%  En préambule,  les  sources metapost.  Si  vous lancez  latex  sur ce  fichier,  il vous  placera
% automatiquement le fichier .mp dans le répertoire courant. 
\begin{filecontents*}{collemai.mp}

%input newcourbes;
%input couleur;
input geometriesyr16;
%input TEX;

verbatimtex
%&latex
\documentclass{article}
\usepackage[upright]{fourier}
\usepackage{preambule}




\begin{document}
etex

numeric u;
u=4cm;

figure(-2u,-2u,2u,2u);
path cc,cd,ac,ad,ce,s;

cc:=cercles(u*(0,0.5),0.5*u);
cd:=cercles(u*(0.5,0),0.5*u);

pair a,b,o,m,mm,mmm;
o:=origin;
a:=u*(0.5,0.5);
b:=(u,0);
m:=u*(0.732,0.5);
mm:=0.5*m;
mmm:=2*m;

ac:=arccercle(o,a,u*(0,0.5));
ad:=reverse(arccercle(b,a,u*(0.5,0)));

s:=o--(u,0);

ce:=s--ac--ad--cycle;

fillcolor:=orange;
trace transparence(ce);
trace cc;
trace cd;
trace ce;

drawarrow (-u,0)--(1.5u,0);
drawarrow (0,-u)--(0,1.5u);

path d,dd;
d:=demidroite(o,m);
dd:=demidroite(mm,m);
trace segment(o,mmm);

pair k,l;
k=dd intersectionpoint cc;
l=cd intersectionpoint d;


dotlabel.lft(btex \ofr{1}{2} etex,u*(0,0.5) );
dotlabel.ulft(btex 1 etex,u*(0,1) );
dotlabel.bot(btex \ofr{1}{2} etex,u*(0.5,0) );
dotlabel.lrt(btex 1 etex,u*(1,0) );
label.llft(btex 0 etex,o );
dotlabel.ulft(btex K etex,k );
dotlabel.top(btex L etex,l );
trace Codeangle(b,o,m,5,btex $\theta$ etex )

fin;

end


\end{filecontents*}









\documentclass{article}
\usepackage{preambule}
\usepackage[a4paper]{geometry}
\usepackage{multido}
\usepackage[xcas]{tablor}




\newcommand{\MarqueCommandeGiac}[1]{%
    \color[HTML]{8B7500}$\rightarrow$}
\newcommand{\MarqueLaTeXGiac}{%
    \color[HTML]{1E90FF}}
\newcommand{\InscriptionFigureGiac}[1]{%
    \begin{center}
	\includegraphics[width=0.7\linewidth]{#1}
    \end{center}}





\begin{document}
% \exot{}
% Calculez $\intt_{\Delta}(x^2+y^2)\d x\d y$ avec $\Delta$ le domaine coloré sur la figure suivante :

% \begin{center}
  

% \includegraphics{/home/moi/Lycee/ATS/collemai.1}


% \end{center}


\exot{}

$A=\bmat 1&\ofr{1}{4} & 0\\
         0 & \ofr{1}{2} &0 \\
         0& \ofr{1}{4} & 1
   \emat $ \hspace{1cm} Calculez $A^n$. 


%\pagebreak

\exot{}

Étudiez    la    courbe    de    représentation    paramétrique    $\begin{cases}    x(t)=\cos(3t)\\
  y(t)=\sin(4t)\end{cases}$





% \exot{}

% Déterminez les équations  réduites des tangentes à la  courbe $\CR$ d'équation $\frac{x^2}{4}+y^2=1$
% passant par le point P de coordonnées $(4\pv 0)$. 













% \vspace{2cm}

% \exot{}

% Étudiez    la    courbe    de    représentation    paramétrique    $\begin{cases}    x(t)=\cos(3t)\\
%   y(t)=\sin(4t)\end{cases}$





% \exot{}

% Déterminez les équations  réduites des tangentes à la  courbe $\CR$ d'équation $\frac{x^2}{4}+y^2=1$
% passant par le point P de coordonnées $(4\pv 0)$.





\pagebreak



\exot{}

Soit $f$  une fonction de période  $2\pi$ telle que $\begin{cases}f(t)=-1  \text{ sur }]-\pi\pv 0[\\
  f(t)=1 \text{ sur }]0\pv \pi[\\ f(0)=f(\pi)=0\end{cases}$

\begin{enumerate}

\item \'Etudiez son développement en série de Fourier.
\item Calculez $\ds\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}$

\end{enumerate}




\exot{}

\'Etudiez la courbe de représentation paramétrique $\begin{cases} x(t)=\cos^3(t)\\ y(t)=\sin^3(t)\end{cases}$



\pagebreak

% \exot{}

% Déterminez la matrice  dans la base canonique de  $\bbr^3$ de la projection orthogonale  sur le plan
% d'équation $x+2y-3z=0$. 


