

\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin1]{inputenc}          % les bons codes pour les bonnes lettres
\usepackage{listings}% pour les listings informatiques
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage{keystroke}% pour les touches du clavier
\usepackage{amsmath,amsfonts,amsthm,geometry,pst-all}
\usepackage{amssymb}
\geometry{a4paper,left=1cm,right=1cm,top=1cm,bottom=1cm,noheadfoot}
\usepackage{pifont}
\usepackage{graphicx}

%%%% les chemins des figures

 \graphicspath{{/home/moi/Liberte/Source/Figures/}{/home/moi/Lycee/Informatique/XCAS/Liberte/}{/home/moi/Lycee/Informatique/XCAS/Article_Tice/}{/home/moi/Photos/Maths/}{/home/moi/Photos/Tehessin/}}

%\usepackage{yhmath} %pour faire un arc de cercle $\wideparen{AB}$ 
\usepackage{eurosym} % pour avoir le symbole euro \euro
\pagestyle{empty}
\setlength{\parindent}{0cm}
\usepackage{multicol}
\usepackage{slashbox} %pour barrer une cellule d'un tableau
\usepackage{color}
\usepackage{mathrsfs, wasysym} % mathscfs donne accès aux lettres curvilignes
\usepackage{pstricks,pstricks-add,pst-math,pst-xkey} % packages utiles pour le pstricks
\usepackage{multirow,colortbl,tabularx} % packages utilisés dans un tableau (tabular)
\usepackage{array}
\usepackage{calc,fp}

\makeatletter
\define@key[psset]{}{transpalpha}{\pst@checknum{#1}\pstranspalpha}
\psset{transpalpha=1}
\def\psfs@transp{%
  \addto@pscode{/Normal .setblendmode \pstranspalpha .setshapealpha }%
  \psfs@solid}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ceci sert lorsqu'on remplit une figure géométrique

\newcounter{numero}
\newcommand{\partie}{
\addtocounter{numero}{1}%
\textbf{\psframebox*[fillcolor=black!60]{\textbf{\white Partie \arabic{numero}:}}}\quad}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% incrémente le numéro de la partie

\setlength\leftmargini{0.73cm}
\renewcommand{\labelenumi}{\psframebox*[fillcolor=black!25]{\textbf{\white{\arabic{enumi}.}}}}
\setlength\leftmarginii{0.40cm}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\alph{enumii}.}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% définition des items

\newcounter{degradecadre}
\newcounter{ptinit}
\newcounter{ptfin}
\newcounter{ycadreinit}
\newcounter{ycadrefin}
\newcommand{\cadre}[2]{\begin{pspicture}(0,0)(19,1.4)
	\multido{\i=1+1}{16}{
		\multido{\n=1+1}{2}{
			\FPeval{\degradecadre}{90-\i*4}
			\FPeval{\ptinit}{1.1875*(\i-1)}
			\FPeval{\ptfin}{1.1875*(\i-1)+1.1875}
			\FPeval{\ycadreinit}{(\n-1)*1.4}
			\FPeval{\ycadrefin}{(\n-1)*1.4+0.1}
			\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=black!\degradecadre,linestyle=none](\ptinit,\ycadreinit)(\ptfin,\ycadrefin)}}
	\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=black!90,linestyle=none](0,0)(0.1,1.4)
	\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=black!26,linestyle=none](18.9,0)(19,1.4)
	\rput(9.5,1){#1} \rput(9.5,0.4){#2}
\end{pspicture}\par}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% cadre et titre

\newcounter{degrade}
\newcounter{ptdepart}
\newcounter{ptfinal}
\def\lignetirets{\begin{pspicture}(0,0)(19,0.2)
	\multido{\i=1+1}{16}{
		\FPeval{\degrade}{90-\i*4}
		\FPeval{\ptdepart}{1.2*(\i-1)}
		\FPeval{\ptfinal}{1.2*(\i-1)+1}
		\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=black!\degrade,linestyle=none](\ptdepart,0)(\ptfinal,0.2)}
\end{pspicture}\par}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% ligne tirets

\renewcommand\rmdefault{phv}

\newcommand{\procedure}[3]{
	\setlength{\arrayrulewidth}{1.8pt}
	\begin{tabularx}{#1}[t]{|X}
		\rowcolor[gray]{0.6}
		\textcolor{white}{#2}\\ 
		\cellcolor{gray!20}
		#3\\
	 \hline
	\end{tabularx}
	\setlength{\arrayrulewidth}{0.6pt}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% crée les cadres pour Procédure; en paramètre, on met le texte

