale}

\begin{Probleme}[une spirale en or]
  On reprend le rectangle précédent.  On trace à l'intérieur le carré de
  côté  la largeur  du  rectangle. Que  pensez-vous  de petit  rectangle
  restant~? Et si on continuait~?
\end{Probleme}


À partir  du coin supérieur droit du  carré, tracez un arc  de cercle de
rayon le  côté du  carré et d'extrémités  les coins supérieur  gauche et
inférieur droit puis réitérez le processus pour obtenir une spirale.


\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=0.9\linewidth]{ammonite}
\end{center}
\end{figure}


\subsection{Le Parthénon}


  \begin{Probleme}[Parthénon en or]
    Retrouvez des proportions d'Or dans le Parthénon.
    \end{Probleme}
  

\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=0.8\linewidth]{parthenon}
\end{center}
\end{figure}


\subsection{Khéops}

 \begin{Probleme}[Pyramide en or]
La hauteur de  la pyramide de Khéops est de  $\nombre{148,2}$m. Le côté de
sa base carré mesure $\nombre{232,8}$m. Calculez la hauteur d'une de ses
faces triangulaires. Retrouvez alors une proportion en or...
\end{Probleme}


\subsection{Strasbourg}


  \begin{Probleme}[Parthénon en or]
    Retrouvez des proportions d'Or dans la cathédrale de Strasbourg.
    \end{Probleme}
  

\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=0.7\linewidth]{strasbourg}
\end{center}
\end{figure}


\subsection{Rezé}


\begin{Probleme}[Le Corbusier]
  L'architecte Le Corbusier qui a conçu notre Maison Radieuse municipale
  a  conçu les  dimensions  de  ses appartements  selon  le principe  du
  \emph{Modulor} représenté dans la figure suivante. Où se cache l'or~?...
\end{Probleme}

\begin{center}
  \includegraphics[width=0.9\linewidth]{modulor}
\end{center}

\section{Des calculs et un nombre}



\subsection{Sans calculatrice}

\begin{Probleme}[$\Phi$]
On note $\Phi$ le nombre d'or. Simplifiez l'écriture de $1+\frac{1}{\Phi}$. Que remarquez-vous~?
Simplifiez l’écriture de $\Phi^2$ puis simplifiez l'écriture de
  $1+\Phi$.  Que remarquez-vous~?

\end{Probleme}


\subsection{Avec ordinateur}


\begin{Probleme}[racines]
  Donnez une approximation de 
\begin{enumerate}
\item $a_0=1$
\item $a_1=\sqrt{1+\sqrt{1}}$
\item  $a_2=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1}}}$
\item $a_3=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1}}}}$
\item $a_4=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1}}}}}$
\end{enumerate}
\end{Probleme}

Que pensez-vous des algorithmes suivant~:



\caml
\begin{lstlisting}
# let rec racor(n)=
    if n=0 then 1.
    else sqrt(1. +. racor(n-1));; 
\end{lstlisting}


\xc
\begin{lstlisting}
racor(n):={
r:=1.;
 for(k:=1;k<=n;k:=k+1){
     r:=sqrt(1+r)
 } 
return(r)
}:;
\end{lstlisting}


\begin{Probleme}[inverses]
  Donnez une approximation de 
  \begin{enumerate}
\item $b_0=1$
   \item $b_1=1+\frac{1}{1}$
  \item $b_2=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1}}$
  \item $b_3=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1}}}$
  \item  $b_4=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1}}}}$
  \item $b_5=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1}}}}}$
  \end{enumerate}
\end{Probleme}


Trouvez  un  algorithme  malin  pour  calculer $b_n$  avec  CAML  et  un
algorithme impératif avec XCAS.




\vspace{17cm}
.
\end{multicols}
\end{document}



%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
