\documentclass[12pt,landscape]{report}
\usepackage[height=170mm,width=265mm,left=1.5cm]{geometry}
\usepackage{preambule-utf8}
\usepackage{listings,luximono}
%\usepackage[upright]{fourier}
\usepackage[boldsans]{ccfonts}
\usepackage{beton,euler}
\graphicspath{{/home/moi/Figures/}}


\fancyfoot[C]{Page \thepage}
\fancyhead[R]{{\scriptsize\textsl{  2\textsuperscript{nde}  4  -  Lycée
       Jean \textsc{Perrin} - 2009/2010 }}}
\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
 \pagestyle{fancy}



\begin{document}
\setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}



\newcommand\xc{\lstset{numbers=none,language=C,xleftmargin=10pt,%
keywordstyle=\color{black}%\usefont{OT1}{cmtt}{b}{n}
,basicstyle=\ttfamily\color{0.2white},commentstyle=\normalfont\small\itshape,breaklines=true,backgroundcolor=\color{ciel},frame=trBL,framerule=1pt,framesep=4pt,rulesep=1pt}
}


\newcommand\caml{\lstset{numbers=none,language=caml,xleftmargin=10pt,%
keywordstyle
=\color{black}
%\usefont{OT1}{cmtt}{b}{n}
,basicstyle=\ttfamily\color{0.2white},commentstyle=\normalfont\small\itshape,breaklines=true,frame=trBL,framerule=1pt,framesep=4pt,rulesep=1pt,backgroundcolor=\color{creme}}
}

\newcommand{\reponse}[1]{
\begin{center}
\textcolor{blue}{\texttt{#1}}
\end{center}
}


\fbox{%
\begin{minipage}{\textwidth}
\smallskip
{\LARGE\bfseries \begin{center} Activité de recherche n°1 - L'approximation de
    $\pi$ d'Archimède -
    2\up{nde} 4
\end{center}}
\smallskip
\end{minipage}
}
\vspace{1cm}



\begin{multicols}{2}


\section{Dodécagone}

À  partir  de l'hexagone  régulier  $ABCDEF $ inscrit  dans le  cercle  de
rayon 1 et de centre $O$ que nous avons étudié précédemment, nous
voudrions tracer un polygone inscrit  à 12 côtés (dodécagone) pour avoir
un peu plus de précision.

\smallskip

Commencez d'abord par zoomer sur le triangle$ AOB$.

\sm

Le nouveau sommet $A'$ du dodécagone  est bien sûr sur le cercle et nous
le choisissons tel que $A'A=A'B$~:~pourquoi~?

\sm

Que représente la droite $(OA')$ pour le segment $[AB]$~? Pourquoi~?

\sm

La droite $(OA')$  coupe la droite $[AB]$ en  $I$~:~que pouvez-vous dire
sur I~?

\sm

Calculez les  distances $OI$ puis $IA'$  puis $AA'$ puis  le périmètre du
dodécagone.

\sm

Quelle nouvelle valeur approchée de $\pi$ obtient-on~?





\section{Tétraicosagone}

On double encore le nombre de  côtés. Zoomez comme tout à l'heure sur le
triangle  $OAA'$ et  essayez de  vous inspirer  de la  méthode  que nous
venons  d'employer  pour calculer  le  périmètre  du tétraicosagone.  On
appellera $J$ le milieu de $[AA']$.


\section{96 côtés... et plus}

\subsection{Un vieux théorème}

Reprenez la  figure du dodécagone en  traçant le cercle en  entier et en
rajoutant le point $K$, milieu de $[BA']$.

Notons $A_d$ le point diamétralement opposé à $A'$.

Que pensez-vous des segments $[OK]$ et $[A_dB]$~?


\subsection{Un nouveau théorème}


On considère  un triangle $TRI$  rectangle en $R$  et $H$ le pied  de la
hauteur issue de $R$.

Combien de triangles rectangles sont maintenant dessinés sur la figure~?

Appliquez le théorème de Pythagore à chacun de ces triangles.

On voudrait montrer que $TR^2=TH\times TI$. 

Dans une des trois équations
écrites grâce au théorème de Pythagore, isolez $TR^2$ à gauche puis
débrouillez-vous  avec les deux  autres équations  pour n'avoir  que des
$TH$ et des $TI$ à droite.


\sm

Retournez vers notre cercle et essayez de montrer que $OJ=\sqrt{\dfrac{1+OI}{2}}$.

\subsection{Un cerf-volant}

Un  cerf-volant, c'est un  quadrilatère non  croisé dont  les diagonales
sont perpendiculaires.

Soit $ABCD$ un  cerf-volant. Calculez l'aire de $ABCD$  de deux manières
différentes.

\sm

Revenez au cercle. Trouvez un cerf-volant caché dans la figure. Calculez
son   aire    de   deux   manières   différentes    pour   montrer   que
$AA'=\frac{AB}{2OJ}$.


\subsection{Héritage}

On suppose connus $OI$ et $AB$~:~comment calculer $OJ$ et $AA'$~?




En quoi cela peut nous aider à continuer à nous approcher du cercle~?



\subsection{Un ordinateur}


Tout ça nous demande beaucoup  de calculs or un ordinateur sait calculer
donc nous allons  lui laisser faire la sale  besogne. Le problème, c'est
qu'un ordinateur  est stupide~:~il faut lui  expliquer précisément quels
calculs il doit effectuer.

Appelons l'étape $0$  le cas étudié avec l'hexagone,  l'étape $1$ le cas
du dodécagone, l'étape $2$ le cas du tetraicosagone, etc.