\def\R{{\mathbb R}} % les réels
\def\Q{{\mathbb Q}} % les rationnels
\def\Z{{\mathbb Z}} % les entiers relatifs
\def\D{{\mathbb D}} % les décimaux
\def\N{{\mathbb N}} % les entiers naturels
\def\C{{\mathbb C}} % les complexes
\def\c{{\mathscr C}} % pour les courbes
\def\Pl{\mathscr{P}} % pour les plans
\def\Oij{$\left(O;~\vec{i},~\vec{j}\right)$} % pour nommer un repère (O;i,j)
\def\cad{c'est-à-dire}
\def\e{\mathrm{e}} %pour écrire correctement le nombre e
\def\i{\mathrm{i}} %pour écrire correctement le nombre i
\def\d{\,\text{d}} % pour avoir un d droit dans l'intégrale

\newcommand{\ve}[1]{\overrightarrow{#1}} %pour les vecteurs
\newcommand{\Cnp}[2]{\displaystyle{{#1 \choose #2}}} % pour les p parmi n
\newcommand{\systeme}[2]{\left\{\begin{array}{l}
	#1\\
	#2\\
\end{array}\right.} % pour créer un système de deux équations

\makeatletter
\newlength{\@longarc}
\newcommand{\arc}[1]{\settowidth{\@longarc}{$#1$}
	\addtolength{\@longarc}{-0.2em}
	\unitlength \@longarc
	\ensuremath{
		\stackrel{\begin{picture}(1,0.2)
			\qbezier(0,0)(0.5,0.2)(1,0)
		\end{picture}}
		{#1}
	}}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%   Pour les listings de code et les réponses du logiciel


\usepackage{bold-extra,fancyvrb}
\usepackage[scaled=0.85]{luximono}
\DefineVerbatimEnvironment{boxedverbatim}{Verbatim}{gobble=2,frame=single,framesep=4mm,label=\textit{\small
    Réponse du logiciel}}

\definecolor{0.9white}{rgb}{0.9,0.9,0.9}
\definecolor{0.2white}{rgb}{0.2,0.2,0.2}


\lstloadlanguages{XCAS}
\lstset{numbers=none,language=XCAS,xleftmargin=10pt,%
keywordstyle =\color{0.2white}\bfseries\usefont{OT1}{cmtt}{b}{n},basicstyle=\ttfamily,commentstyle=\normalfont\scriptsize\itshape,%\small,
    backgroundcolor=\color{0.9white},breaklines=true}
   

\newcommand\Prog[1]{{\bfseries\ttfamily #1}}

\newcommand{\code}[1]{\texttt{#1}}


% %%% un ; avec un peu d'espace autour pour les intervalles
\newcommand{\pv}{\ensuremath{\: ; \,}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% pour créer un arc de cercle
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Début du document %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\begin{document}
\setlength{\unitlength}{1mm}

\cadre{\LARGE \emph{AIRE VARIABLE }}{\Large \emph{Découverte de la géométrie dynamique avec XCAS }}



\textbf{Compétences mathématiques\::}\par
	\hspace{1cm} $\bullet$  Généralités sur les fonctions.

\textbf{Compétences informatiques\::}\par
	\hspace{1cm} $\bullet$  Création de points mobiles dépendant de paramètres formels.

\textbf{Prérequis\::}\par
	\hspace{1cm} $\bullet$  Rien de particulier.

\lignetirets


\partie \textbf{Un premier exemple guidé}\\
\procedure{\linewidth}{Le problème}{On considère un triangle ABC rectangle en A tel que $AC=3$ et $AB=4$. Soit M un point quelconque du segment [AC]. On construit le rectangle AMNP tel que N appartienne à [BC] et P à [AB].
Étudiez l'aire du rectangle AMNP en fonction de la position de M. }

\begin{enumerate}
\item \textbf{Construction de la figure}\\

  \begin{enumerate}
  \item On commence par ouvrir une fenêtre de géométrie en tapant simultanément sur \Alt et
    \keystroke{g} puis définissons les points A et B dans un repère judicieusement choisi. On
    utilise \code{point(x,y)}~:


    \begin{lstlisting}
A:=point(0,0)   //  on place A
B:=point(0,-4)  // on place B tel que AB=4 en laissant le 1er quadrant libre pour y tracer la courbe à la fin de la séance
    \end{lstlisting}

