\input{/home/moi/Lycee/makalice}\setlength{\parindent}{0pt}
\entete{TD G�n�ralit�s sur les fonctions}{\textsc{MATHS - SGM - $1^{\text{�re}}$ ann�e}}{IUT de Nantes, dpt SGM}

\setlength{\parindent}{0pt}

\begin{document}

\thispagestyle{empty}

\setlength{\parindent}{0pt}
\titre{TD G�n�ralit�s sur les fonctions}{}


\section*{Contre les pertes de m�moire}

\exot{Logarithme}

Vous vous rappellez que 

\ENC{Propri�t� fondamentale du logarithme}{pour tous r�els $a$ et $b$ STRICTEMENT POSITIFS $$\ln(a\times b)=\ln a+\ln b$$}

\'A partir de cette relation,

\been
\item calculez $\ln 1$,
\item calculez $\ln\pa{\fr{1}{a}}$,
\item calculez $\ln\pa{\fr{a}{b}}$ en fonction de $\ln a$ et $\ln b$,
\item calculez $\ln\pa{a^k}$ pour $k\in \bbz$
\item calculez $\ln\pa{\sqrt(a)}$
\een


\exot{Exponentielle}

Sachant que la fonction exponentielle v�rifie 


\ENC{Logarithme et exponentielle}{$$ \forall x>0,\quad \exp(\ln x)=x$$  $$\forall x\in\bbr \ln\big(\exp(x)\big)=x$$}

\been
\item calculez $\ln\pa{\exp(a+b)}$ et $\ln\pa{\exp(a)\times\exp(b)}$. Qu'en d�duisez-vous ?
\item calculez $\exp(0)$,
\item calculez $\exp(a-b)$ et $\exp(-b)$ en fonction de $\exp(a)$ et $\exp(b)$
\item calculez $\exp(ka)$ en fonction de $\exp(a)$ avec $k\in\bbz$
\een

\exot{\'Equation logarithmique} Sachant que le logarithme <<~descend~>> les puissances, r�solvez $x^{\pa{x^x}}=\pa{x^x}^x$



\section*{Limites}

\exot{Avec la d�finition}
Prouvez � l'aide de la d�finition du cours que $\Lim{+\infty}\ln x=+\infty$. D�duisez-en  $\Lim{0}\ln x$

\exot{Limite de la fonction exponentielle}
En �tudiant rapidement la fonction $\f~:~x\mapsto e^x-x$, prouvez que $\Lim{+\infty}e^x=+\infty$.


\exot{Calculs de limites}

$$\Lim{-\infty}\fr{5x+7}{x+2}\quad \Lim{+\infty}\fr{2x^3-4x+9}{x^2+x+2}\quad \Lim{-\infty}\cos(1/x)\quad\Lim{+\infty}\ln\pa{1+e^{-x}}$$
$$\Lim{-\infty}\fr{e^{-x}+2}{e^{-2x}+3}\quad \Lim{+\infty}\cos(5x)e^{-6x}\quad \Lim{0}x^2\sin(1/x^2)$$


\exot{De la g�om�trie pour calculer une limite}

Voici une premi�re m�thode de calcul de $\Lim{0}\fr{\sin x}{x}$.
Pourquoi suffit-il d'�tudier la limite pour des valeurs de $x>0$ ?

\des{limfonc.12}{5}

Utilisez la figure pour obtenir que, pour tout $x\in]0,\pi/2[$, $$\sin x<x<\tan x$$

D�duisez-en un encadrement de $\fr{\sin x}{x}$ pour tout $x\in]0,\pi/2[$ et concluez.

