% $Header: /cvsroot/latex-beamer/latex-beamer/solutions/conference-talks/conference-ornate-20min.en.tex,v 1.6 2004/10/07 20:53:08 tantau Exp $
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  \usetheme[secheader]{Madrid}


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  %\setbeamercovered{transparent}
  % or whatever (possibly just delete it)
}


\title[STATISTIQUE I] % (optional, use only with long paper titles)
{STATISTIQUE I \\ Médiane et quartiles}

\subtitle
{}

\author[] % (optional, use only with lots of authors)
{Guillaume CONNAN }
% - Give the names in the same order as the appear in the paper.
% - Use the \inst{?} command only if the authors have different
%   affiliation.

\institute[1\ere ES 3]{Lycée Jean PERRIN}% (optional, but mostly needed)


\date[Septembre 2006] % (optional, should be abbreviation of conference name)
{Septembre 2006}
% - Either use conference name or its abbreviation.
% - Not really informative to the audience, more for people (including
%   yourself) who are reading the slides online

\subject{}

\AtBeginSubsection[]
{
  \begin{frame}<beamer>
    \frametitle{Sommaire}
     \begin{DeuxCols}

     
    \tableofcontents[currentsection,currentsubsection]
        \end{DeuxCols}
  \end{frame}
}


% If you wish to uncover everything in a step-wise fashion, uncomment
% the following command: 

\beamerdefaultoverlayspecification{<+->}


\begin{document}

\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Sommaire}
 \begin{DeuxCols}
  \tableofcontents
  % You might wish to add the option [pausesections]
 \end{DeuxCols}
\end{frame}


\section{Conventions}


\begin{frame}

\pause

Dans toute la suite, on étudiera une population, notée E, et une variable statistique quantitative X définie sur E.

\pause

\begin{example}
Si on étudie par exemple le nombre de poupées Barbue que possèdent les élèves de la classe de 1\ere ES3

\begin{itemize}
\item[$\rhd$] E est l'ensemble des élèves de la classe
\item[$\rhd$] X est la fonction qui, à un élément de E, associe le nombre de poupées Barbue qu'il ou elle possède.
\end{itemize}
\end{example}


\pause

Si E possède $n$ éléments, on notera $V=\big\{x_1,x_2,\cdots,x_{n-1},x_n\big\}$ l'ensemble \gros{ordonné par valeurs croissantes} des valeurs prises par X.

\pause 

Notez bien que certains éléments de V peuvent être égaux : en effet, deux élèves différents peuvent avoir le même nombre de poupées Barbue.

\end{frame}






\section{Médiane}


\subsection{Définition}
\begin{frame}

\begin{definition}
La médiane $M_e$ est un nombre tel que :

\begin{itemize}

\item[$\rhd$] \gros{au moins} 50\% des éléments de V sont inférieurs à $M_e$,   
\item[$\rhd$] \gros{au moins} 50\% des éléments de V sont supérieurs à $M_e$.

\end{itemize}

\pause

On distingue deux cas selon la parité de $n$ :
\pause

\begin{itemize}
\item[$\rhd$] \gros{Si \textit{n} est impair} : on sépare V en deux groupes distincts de même effectif. $M_e$ est la valeur centrale, à la fois maximum de la \textit{partie basse} et minimum de la \textit{partie haute};
\item[$\rhd$] \gros{Si \textit{n} est pair}: on sépare V en deux groupes distincts de même effectif. $M_e$ est la valeur centrale, demi-somme  du maximum de la \textit{partie basse} et du minimum de la \textit{partie haute};
\end{itemize}

\end{definition}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{examples}
\begin{itemize}
\item $V=\big\{\textcolor{blue}{1,2,2,5},5,\textcolor{green}{8,8,9,37}   \big\}$
\item[$\rhd$] $M_e=5$
\item $V=\big\{\textcolor{blue}{1,2,2,5},\textcolor{green}{8,8,9,37}   \big\}$
\item[$\rhd$] $M_e=\fr{\textcolor{blue}{5}+\textcolor{green}{8}}{2}=6,5$

\end{itemize}
\end{examples}
\end{frame}


\section{Quartiles}

\subsection{L'idée}
\begin{frame}
Pour avoir une idée un peu plus précise de la série statistique étudiée, on voudrait séparer notre population en 4 groupes au lieu de 2.