\item 
Définissons  ensuite le point C tel que  le triangle ABC soit direct, rectangle en A et que l'on ait
$AC=\frac{3}{4}AB$ à l'aide de la commande \code{triangle\_rectangle}~:

\begin{lstlisting}
triangle_rectangle(A,B,3/4,C)
\end{lstlisting}
 

\item 
Créons maintenant un réel quelconque de $[0\pv 3]$ que l'on puisse faire varier  à la souris à l'aide
de la commande \code{assume(t=[valeur de départ,mini,maxi])}~:

\begin{lstlisting}
assume(t=[1,0,3])
\end{lstlisting}

\item 
Définissons maintenant le point M d'abscisse variable t~:

\begin{lstlisting}
M:=point(t,0)
\end{lstlisting}

\item 
Pour définir N, on commence par définir la perpendiculaire\index{Perpendiculaire} en M à la droite $(AC)$. La syntaxe est
tout à fait naturelle grâce  à \code{perpendiculaire(Point,Droite)}. C'est bien ce que l'élève doit
tracer sur sa feuille de papier pour tracer le rectangle~:

\begin{lstlisting}
d:=perpendiculaire(M,droite(A,C)) 
\end{lstlisting}



\item 
Définissons ensuite N comme l'intersection\index{Intersection} de d et $(BC)$ grâce à \code{inter\_unique}~:

\begin{lstlisting}
N:=inter_unique(d,droite(B,C))
\end{lstlisting}


\item 

Pour obtenir P, on définit la parallèle\index{Parallée} à $(AC)$ passant par N  à l'aide de \code{parallele(Point,Droite)}~:

\begin{lstlisting}
D:=parallele(N,droite(A,C)); 
\end{lstlisting}



puis l'intersection de D et $(AB)$~:

\begin{lstlisting}
P:=inter_unique(D,droite(A,B))
\end{lstlisting}

\item Il ne reste plus qu'à définir le rectangle APNM grâce à la commande \code{polygone}~:

\begin{lstlisting}
R:=polygone(A,P,N,M)
\end{lstlisting}


et à dessiner le rectangle\index{Rectangle} dépendant du \emph{paramètre\index{Paramére}} t~:

\begin{lstlisting}
couleur(R,jaune+rempli)
\end{lstlisting}



\item En faisant varier t à la souris\index{Souris}, le rectangle ~bouge~.

 


  \end{enumerate}


\item \textbf{Étude de la fonction définie par l'aire du rectangle}

 \begin{enumerate}
  \item 
Définissons maintenant l'expression de l'aire du rectangle dépendant de  t. Appelons-la par exemple \code{Surf}~:

\begin{lstlisting}
Surf:=aire(R) 
\end{lstlisting}


\item 
Donnons son expression simplifiée~:

\begin{lstlisting}
simplifier(Surf)
\end{lstlisting}

\item 
Définissons le point X de la courbe représentative\index{Courbe repréentative} de la fonction associée d'abscisse t~:

\begin{lstlisting}
X:=point(t,Surf)
\end{lstlisting}


\item 
On trace enfin la courbe représentative de la fonction associée à l'aide de la commande \code{graphe}~:


\begin{lstlisting}
graphe(Surf,t=0..3,couleur=bleu)
\end{lstlisting}

 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
  \includegraphics[width=\textwidth]{ArticleTice.eps}
\end{center}




 
\partie \textbf{À vous de jouer}\\
\procedure{\linewidth}{Le problème}{On considère un triangle isocèle de sommet principal O avec
  OA=6cm, OB=6cm. On place M sur [OA] et on note $x=OM$. On place N sur [OB] tel que $BN=OM$. Quand
  le point M varie sur [OA], le triangle OMN varie. On souhaite étudier l'aire du triangle OMN en
  fonction de $x$.}


En vous inspirant de ce qui a été fait à la partie précédente, étudiez ce nouveau problème. Vous
tracerez la figure à l'aide de \Prog{XCAS}. 

Vous y ferez apparaître la courbe représentative de la fonction $f$ qui à $x$ associe l'aire de
OMN. Vous demanderez à \Prog{XCAS} l'expression de cette aire en fonction de $x$. 





\end{document}




%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