% \exot{}
% Calculez $\intt_{\Delta}(x^2+y^2)\d x\d y$ avec $\Delta$ le domaine coloré sur la figure suivante :

% \begin{center}
  

% \includegraphics{/home/moi/Lycee/ATS/collemai.1}


% \end{center}



% \pagebreak




% \exot{}

% Soit $\Gamma$  la fonction définie  par $\Gamma(x)=\ds\int_0^{+\infty} \E^{-t}t^{x-1}\d  t$. Montrer
% que $\Gamma(x)$ converge pour $x>0$. 

% Déterminez une relation de récurrence  entre $\Gamma(n+1)$ et $\Gamma(n)$ et déduisez-en $\Gamma(n)$
% en fonction de $n$ avec $n$ un entier naturel non nul. 


% \exot{}

% \'Etudiez au voisinage de 0 la fonction $f$ définie par $f(x)=\frac{1}{\ln(1+x)}-\frac{1}{x}$.- 



% \pagebreak




\exot{}

Soit $\Gamma$  la fonction définie  par $\Gamma(x)=\ds\int_0^{+\infty} \E^{-t}t^{x-1}\d  t$. Montrer
que $\Gamma(x)$ converge pour $x>0$. 

Déterminez une relation de récurrence  entre $\Gamma(n+1)$ et $\Gamma(n)$ et déduisez-en $\Gamma(n)$
en fonction de $n$ avec $n$ un entier naturel non nul. 


\exot{}

Étudiez la courbe d'équation $\rho=\sin\pa{\ofr{\theta}{3}}$

\pagebreak


\exot{}
$A=\bmat -2&0 & 3\\
         -3 & 1 &3 \\
         2& 0 & -1
   \emat $

Déterminer $A^n$ pour tout $n\in\bbn$.

\exot{}

Soit $f$ la fonction $2\pi$-périodique définie sur $\bbr$ et vérifiant
\[f(t)=\fr{\E^t+\E^{-t}}{4}\text{ pour tout }t\in[-\pi\pv \pi]\]

Déterminez son développement en série de Fourier.



\pagebreak


\exot{}

$A=\bmat 2&-2 & 0\\
         -2 & 0 &2 \\
         0& 2 & 2
   \emat $ \hspace{1cm} $C:=\bmat 2\\ 1\\ -2 \emat$ 

Résoudre le système différentiel $\begin{cases} X'(t)=A\cdot X(t)\\ X(0)=C \end{cases}$

\exot{}

Étudier le comportement asymptotique de $f~:~x\mapsto x^2\ln \left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)$


\pagebreak


\begin{center}
  {\LARGE \textcolor{0.6white}{CORRECTION}}
\end{center}

\setcounter{num}{0}

\exot{}

%@Commande-1
{\MarqueCommandeGiac{1} \verb| A:=[[1,1/4,0],[0,1/2,0],[0,1/4,1]]|}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \left(\begin{array}{ccc}
1 & \frac{1}{4} & 0 \\
0 & \frac{1}{2} & 0 \\
0 & \frac{1}{4} & 1
\end{array}\right)  \]}}

%@Commande-2
{\MarqueCommandeGiac{2} \verb| eigenvals(A)|}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \frac{1}{2},1,1 \]}}

%@Commande-3
{\MarqueCommandeGiac{3} \verb| P:=egv(A)|}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \left(\begin{array}{ccc}
-1 & 1 & 0 \\
2 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 1
\end{array}\right)  \]}}

%@Commande-4
{\MarqueCommandeGiac{4} \verb| P^(-1)|}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \left(\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{2} & 0 \\
1 & \frac{1}{2} & 0 \\
0 & \frac{1}{2} & 1
\end{array}\right)  \]}}

\exot{}

%@Commande-5
{\MarqueCommandeGiac{5} \verb| plotparam([cos(3*t),sin(4*t)],t=0..pi/2,color=blue)|}
\InscriptionFigureGiac{collemaiCorr-01.eps}    

\begin{center}
  \includegraphics{lissa.eps}
\end{center}


%@Commande-6
{\MarqueCommandeGiac{6} \verb| evalf(cos(pi/8),cos(pi/6),cos(pi/8))|}
{\MarqueLaTeXGiac{\[      0.923880,     0.866025,     0.923880 \]}}

%@Commande-7
{\MarqueCommandeGiac{7} \verb| plotparam([cos(3*t),sin(4*t)],t=-pi..pi,color=blue)|}
\InscriptionFigureGiac{collemaiCorr-02.eps}    


\exot{}

%@Commande-8
{\MarqueCommandeGiac{8} \verb| f(t):=piecewise(t<-pi,1,t<0,-1,t==0,0,t<pi,1,t==pi,0,-1) |}
\begin{verbatim}
    		(t)->piecewise(t<(-pi),1,t<0,-1,(t==0),0,t<pi,1,(t==pi),0,-1)
\end{verbatim}

%@Commande-9
{\MarqueCommandeGiac{9} \verb| graphe(f(x),x=-4..4)|}
\InscriptionFigureGiac{collemaiCorr-03.eps}    