\exot{Limites trigonom�triques}

En supposant connu le r�sultat de l'exercice pr�c�dent, calculez $\Lim{0}\fr{\sin(2x)}{x}$, $\Lim{0}\fr{\tan x}{x}$ et $\Lim{0}\fr{1-\cos x}{x^2}$

\env{Pour la 3�me, utilisez la formule bien connue $\cos(2a)=1-2\sin^2(a)$}

\exot{Limite et radicaux}

Calculez $\Lim{0}\fr{\sqrt{1+x}-1}{x} \qquad \Lim{+\infty}\pa{\sqrt{x^2+1}-x} \qquad \Lim{0}\fr{x^2}{1-\sqrt{1-x^2}}$




\exot{Croissances compar�es}
\been
\item \'Etudiez rapidement la fonction $\f~ :~x\mapsto \ln x-2\sqrt{x}$ et d�duisez-en $\Lim{+\infty}\fr{\ln x}{x}$
\item Soit $\al\in\bbn\setminus\{0\}$ et $x\in]0,+\infty[$. On pose $f(x)=\fr{\ln x}{x^{\al}}$.\been\item \been
\item En posant $X=x^{\al}$, montrez que $f(x)=\fr{1}{\al}\fr{\ln X}{X}$.
\item D�duisez-en que $\Lim{+\infty}\fr{\ln x}{x^{\al}}=0$.\een
\item Soit $g(x)=x^{\al}\ln x$\been
\item En posant $X=1/x$, exprimez $g(x)$ en fonction de $X$ et $\al$.
\item Qu'en d�duisez-vous d'int�ressant~?
\een\een

\item  On pose maintenant $\f(x)=e^x/x^{\al}$.\been
\item\been
\item Montrez que $\f(x)=e^{x\pa{1-\al\frac{\ln x}{x}}}$
\item D�duisez-en $\Lim{+\infty}\f(x)$
\een
\item On pose $\psi(x)=x^{\al}e^{-x}$ \been
\item D�montrez que $\psi(x)=e^{-x\pa{1-\al\frac{\ln x}{x}}}$
\item Qu'en d�duisez-vous d'int�ressant~?
\een \een
\een

\ENC{Croissances compar�es}{Pour tout entier naturel $n$ non nul $$\Lim{+\infty}\fr{\ln x}{x^n}=0\quad \Lim{+\infty} \fr{e^x}{x^n}=+\infty\quad
\Lim{0}x^n\ln x=0\quad \Lim{-\infty}x^ne^x=0$$}



\exot{Calcul de limites en l'infini} \'Etudier les limites quand $x$ tend vers $+\infty$ de
$$\quad
a)\ f_1(x)=x^{1/x}\  b)\ f_2(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x \ c)\ f_3(x)=\left(\frac{\ln x}{x}\right)^{1/x}\  d)\ f_4(x)=\frac{x^{\ln
x}}{(\ln x)^x}.$$

\jok{Pour b) posez t=1/x; pour c), d�composez l'exposant de e � l'aide d'expressions du type $\ln t/t$}


\exot{Calcul de limites en 0} \'Etudier les limites quand $x$ tend vers $0^+$ de
$$a)\ g_1(x)=x^x\qquad
b)\ g_2(x)=(x^x)^x\qquad c)\ g_3(x)=x^{(x^x)}$$ $$ d)\ g_4(x)=\left(-\ln x\right)^{x}\qquad e)\ g_5(x)=x^2e^{1/x}.$$

\jok{d) posez $t=-\ln x$; e) t=1/x}


\exot{Branches infinies}
 \'Etudiez les branches infinies des courbes dont on donne une �quation. Donnez une �quation des asymptotes lorsqu'elles existent.

\been
\item $y=\fr{x^2-x+2}{x-2}$
\item $y=\fr{x^3}{x-1}$
\item $y=\sqrt{x^2+x+1}$
\item $y=x+\sqrt{x^2-1}$
\item $y=\fr{\sin x}{x}$
\item $y=2x-\cos x$
\een