\bigskip
\pause

On a donc envie de calculer les médianes des parties basses et hautes.

\bigskip
\pause

On a également comme cahier des charges d'avoir  au moins 25\% des valeurs prises par $x$ inférieures au premier quartile $Q_1$ et au moins 75\% des valeurs prises par $x$ inférieures au troisième quartile $Q_3$.





\end{frame}




\subsection{Expérimentons}


\begin{frame}

%\frt{Premier exemple}

\pause

\begin{example}
$V=\big\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$
\end{example}

\pause

On peut séparer l'effectif en quatre groupes de même effectif égal à 25\% de l'effectif total donc ça \og colle\fg

\[V=\big\{\textcolor{or}{1,2},\textcolor{blue}{3,4},\textcolor{red}{5,6},\textcolor{0.6white}{7,8}\}\]

\pause

On peut prendre

\begin{itemize}
\item $Q_1=\fr{\textcolor{or}{2}+\textcolor{blue}{3}}{2}=2,5$ et 25\% des effectifs ont une valeur  inférieure à $Q_1$
\item $M_e=\fr{\textcolor{blue}{4}+\textcolor{red}{5}}{2}=4,5$ et 50\% des effectifs ont une valeur  inférieure à $M_e$
\item $Q_3=\fr{\textcolor{red}{6}+\textcolor{0.6white}{7}}{2}=6,5$ et 75\% des effectifs ont une valeur  inférieure à $Q_3$
\end{itemize}
\pause

et $Q_1$ et $Q_3$ sont bien les médianes respectives des parties basses et hautes.

\end{frame}


\begin{frame}

%\frt{Premier exemple}

\pause

\begin{example}
$V=\big\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$
\end{example}

\pause

On peut séparer l'effectif en parties hautes et basses 

\[V=\big\{\textcolor{or}{1,2},3,\textcolor{blue}{4,5},\textcolor{red}{6,7},8,\textcolor{0.6white}{9,10}\}\]

\pause

On peut prendre

\begin{itemize}
\item $Q_1=3$ et $\ofr{3}{10}\simeq 33\%(\small\se 25\%)$\normalsize des effectifs ont une valeur  inférieure à $Q_1$
\item $M_e=\fr{\textcolor{blue}{5}+\textcolor{red}{6}}{2}=5,5$ et 50\% des effectifs ont une valeur  inférieure à $M_e$
\item $Q_3=8$ et $\ofr{8}{10}=80\%(\small \se75\%)$ \normalsize des effectifs ont une valeur  inférieure à $Q_3$
\end{itemize}

\pause

et $Q_1$ et $Q_3$ sont bien les médianes respectives des parties basses et hautes.

\end{frame}







\begin{frame}

%\frt{Premier exemple}

\pause

\begin{example}
$V=\big\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11\}$
\end{example}

\pause

On peut séparer l'effectif en parties haute et basse

\[V=\big\{\textcolor{or}{1,2},3,\textcolor{blue}{4,5},6,\textcolor{red}{7,8},9,\textcolor{0.6white}{10,11}\}\]

\pause

On peut prendre

\begin{itemize}
\item $Q_1=3$ et $\ofr{3}{11}\simeq 27\%(\small\se 25\%)$\normalsize des effectifs ont une valeur  inférieure à $Q_1$
\item $M_e=\fr{\textcolor{blue}{4}+\textcolor{red}{5}}{2}=4,5$ et 50\% des effectifs ont une valeur  inférieure à $M_e$
\item $Q_3=9$ et $\ofr{9}{11}=82\%(\small \se75\%)$ \normalsize des effectifs ont une valeur  inférieure à $Q_3$
\end{itemize}


\pause

et $Q_1$ et $Q_3$ sont bien les médianes respectives des parties basses et hautes.

\end{frame}











\begin{frame}

%\frt{Premier exemple}

Un cas plus problématique a été gardé pour la fin...