Nous venons de voir comment,  connaissant les dimensions des côtés et la
distance du centre  au côté à une certaine  étape, nous pouvons calculer
les dimensions  des côtés  et la  distance du centre  au côté  à l'étape
suivante. 


Appelons $c(n)$ la longueur du côté du polygone de l'étape $n$ et $d(n)$
la distance de $O$ à un côté du polygone de l'étape $n$.

Que valent $c(0)$ et $d(0)$~?


Combien le polygone de l'étape $n$ a-t-il de côtés~?

Calculez $d(n+1)$  en fonction  de $d(n)$ puis  $c(n+1)$ en  fonction de
$c(n)$ et de $d(n+1)$.

Voici à l'aide  de OCAML un algorithme malin  qui permet de calculer
$d(n)$ à n'importe quelle étape $n$~:


\caml

\begin{lstlisting}
# let rec d(n)=
   if n=0 then 0.5*.sqrt(3.)
   else sqrt(0.5*.(1.+.d(n-1)));;
\end{lstlisting}

Comment  dit-on carré  en anglais~?  Et racine~?  À votre  avis,  à quoi
correspond la commande \verb+sqrt+.

À vous de trouver un programme pour calculer $c(n)$ puis pour donner une
valeur approchée par défaut de $\pi$...









\end{multicols}


\itshape

Pour  mémoire,  voici  une   petite  approximation  de  $\pi$  que  vous
apprendrez par c\oe ur~:

{

\footnotesize
$\pi\approx$
   3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862803482534211706798214808651328230664709384460

9550582231725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923

4603486104543266482133936072602491412737245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469519415

1160943305727036575959195309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489122793818301194912983367336244065664308602139

4946395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132000568127145263560827785771342757789609173637178721468440901

2249534301465495853710507922796892589235420199561121290219608640344181598136297747713099605187072113499999983729780499510597317328160

9631859502445945534690830264252230825334468503526193118817101000313783875288658753320838142061717766914730359825349042875546873115956

2863882353787593751957781857780532171226806613001927876611195909216420198938095257201065485863278865936153381827968230301952035301852

9689957736225994138912497217752834791315155748572424541506959508295331168617278558890750983817546374649393192550604009277016711390098

%4882401285836160356370766010471018194295559619894676783744944825537977472684710404753464620804668425906949129331367702898915210475216

% %2056966024058038150193511253382430035587640247496473263914199272604269922796782354781636009341721641219924586315030286182974555706749

% 8385054945885869269956909272107975093029553211653449872027559602364806654991198818347977535663698074265425278625518184175746728909777

% 7279380008164706001614524919217321721477235014144197356854816136115735255213347574184946843852332390739414333454776241686251898356948

% 5562099219222184272550254256887671790494601653466804988627232791786085784383827967976681454100953883786360950680064225125205117392984

% 8960841284886269456042419652850222106611863067442786220391949450471237137869609563643719172874677646575739624138908658326459958133904

% 7802759009946576407895126946839835259570982582262052248940772671947826848260147699090264013639443745530506820349625245174939965143142

% 9809190659250937221696461515709858387410597885959772975498930161753928468138268683868942774155991855925245953959431049972524680845987

% 2736446958486538367362226260991246080512438843904512441365497627807977156914359977001296160894416948685558484063534220722258284886481

% 5845602850601684273945226746767889525213852254995466672782398645659611635488623057745649803559363456817432411251507606947945109659609

% 4025228879710893145669136867228748940560101503308617928680920874760917824938589009714909675985261365549781893129784821682998948722658

% 8048575640142704775551323796414515237462343645428584447952658678210511413547357395231134271661021359695362314429524849371871101457654

% 0359027993440374200731057853906219838744780847848968332144571386875194350643021845319104848100537061468067491927819119793995206141966

% 3428754440643745123718192179998391015919561814675142691239748940907186494231961567945208095146550225231603881930142093762137855956638

% 9377870830390697920773467221825625996615014215030680384477345492026054146659252014974428507325186660021324340881907104863317346496514

% 5390579626856100550810665879699816357473638405257145910289706414011097120628043903975951567715770042033786993600723055876317635942187

% 3125147120532928191826186125867321579198414848829164470609575270695722091756711672291098169091528017350671274858322287183520935396572

% 5121083579151369882091444210067510334671103141267111369908658516398315019701651511685171437657618351556508849099898599823873455283316

% 3550764791853589322618548963213293308985706420467525907091548141654985946163718027098199430992448895757128289059232332609729971208443

% 3573265489382391193259746366730583604142813883032038249037589852437441702913276561809377344403070746921120191302033038019762110110044

% 9293215160842444859637669838952286847831235526582131449576857262433441893039686426243410773226978028073189154411010446823252716201052

% 6522721116603966655730925471105578537634668206531098965269186205647693125705863566201855810072936065987648611791045334885034611365768%675324944166803962657978771855608455296541266540853061434443185867697514566140680070023787765913440171274947042056223053899456131407112700040785473326993908145466464588079727082668306343285878569830523580893306575740679545716377525420211495576158140025012622859413021647155097925923099079654737612551765675135751782966645477917450112996148903046399471329621073404375189573596145890193897131117904297828564750320319869151402870808599048010941214722131794764777262241425485454033215718530614228813758504306332175182979866223717215916077166925474873898665494945011465406284336639379003976926567214638530673609657120918076383271664162748888007869256029022847210403172118608204190004229661711963779213375751149595015660496318629472654736425230817703675159067350235072835405670403867435136222247715891504953098444893330963408780769325993978054193414473774418426312986080998886874132604721 


}
\end{document}
%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