\exot{\`A la d�couverte du logiciel XCAS}

Le logiciel XCAS va �tre notre compagnon tout au long de l'ann�e. Il a l'avantage de renfermer un logiciel de calcul formel, un tableur facilement programmable, un logiciel de g�ometrie int�ractive, et j'en passe et des meilleures, et tout �a gratuitement, c'est � dire que vous allez vous empresser de le t�l�charger (et oui, un ordinateur ne sert pas seulement de super play station) � l'adresse suivante
\begin{center}
\texttt{http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/\%7Eparisse/irem.html}
\end{center}

Nous allons tout d'abord �tudier une limite tr�s simple : $\Lim{+\infty}\fr{2x^2+1}{x^2}$

On tape 

\cas{f:=x->(2*x\p 2+1)/x\p 2}

On obtient ensuite des valeurs particuli�res 

\cas{f(1)}
\cas{f(32)}

Pour obtenir une valeur approch�e, on tape

\cas{evalf(f(32))}

Pour obtenir le graphique, 

\cas{plot(f(x))}

Pour obtenir le graphe seul, on clique sur geo jaune. Pour obtenir simultan�ment l'historique et le graphe, on clique sur le menu Edit - fen�tres - 2 fen�tres.

Pour obtenir un tableau de valeurs, on clique sur \texttt{mtrw}

Pour obtenir un tableau avec un pas de 1, on tape \texttt{1} en A0 puis \texttt{=A0+1} en A1 puis on clique sur \texttt{remplir} - \texttt{vers le bas}.

 En B0, on tape \texttt{=f(A0)} et on �tire pour avoir les valeurs exactes.

En C0, on tape \texttt{=evalf(B0)} pour avoir les valeurs approch�es.

On tape \cas{limit(f(x),x,+infinity)} pour calculer la limite


Nous verrons bien d'autres applications. Nous apprendrons notamment � programmer XCAS pour ne pas s'en servir seulement comme une super calculatrice.







\exot{<<~D�veloppements limit�s~>>}



\been
\item En utilisant les r�sultats des exercices 6 et 7, montrez que, au voisinage de 0, on a les r�sulats suivant avec $\Lim{0} e(x)=0$

\bel
\item $\sin x=x+x\cdot e(x)$
\item $\cos x=1-\fr{x^2}{2}+x^2\cdot e(x)$
\item $\tan x=x+x\cdot e(x)$
\item $\sqrt{1+x}=1+\fr{x}{2}$
\el

\item Sur XCAS ou votre calculatrice, tapez 

\cas{plot([x,sin(x)],color=[red,green])}

Regardez ce qui se passe pour $x\in[-1/2,1/2]$ puis sur $[-10,10]$. Faites de m�me pour les autres fonctions. Qu'en pensez-vous ?

\item Toujours plus fort : calculez $\Lim{0}\fr{\sqrt{1+x}-(1+x/2)}{x^2}$. D�duisez-en que $$\sqrt{1+x}=1+\fr{x}{2}-\fr{x^2}{8}+x^2\cdot e(x)$$
Observez alors le graphique 

\cas{plot([sqrt(1+x),1+0.5*x,1+0.5*x-0.125*x\p2],color=[red,blue,green])}

Commentaires ?
 
\item Avec deux chapitres d'avance, parlons tangente : donnez une �quation de la tangente � la courbe d'�quation $y=\sqrt{1+x}$ au point d'abscisse 0. Des remarques ?

Quelle est la position de la courbe par rapport � la tangente ? Des remarques ? 

\een


\exot{\'Equivalents}
 \been

\item D�montrez � l'aide de la d�finition que $f\ds\underset{a}{\sim}f$

\item D�montrez que si $f\ds\underset{a}{\sim}g$ et $g\ds\underset{a}{\sim}h$, alors $f\ds\underset{a}{\sim}h$

\item D�montrez que si $f\ds\underset{a}{\sim}g$ et $h\ds\underset{a}{\sim}k$, alors $fh\ds\underset{a}{\sim}gk$

\item D�montrez alors que si  $f\ds\underset{a}{\sim}g$, alors $f^n\ds\underset{a}{\sim}g^n$ avec $n\in\bbn$.

