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\entete{TD  \includegraphics[height=0.4cm]{maple}  Maple  n°8}{
  Calcul intégral}{PCSI 2 - Lycée Clemenceau}%g,d,b





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% \entete{ Colle MAPLE n°9 }{Autour du calcul matriciel}{Lycée Clemenceau - PCSI 2 }

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\begin{document}

\thispagestyle{empty}
\setlength{\parindent}{0mm}


\begin{center}          \fbox{\vtabplus          \Huge         \bfseries
 \fontfamily{ugq}\selectfont   TD  \includegraphics[height=0.8cm]{maple}
 MAPLE n°8 \hspace{1cm} Calcul intégral
}
\end{center}

\vspace{2cm}



\renewcommand{\sf}{\textsf}

         

\section{Aire comme limite de somme}


\subsection{Illustration graphique}

La méthode des  rectangles, vous connaissez. Maple aussi. Dans  la bibliothèque \sf{student}, il
existe en  effet la commande  \Coms{leftbox}{f(x),x=a..b,n} où \sf{a}  et \sf{b} sont les  bornes de
l'intervalle et \sf{n} est  le nombre de rectangles. Comme Maple, nous  utiliserons dans la suite de
ce TD des subdivisions régulières.


Testez par exemple :

\begin{lstlisting}
  student[leftbox](cos(x),x=0..Pi,10);
\end{lstlisting}


\begin{center}
  \includegraphics[width=8cm]{TD8integralCorrplot2d1}
\end{center}

Il est plus intéressant d'avoir une vision dynamique de l'approximation. Pour cela, vous créerez une
animation  en utilisant \sf{plots[display]}  avec l'option  \sf{insequence=true} comme  nous l'avons
déjà fait  plusieurs fois cette  année. Vous
pourrez par exemple introduire

\begin{lstlisting}
  nbrect:=[seq(i,i=1..N)]:
\end{lstlisting}

Le mieux serait en fait de créer une procédure \sf{Rect:=proc(f,N,a,b)} avec des notations évidentes.


\subsection{Approximation numérique}

Il s'agit  de calculer la  somme des aires  de ces rectangles.  Faites un petit  dessin, introduisez
intelligemment    des     $f\left(a+k\fr{b-a}{N}\right)$    puis    construisez     une    procédure
\sf{airerect:=proc(f,N,a,b)} qui donnera la somme des aires des rectangles. 

Quand vous aurez terminé, regardez l'aide concernant \sf{leftsum}.



\subsection{Trapèzes}

Reprenez les calculs précédents  en utilisant cette fois-ci des trapèzes au  lieu des rectangles. Le
problème est qu'il n'y a pas de fonction prédéfinie correspondant à \sf{leftbox} pour les trapèzes :
il va donc falloir la construire à la main...


Montrez (à la main) que l'approximation est donnée pour une subdivision régulière par 

\[ \fr{b-a}{N}\left(\fr{f(a)+f(b)}{2}+\sum_{k=1}^{N-1}f\left(a+k\fr{b-a}{N}\right)\right)\]

Déduisez-en une procédure de calcul approché d'intégrale par la méthode des trapèzes.


Pour  la  procédure  graphique,  vous   pourrez  utiliser  l'option  \sf{filled=true,color=wheat}  pour  colorer
l'intérieur  d'une figure.  Rappelez-vous  également comment  on  trace des  lignes brisées.  Enfin,
utilisez la fonction \sf{display} autant de fois qu'il le faudra. 


Vous commencerez par construire un eprocédure  \sf{Trap(f,N,a,b)} qui construit les trapézes sous la
courbe. Vous utiliserez une boucle \sf{for}. Ces quelques lignes pourront peut-être vous inspirer~:

\begin{lstlisting}
  T:=[[av,0],[av,f(av)],[ap,f(ap)],[ap,0]]:
  TV:=TV,plot(T,filled=true,color=wheat):
  TR:=TR,plot(T,color=black,thickness=2):
\end{lstlisting}


Par exemple

\begin{lstlisting}
  Trap(x->cos(x),5,0,Pi);
\end{lstlisting}


devrait donner



\begin{center}
  \includegraphics[width=8cm]{TD8integralCorrplot2d3}
\end{center}




Ensuite, vous passerez à l'animation en vous inspirant de ce qui a été fait pour les rectangles.


