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\begin{document}
\setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}


\begin{center}
\emph{Corrigé de l'exercice de spécialité Amérique du Sud novembre 2006} 
\end{center}


\vspace{1cm}


\begin{enumerate}
\item
  \begin{enumerate}
  \item\label{prod} Puisque $a\equiv b[7]$ et $c\equiv d[7]$, il existe deux entiers $k$ et $\ell$ vérifiant
         \[\left.\begin{array}{r}
         a=b+7k\\
         c=d+7\ell
         \end{array}\right\rbrace \Longrightarrow ac=bd+7(b\ell+dk)\]
   ce qui traduit que $ac\equiv bd[7]$. 
   \item On considère deux entiers $a$ et $b$ vérifiant $a\equiv b[7]$. 
         
         Soit $n$ un entier naturel et $P(n)$ la propriété \og $a^n\equiv b^n[n]$ \fg
         
         Comme $1\equiv 1[7]$, $P(0)$ est vraie. 
         
         On peut donc supposer qu'il existe un entier $k$ tel que $P(k)$ soit vraie. 

         On  a donc  $a^k\equiv  b^k[7]$  et $a\equiv  b[7]$.  On en  déduit,  d'après la  propriété
         démontrée au \vref{prod} que \[a^{k+1}\equiv b^{k+1}[7]\]
         ce qui traduit que $P(k)$ vraie $\Longrightarrow$ $P(k+1)$ vraie. 

         Nous avons donc démontré par récurrence que $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.
  \end{enumerate}
\item $2^3=8\equiv1[7]$ et $3^6=729\equiv 1[7]$. 

\item
  \begin{enumerate}
  \item Comme $a$ n'est pas divisible par 7, il est congru à 1,2,3,4,5 ou 6 modulo 7. 
       
        Or  on vérifie  que  $k^6\equiv 1[7]$  pour  tout $k\in\{1,2,3,4,5,6\}$,  ce  qui assure  le
        résultat. 
  \item Effectuons la division de 6 par $k$, le plus petit entier naturel non nul tel que $a^k\equiv
    1[7]$. 

    Il existe  un unique couple d'entiers $(q,r)$ tels que $6=qk+r$, avec $0\ie r<k$. 

    Alors $a^6=\left(a^{k}\right)^q\cdot a^r$.  Or $a^k\equiv 1[7]$, donc $\left(a^{k}\right)^q\cdot
    a^r\equiv a^r[7]$. 

    Mais $a^6\equiv 1[7]$, donc finalement $a^r\equiv 1[7]$. 

    Puisque $k$ est le plus petit entier naturel non nul tel que $a^k\equiv
    1[7]$ et que $0\ie r<k$, on obtient que $r$ est nul et donc que \emph{k divise 6}. 

    Les valeurs possibles de $k$ sont alors 1, 2, 3 et 6. 
  \item Nous avons déjà obtenu que 2 est d'ordre 3 et 3 est d'ordre 6. 

 On vérifie aisément que 4 n'est pas d'ordre 1, puis que $4^2=16$, donc 4 n'est pas d'ordre 2 et $4^3=2^6\equiv 1[7]$, donc 4 est d'ordre 3. 

On vérifie que 5 n'est ni d'ordre 1, ni d'ordre 2, ni d'ordre 3 : il est donc d'ordre 6. 


Enfin $6^2=36=5\times 7+1$, donc 6 est d'ordre 2.

  \end{enumerate}

\item On obtient successivement 
  \begin{itemize}
  \item[$\triangleright$] $2^{2006}=\left(2^3\right)^{668}\times 2^2\equiv 4[7]$
  \item[$\triangleright$] $3^{2006}=\left(3^6\right)^{334}\times 3^2\equiv 2[7]$
  \item[$\triangleright$] $4^{2006}=\left(4^3\right)^{668}\times 4^2\equiv 2[7]$
  \item[$\triangleright$] $5^{2006}=\left(5^6\right)^{334}\times 5^2\equiv 4[7]$
  \item[$\triangleright$] $6^{2006}=\left(6^2\right)^{1003}\quad\ \ \ \equiv 1[7]$
\end{itemize}

Finalement \[\begin{array}{rcl} A_{2006}&\equiv& 4+2+2+4+1 [7]\\
                                      & \equiv& 6[7]
            \end{array}\]

\end{enumerate}





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