\item D�montrez que $\sin x\ds\underset{0}{\sim}x$

\item D�montrez que $1-\cos u\ds\underset{0}{\sim}\fr{u^2}{2}$

\item Calculez $\Lim{0}\fr{x\big(1-\cos(\sqrt{3x}\big)}{\sin^2x}$ en deux lignes.

\een


\exot{Croyable mais faux}

\been

\item Est-il vrai qu'une fonction strictement croissante tend
forc�ment vers $+\infty$~?

\sm

 On pourrait le penser en effet : une fonction qui ne fait que
cro�tre va forc�ment monter vers $+\infty$. Et pourtant c'est
FAUX~!

Je vous laisse trouver un \textit{contre-exemple}.



\item Est-il vrai qu'une fonction qui tend vers $+\infty$ est
forc�ment croissante pour $x$ assez grand~?

\sm

 On pourrait le penser en effet : puisqu'il faut aller vers
l'infini et au-del�, il va bien falloir monter sans s'arr�ter. Et
pourtant c'est FAUX~!

Je vous laisse trouver un \textit{contre-exemple}.


%Consid�rez par exemple la suite de la berg�re allant au march� de
%terme g�n�ral $u_n=n+(-1)^{n+1}+1$.

\item Est-il vrai qu'une fonction born�e tend forc�ment vers un
r�el en $+\infty$~?

\sm

 On pourrait le penser en effet : puisque la fonction est born�e,
elle ne pourra aller vers l'infini, donc il faut qu'elle se
stabilise quelque part. Et pourtant c'est FAUX~!

Je vous laisse trouver un \textit{contre-exemple}.




%Consid�rez par exemple les suites de termes g�n�raux
%$u_n=(-323)^n$ et $v_n=\sin n$.

%\tsx Est-il vrai qu'une suite ne prenant qu'un nombre fini de
%valeurs converge forc�ment~?

%\pro On pourrait le penser en effet : puisque la suite ne prend
%qu'un nombre fini de valeurs, elle va se stabiliser sur l'une
%d'elle. Et pourtant c'est FAUX~!
\item Est-il vrai qu'une fonction tendant vers $M$ en $+\infty$ est major�e par $M$

\sm J'avoue que c'est difficile � croire, mais il y a toujours des �tudiants pour  tomber dans le panneau.

Je vous laisse trouver un \textit{contre-exemple}.

\een
\break


\section*{Continuit�}

\exot{Des fonctions discontinues pour physiciens}

\been
\item
On note $\UR$ la fonction d�finie sur $\bbr$ par

$$\UR(x)=\begin{cases} 0 \text{ si } x<0\\
                       1 \text{ si } x\se0
                       \end{cases}$$

Repr�sentez graphiquement la fonction $\UR$ puis   la fonction $\Lambda$ d�finie sur $\bbr$ par
$$\Lambda(x)=x\UR(x)-2(x-1)\UR(x-1)+(x-2)\UR(x-2)$$

\item Soient $A$ et $T$ deux r�els non nuls. Soit $f_A$ la fonction paire et $T$-p�riodique d�finie par
$$f_A(x)=A-\fr{2A}{T}x$$
pour tout $x\in[0,T/2]$.

Repr�sentez graphiquement $f_A$.

Donnez une formule explicite de $f_A(x)$ pour tout $x\in[-T/2,0]$.
\een



\exot{Preuve par le dessin}
 Soit $f$ une fonction continue sur $[0,1]$ et � valeurs dans $[0,1]$.

Montrez �  l'aide d'un dessin qu'il existe un r�el $x_0\in[0,1]$ v�rifiant $f(x_0)=x_0$. 

\exot{L'analyse au secours de l'alg�bre}

Montrez que tout polyn�me de degr� impair poss�de au moins une racine r�elle. 