%@Commande-10
{\MarqueCommandeGiac{10} \verb| four_bn(LI,LV,T):={assume(p,integer);integ:=0;m:=size(LI);for(k:=0;k<m;k++){integ:=integ+(2/T)*(int(LV[k]*sin(p*2*Pi*x/T),x=LI[k]));}return(simplify(integ))}:;|}

%@Commande-11
{\MarqueCommandeGiac{11} \verb| four_bn([-pi..0,0..pi],[-1,1],2*pi);|}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \frac{(-\left(2\left(-1\right)^{p}\right)+2)}{p\pi } \]}}

%@Commande-12
{\MarqueCommandeGiac{12} \verb| sum((-1)^n/(2*n+1),n=0..+infinity)|}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \frac{\pi }{4} \]}}

\exot{}



%@Commande-13
{\MarqueCommandeGiac{13} \verb| plotparam([(cos(t))^3,(sin(t))^3],t=-pi..pi,color=blue)|}
\InscriptionFigureGiac{collemaiCorr-04.eps}    

\exot{}

\exot{}

%@Commande-14
{\MarqueCommandeGiac{14} \verb| plotpolar(sin(t/3),t,0,3*pi/2)|}
\InscriptionFigureGiac{collemaiCorr-05.eps}    

\exot{}

%@Commande-15
{\MarqueCommandeGiac{15} \verb| A:=[[-2,0,3],[-3,1,3],[2,0,-1]]|}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \left(\begin{array}{ccc}
-2 & 0 & 3 \\
-3 & 1 & 3 \\
2 & 0 & -1
\end{array}\right)  \]}}


%@Commande-16
{\MarqueCommandeGiac{16} \verb| eigenvals(A)|}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ -4,1,1 \]}}

%@Commande-17
{\MarqueCommandeGiac{17} \verb| P:=egv(A)|}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \left(\begin{array}{ccc}
3 & 1 & 0 \\
3 & 0 & 1 \\
-2 & 1 & 0
\end{array}\right)  \]}}

%@Commande-18
{\MarqueCommandeGiac{18} \verb| P^(-1)|}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \left(\begin{array}{ccc}
\frac{1}{5} & 0 & \frac{-1}{5} \\
\frac{2}{5} & 0 & \frac{3}{5} \\
\frac{-3}{5} & 1 & \frac{3}{5}
\end{array}\right)  \]}}


\exot{}

%@Commande-19
{\MarqueCommandeGiac{19} \verb| four_an(LI,LV,T):={assume(p,integer);integ:=0;m:=size(LI);for(k:=0;k<m;k++){integ:=integ+(2/T)*(int(LV[k]*cos(p*2*Pi*x/T),x=LI[k]));}return(simplify(integ))}:;|}

%@Commande-20
{\MarqueCommandeGiac{20} \verb| factor(four_an([-pi..pi],[cosh(x)/2],2*pi))|}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \frac{(e^{\pi }+1)(e^{\pi }-1)\left(-1\right)^{p}}{2(p^{2}+1)\pi e^{\pi }} \]}}

\exot{}


%@Commande-21
{\MarqueCommandeGiac{21} \verb| A:=[[-2,-2,0],[-2,0,2],[0,2,2]]|}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \left(\begin{array}{ccc}
-2 & -2 & 0 \\
-2 & 0 & 2 \\
0 & 2 & 2
\end{array}\right)  \]}}


%@Commande-22
{\MarqueCommandeGiac{22} \verb| eigenvals(A)|}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ -\left(2\sqrt{3}\right),2\sqrt{3},0 \]}}

%@Commande-23
{\MarqueCommandeGiac{23} \verb| P:=egv(A)|}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \left(\begin{array}{ccc}
\sqrt{3}+1 & -\left(\sqrt{3}\right)+1 & 1 \\
2 & 2 & -1 \\
-\left(\sqrt{3}\right)+1 & \sqrt{3}+1 & 1
\end{array}\right)  \]}}

%@Commande-24
{\MarqueCommandeGiac{24} \verb| normal(P^(-1))|}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \left(\begin{array}{ccc}
\frac{(\sqrt{3}+1)}{12} & \frac{1}{6} & \frac{(-\left(\sqrt{3}\right)+1)}{12} \\
\frac{(-\left(\sqrt{3}\right)+1)}{12} & \frac{1}{6} & \frac{(\sqrt{3}+1)}{12} \\
\frac{1}{3} & \frac{-1}{3} & \frac{1}{3}
\end{array}\right)  \]}}

\exot{}

%@Commande-25
{\MarqueCommandeGiac{25} \verb| taylor((1/t)^2*ln(((1/t)+1)/((1/t)-1)),t=0,2)|}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \frac{2}{t}+\frac{2}{3} \times t+t^{3}\mbox{order\_size}\left(t\right) \]}}

%.g subst(taylor((1/t)^2*ln(((1/t)+1)/((1/t)-1)),t=0,2),t=1/x)

\end{document}