\subsection{Méthode de Simpson}




On cherche une approximation de la courbe par un arc de parabole.
Pour cela, on va déterminer les $c_i$ tels que 
\[\int_a^bf(x) \mathrm{d}x=c_0f(a)+c_1f \left(\frac{a+b}{2}\right)+c_2f(b)\]

soit exacte pour $f(x)$ successivement égale à $1$, $x$ et $x^2$.

Posons $h=b-a$ et ramenons-nous au cas $a=0$.
On obtient le système suivant~:


\[
\bsys
c_0+c_1+c_2=h\\
c_1+2c_2=h\\
c_1+4c_3=\frac{4}{3}h
\esys
\]

alors $c_0=c_2=\frac{h}{6}$ et $c_1=\frac{4}{6}h$

\[\int_a^bf(x) \mathrm{d}x=\frac{b-a}{6}\left(f(a)+4f \left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right)\]


On  subdivise l'intervalle  d'intégration et  on utilise  la  méthode de
Simpson sur chaque subdivision~:~créez une procédure \verb+simps:=proc(f,a,b,N)+
qui               donnera               l'approximation               de
$\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\;\mathrm{d}x$ en  utilisant la méthode de
Simpson sur $N$ subdivision de $[a,b]$.


\subsection{Sommes de Riemann}

Maintenant que vous  avez bien compris l'approche graphique, vous pouvez  calculer des intégrales en
utilisant les sommes de Riemann. 

Déterminez donc  une procédure \sf{Riem:=proc(f,a,b)} qui  fera ce travail.  Vous utiliserez biensûr
des commandes du style \Coms{sum}{f(k),k=1..n} et \Coms{limit}{f(n),n=infinity}. 

Vous vérifierez ensuite votre résultat par un calcul direct avec \Coms{int}{f(x),x=a..b}. 



\section{Approximation de $\Mathbold{\pi}$}



\subsection{À l'aide du calcul intégral}

Que pensez-vous  du rapport  entre la fonction  $f :\begin{array}{rll}  [0\pv 1] &\to  & \bbr\\  x &
  \mapsto & \sqrt{1-x^2}\end{array}$ et $\pi$ ? 

À  l'aide de  nos  approximations \sf{airerect}  et  \sf{airetrap}, calculez  des approximations  de
$\pi$. 

Des commentaires~? 

\subsection{À l'aide de Gregory et Machin}

Je suis sûr que ceci 

\[\left|\Arctan(x)-\sum_{k=0}^n \fr{(-1)^kx^{2k+1}}{2k+1}\right|<\fr{x^{2n+3}}{2n+3}\]

vous dit quelque chose...

Construisez alors une procédure \sf{mini:=proc(u,p)} dépendant d'un nombre \sf{u} compris entre 0 et
1 et donnant la plus petite valeur de l'entier $n$ telle que $\fr{u^{2n+3}}{2n+3}\ie 10^{-p}$.


\medskip

Je ne doute pas à  présent que avez prouvé cette année la formule de  Machin. Il suffit pour cela de
montrer que, $a$ et $b$ étant deux réels tels que $ab\neq1$, on a 
$$\arctan a+\arctan b=\arctan\left(\frac{a+b}{1-ab}\right)\,+\,\e\pi$$
avec $\e=0$ si $ab<1$, $\e=1$ si $ab>1$ et $a>0$ et $\e=-1$ si
$ab>1$ et $a<0$.

Et on en déduit 

$$4\,\arctan\frac{1}{5}-\arctan\frac{1}{239}=\frac{\pi}{4}$$


\medskip

On appelle polynôme de Gregory le polynôme $G_n(X)=\ds\sum_{k=0}^n \fr{(-1)^kX^{2k+1}}{2k+1}$. 

Construisez  une procédure  \sf{greg:=proc(n,a,p)}  qui donne  une  valeur approchée  de $G_n(a)$  à
$10^{-p}$ près. 


Donnez alors 100 bonnes décimales de $\pi$. 

\medskip

On a fait mieux que John Machin. Par exemple, Störmer a prouvé en 1896 que 

\[\pi=24\Arctan\left(\ofr{1}{8}\right)+8\Arctan                            \left(\ofr{1}{57}\right)+4
\left(\ofr{1}{239}\right)\]



\end{document}


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%%% End: 