\exot{A mad tea party : un peu de logique}



\begin{center}
\includegraphics[height=5cm]{/home/moi/ts/ts/MadHatter.eps}
\end{center}


\textit{<<~Reprenez donc un peu de th�~>> propose le Li�vre de Mars.}

\textit{<<~Je n'ai rien pris du tout, je ne saurai donc reprendre de rien~!~>>}

\textit{<<~Vous voulez dire que vous ne sauriez reprendre de quelque chose~>> repartit le Chapelier.\\
 <<~Quand il n'y a rien, ce n'est pas
facile d'en reprendre~>>.}

\sm

 \begin{itemize}

 \item Alors comme �a, vous �tes �tudiante~?
 \item Oui, en math�matiques par exemple.
 \item alors que vaut cette fraction : un sur deux sur trois sur quatre~?
 \item Eh bien ...
 \item Elle vaut deux tiers, la devan�a le Loir.
 \item Ou trois huiti�mes si vous pr�f�rez, ajouta le Li�vre de Mars.
 \item Ou encore un sur vingt-quatre, affirma le Chapelier.
 \item En fait, je crois que...
\item Aucune importance ! D�tes-nous plut�t combien vous voulez de sucre dans votre th�~?
\item Deux ou trois, �a d�pend de la taille de la tasse.
\item Certainement pas, car de toute fa�on, deux ou trois c'est pareil.
\item Parfaitement~! approuva le Loir en fixant Alice qui �carquillait les yeux.
\item Ce n'est pourtant pas ce qu'on m'a appris, fit celle-ci.
\item Pourtant, ce n'est pas compliqu� � comprendre, en voici une d�monstration des plus �l�mentaires\\
                On sait que pour tout entier $n$ on a successivement
                $$(n+1)^2=n^2+2n+1$$
                $$(n+1)^2-2n-1=n^2$$
                Retranchons $n(2n+1)$ des deux c�t�s
                $$(n+1)^2-(n+1)(2n+1)=n^2-n(2n+1)$$
                M�zalor, en ajoutant $(2n+1)^2/4$, on obtient
                $$(n+1)^2-(n+1)(2n+1)+\fr{(2n+1)^2}{4}=n^2-n(2n+1)+\fr{(2n+1)^2}{4}$$
                Soit
                $$\pa{(n+1)-\fr{2n+1}{2}}^2=\pa{n-\fr{2n+1}{2}}^2$$
En passant � la racine carr�e, on obtient
$$(n+1)-\fr{2n+1}{2}=n-\fr{2n+1}{2}$$
d'o�
$$n+1=n$$
Et si je prends $n=2$, j'ai aussit�t $3=2$
\item Alors, qu'est-ce que vous en dites~?
\item Je...commen�a Alice.
\item D'ailleurs, cela prouve que tous les entiers sont �gaux, la coupa le Li�vre de Mars.
\item Pas mal du tout ! Qu'en dites-vous mademoiselle la math�maticienne~?
\item Je vais vous dire tout de suite ce que j'en pense
\item Ah non ! Nous pr�f�rerions de loin que vous pensiez ce que vous allez nous dire.
\item C'est pareil ! grin�a Alice qui commen�ait � en avoir assez.
\item Comment �a, c'est pareil~? Dire ce que l'on pense ce serait pareil que penser ce que l'on dit~? S'�trangla le Li�vre de Mars.
\item Incroyable ! Et manger ce qu'on voit ce serait pareil que voir ce qu'on mange~?
\item Mais...
\item Et respirer quand on dort pareil que dormir quand on respire ~?
\item En logique, nous vous mettons 3 sur 5.
\item Autant dire moins que un.
\item C'est � dire z�ro, puisque si 2=3 alors 1=0.
\item Parce que chez vous, 3 c'est moins que 1 ? s'indigna Alice.
\item On se demande ce qu'on vous apprend � l'�cole ! Bien s�r que oui ! Tenez, consid�rez
$$f(x)=\fr{x^2+32}{2x^2+1}+\fr{|x|+1}{2x+51}$$
Eh bien il est facile de voir que cette fonction a pour limite 0 en moins l'infini et 1 en plus l'infini.
\item Je ne dis pas le contraire, protesta Alice.
\item Donc l'image par $f$ de $\bbr$ est l'intervalle $]0,1[$, or $f(0)=3$, donc 3 appartient � $]0,1[$ � ce titre : on a bien 3 plus
petit que 1.
\item C'est de la folie pure, pensa Alice...
\end{itemize}



\section*{D�rivation}

\exot{Calculs de d�riv�es}

$$a(x)=\pa{\cos(x)^6}\quad b(x)=\fr{1}{\ln x}\quad c(x)=\sqrt{1+e^{-2x}}\quad d(x)=e^{sin{x}}\quad \pa{x^2+x+3}^{3/2}\quad e(x)=\ln\pa{\ln x}$$
$$f(x)=\ln\pa{\ln\pa{\ln{\pa{ln x}}}}\quad g(x)=\fr{2\sqrt{x}}{1+x}\quad h(x)=\ln\pa{\fr{1+x}{1-x}}\quad i(x)=\fr{j\omega x}{(j\omega x)^2+3j\omega x+1}$$

\exot{Une d�riv�e pour calculer une limite}

Calculez $$\Lim{2}\fr{\sqrt{x+2}-2}{x-2}\quad \Lim{0}\fr{\ln(1+x)}{x}\quad \Lim{0}\fr{e^x-1}{x}$$


\exot{Probl�me d'optimisation}
Les mol�cules d'un gaz enferm� dans un r�cipient � la
temp�rature $T$ sont anim�es d'une vitesse de $v$ cm.s$^{-1}$. Cet
�tat d'�quilibre est caract�ris� par la fonction de distribution
de vitesse de \textsc{Maxwell-Boltzmann}
$$F(v)=cv^2\,e^{-mv^2/(2kT)}$$
o� $T$ est la temp�rature (en K), $m$ la masse d'une mol�cule et
$c$ et $k$ des constantes positives.

Montrez que la valeur maximale de $F$ a lieu en $v=\sqrt{2kT/m}$.


\exot{Taux de croissance d'une �l�phante}
 La fonction de croissance de \textsc{von Bertanlanffy} donne
approximativement la masse $W(t)$ (en kg) � l'�ge $t$ (en ann�es)
des �l�phants africains femelles. Son expression est
$$W(t)=2600\left(1-0,51 e^{-0,075\,t}\right)^3$$
\been
\item \'Evaluez la masse et le taux de croissance d'un
nouveau-n� (le taux de croissance � l'instant $t$ est �videmment
$W'(t)$).
\item Calculez et interpr�tez $\ds\lim_{t\to +\infty}W(t)$.
\item Montrez que le taux de croissance le plus fort se situe
entre 5 et 6 ans.
 \een






\exot{Une trigonom�trie exponentielle}

On appelle cosinus hyperbolique la fonction d�finie sur $\bbr$ par
$$\ch~:\ x\mapsto \ch(x)=\fr{e^x+e^{-x}}{2}$$
sinus hyperbolique la fonction d�finie sur $\bbr$ par
$$\sh~:\ x\mapsto \sh(x)=\fr{e^x-e^{-x}}{2}$$
et tangente hyperbolique la fonction d�finie par
$$\th~:\ x\mapsto\fr{\sh(x)}{\ch(x)}$$
\been

\item D�terminez les d�riv�es de ces fonctions en fonction de ch
et sh.
\item \'Etudiez ces fonctions pour montrer que ch est � valeurs dans $[1,+\infty]$ et que th
est d�finie sur $\bbr$ et � valeurs dans $[-1,1]$.
\item Calculez $\th(x)$ en fonction de $e^x$ et $e^{-x}$, puis en fonction de $e^{2x}$, enfin en fonction de $e^{-2x}$.
\item Montrez que $\ch^2(x)-\sh^2(x)=1$.
\item Montrez que $\ch(x+y)=\ch(x)\ch(y)+\sh(x)\sh(y)$ et que
$\sh(x+y)=\sh(x)\ch(y)+\ch(x)\sh(y)$.
\item D�duisez-en que
$\th(x+y)=\fr{\th(x)+\th(y)}{1+\th(x)\th(y)}$
\item On pose $t=\th(x/2)$. Montrez que $\ch(x)=\fr{1+t^2}{1-t^2}$
puis que $\sh(x)=\fr{2t}{1-t^2}$
\item R�solvez dans $\bbr$ l'�quation $5\ch(x)-4\sh(x)=3$. Vous
donnerez une valeur approch�e de la solution � $10^{-3}$ pr�s.
\item Pour le plaisir : d�rivez la fonction $x\mapsto
\fr{2\sin(x)\sh(x)}{(\sh(x)+\sin(x))^2}$
\item Soit $y\in\bbr$. Comparez $\sh(y)$ et $y$.
\item Montrez que $\sh(2x)=2\sh(x)\ch(x)$ puis �tudiez la fonction
$f$ d�finie sur $]0,+\infty[$ par $$f(x)=\fr{\th(x)}{x}$$.

\een


\exot{Calcul d'erreur }

Dans un essai de flexion 3 points, le module d'Young est donn� par $$E=\fr{FL^3}{4fbh^3}$$
avec $F$ la force exerc�e sur l'�prouvette, $L$ la longueur entre appuis de l'�prouvette, $f$ la fl�che, $b$ la largeur de l'�prouvette et $h$ la hauteur de l'�prouvette.

\sm

Donnez l'expression de l'erreur relative absolue $\ab{\fr{dE}{E}}_{max}$ en fonction des erreurs $dF$, $dL$, $df$, $db$ et $dh$ sur les diff�rentes grandeurs.


\exot{D�rivabilit�}
 La fonction $f$ est d�finie sur $\bbr$ par $\begin{cases} f(x)=\exp\pa{\fr{x-1}{x^2}}\quad\text{si } x\neq 0\\ f(x)=a
\quad\text{si } x=0\end{cases}$

\been
\item Rappelez la d�finition d'une fonction continue en z�ro.
\item Existe-t-il une valeur de $a$ telle que $f$ soit continue en z�ro~?
\item Sachant que $\Lim{+\infty}\fr{e^x}{x}=+\infty$, montrez que $\Lim{-\infty}xe^x=0$.
\item Rappelez la d�finition d'une fonction d�rivable en z�ro.
\item La fonction $f$ est-elle d�rivable en z�ro~?
\item Calculez $f'(x)$ pour tout $x\in\bbr^*$. La fonction $f'$ est-elle continue en z�ro~?
\een


\exot{Construction approch�e du graphe d'une solution par la
m�thode d'Euler - Illustration � l'aide de XCAS}




Soit $f$ une fonction d�rivable sur $\bbr$ v�rifiant $f(0)=1$ et,
pour tout $x$, $f'(x)=f(x)$.

\been

\item Soit $h$ un r�el voisin de z�ro. Montrez que, pour tout r�el
$a$, l'approximation affine donn�e par le calcul des d�riv�es
s'�crit
$$f(a+h)\simeq (1+h)\times f(a)$$
\item On prend $h=0,001$. On note $(a_n)$ la suite d�finie par
$a_0=0$ et $a_{n+1}=a_n+h$. Donnez une approximation de
$f(a_{n+1})$ en fonction de $f(a_n)$.

D�duisez-en que la suite des approximations de $f(a_n)$ est une
suite g�om�trique que vous caract�riserez.

\item Fa�tes de m�me avec $h=-0,001$.

\item Imaginez alors, � l'aide d'un tableur, une construction
point par point de la repr�sentation graphique d'une approximation
de $f$ sur l'intervalle $[-2,2]$.

\item Montrez que $f(1)\simeq \pa{1+\fr{1}{n}}^n$ et calculez la
valeur approch�e correspondante de $f(1)$ pour $n=10\,000$.

\een


\sm


Voici un petit programme qui construit la courbe approch�e par la m�thode d'Euler. Il est �crit en langage MuPAD : il faudra donc configurer XCAS en cliquant sur l'ic�ne rouge \texttt{cas} puis \texttt{progstyle - mupad}.

\sm


%\ENC{Programme Maple utilisant la m�thode d'Euler}{

%\begin{maplegroup}
%\begin{mapleinput}
%\mapleinline{active}{1d}{with(plots):


\mup{Euler:=proc(n,xmin, xmax) \textit{ n c'est 1/h}}

\mup{local x,y,k,P,S:\textit{ variables internes au programme}}

\mup{begin}

\mup{S:=NULL; \textit{on construit une suite de point vide au d�part}}


\mup{y:=1;\textit{  y=f(0) vaut 1}}

\mup{for k from xmin*n to xmax*n do}


\mup{           x:=k/n+1/n; y:=(1+1/n)**k; \textit{ coordonn�es d'un point }}

 \mup{ P(k):=[x,y]:
\textit{on d�finit le point P(k)}}


\mup{ S:=S.P(k):\textit{C'est la suite S des points des points P(k)}}


 \mup{end\_for: \textit{fin de la boucle}}

\mup{  plot([S]); \textit{ on trace la suite des points.}}

\mup{end\_proc:\textit{fin du programme}}

\mup{Euler(100,-2,2); \textit{ On demande le trac� pour h=1/100, x varie de -2 � 2}}

\break





\exot{Th�or�me de Rolle}

Ce th�or�me affirme que 

\ENC{Th�or�me de Rolle}{Si $f$ est continue sur $[a,b]$, d�rivable sur $]a,b[$ et si $f(a)=f(b)$ alors il existe un r�el $c\in]a,b[$ tel que $f'(c)=0$}

Nous nous proposons de d�montrer ce th�or�me.

\been

\item Faites un dessin r�sumant .... et d�montrant la situation.
\item  Comme $f$ est continue sur $[a,b]$, l'image de $[a,b]$ est un intervalle d'apr�s le TVI. Notons-le $[m,M]$. \been
\item Si $m=M$, que peut-on en d�duire ?
\item Sinon, le maximum $M$ par exemple est atteint pour un r�el $e\in]a,b[$.  Notons $\tau_e(x)=\fr{f(e+x)-f(e)}{x}$. Que pensez-vous de $\limg{0}\tau_e(x)$ et $\limd{0}\tau_e(x)$ ?
\item \'Etudiez le signe de $f'(e)$ et concluez.
\een
\een


\exot{Th�or�me des acroissements finis}

Voici l'�nonc� 

\ENC{\th�or�me des accroissements finis}{ Si $f$ est continue sur $[a,b]$, d�rivable sur $]a,b[$ alors il existe au moins un r�el $c\in]a,b[$ tel que $f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)$}

Pour prouver ce th�or�me, faites une figure. On appellera A le point d'abscisse $a$, B le point d'abscisse $b$, M le point de $\CR_f$ d'abscisse $x$ et P le point du segment [AB] d'abscisse $x$. On note enfin $\f(x)=\overline{PM}=y_M-y_P$
\been
\item Exprimez $\f(x)$ en fonction de $x$.
\item Pourquoi peut-on appliquer le th�or�me de Rolle � $\f$ sur $[a,b]$ ? Appliquez le et concluez.
\een

\exot{Application du TAF}
\been
\item Soit $f$ une fonction d�rivable sur $[a,b]$ telle que $f'(x)=0$ pour tout $x\in[a,b]$. D�montrez que $f$ est constante sur $[a,b]$. 
\item Soit deux fonctions d�rivables sur $[a,b]$ tells que $f'(x)=g'(x)$ pour tout $x\in[a,b]$. D�montrez qu'il existe un r�el constant $C$ tel que $f(x)=g(x)+C$ pour tout $x\in[a,b]$.
\een




\end{document}