\pause

\begin{example}
$V=\big\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$
\end{example}

\pause

On peut séparer l'effectif en parties haute et basse avec la médiane au milieu :

\[V=\big\{\textcolor{or}{1,2},\textcolor{blue}{3,4},5,\textcolor{red}{6,7},\textcolor{0.6white}{8,9}\}\]

\pause

et prendre $Q_1=\fr{\textcolor{or}{2}+\textcolor{blue}{3}}{2}=2,5$, mais... 

\pause

... seulement $\ofr{2}{9}\simeq 22\%$ des effectifs  ont une valeur  inférieure à $Q_1$, ce qui est contraire à notre cahier des charges. 

Dans ce cas particulier, on va inclure la médiane dans les parties basses et hautes pour éviter cet écueil 

\end{frame}








\begin{frame}
Cela donne

\pause

\begin{itemize}


\item $\text{Partie Basse}= \big\{\textcolor{or}{1,2},3,\textcolor{blue}{4,5}\big\}$ donc $Q_1=3$ et $\ofr{3}{9}\simeq 33\%\se 25\%$ des effectifs  ont une valeur inférieure à $Q_1$, ce qui convient.

\item $\text{Partie Haute}= \big\{\textcolor{red}{5,6},7,\textcolor{0.6white}{8,9}\big\}$ donc $Q_3=7$ et $\ofr{7}{9}\simeq 78\%\se 75\%$ des effectifs  ont une valeur  inférieure à $Q_1$, ce qui convient.

\end{itemize}

\end{frame}


\begin{frame}

Il est aisé de constater que ces observations vont se répéter par cycle de longueur 4.

\bs
\pause

C'est quand V a un nombre d'éléments égal à un multiple de 4 plus 1 que nous devons être prudents.

\pause

\bs

D'ailleurs, toutes les machines à calculer ne s'accordent pas sur le calcul des quartiles.

\pause

\bs

La méthode que je vous propose est la plus cohérente et sera en accord avec la détermination graphique des quartiles que nous verrons bientôt.

\bs

\pause

Elle permet également d'avoir une définition rigoureuse comme nous allons le voir.



\end{frame}


\subsection{Définissons}
\begin{frame}
\begin{definition}
\gros{Le premier quartile} est obtenu en prenant la médiane de la sous-série contenant les observations dont le rang est strictement inférieur à celui de la médiane (\textit{la partie basse}) pour autant qu'au moins 25\% des observations soient inférieures ou égales à cette valeur.

\gros{Sinon}, il faut inclure la médiane dans la partie basse.

\end{definition}

\pause


\begin{definition}
\gros{Le troisième quartile} est obtenu en prenant la médiane de la sous-série contenant les observations dont le rang est strictement supérieur à celui de la médiane (\textit{la partie haute}) pour autant qu'au moins 75\% des observations soient inférieures ou égales à cette valeur.

\gros{Sinon}, il faut inclure la médiane dans la partie basse.

\end{definition}





\end{frame}














\section{Fonction de répartition}


\subsection{Définition}

\begin{frame}

Nous reprenons les notations des sections précédentes.

\begin{definition}

Nous noterons F la fonction définie, pour tout réel $x$, par la \gros{proportion} des valeurs observées qui sont \gros{inférieures ou égales à \textit{x}}


\end{definition}







\end{frame}


\subsection{Un exemple}

\begin{frame}
\begin{example}
Considérons la série ordonnée : \[ V=\big\{ 0,1,1,2,2,3,3,3,3,4,4,4,7,7  \big\}\]
\end{example}

\pause

\begin{itemize}
\item Si $x\in]-\infty\pv 0[$, alors $F(x)=0$
\item Si $x\in[0\pv 1[$, alors $F(x)=\ofr{1}{14}\simeq 0,07$
\item Si $x\in[1\pv 2[$, alors $F(x)=\ofr{3}{14}\simeq 0,21$
\item Si $x\in[2\pv 3[$, alors $F(x)=\ofr{5}{14}\simeq 0,36$
\item Si $x\in[3\pv 4[$, alors $F(x)=\ofr{9}{14}\simeq 0,64$
\item Si $x\in[4\pv 7[$, alors $F(x)=\ofr{12}{14}\simeq 0,86$
\item Si $x\in[7\pv +\infty[$, alors $F(x)=1$


\end{itemize}

\end{frame}

\subsection{représentation graphique}

\begin{frame}

\begin{center}
\includegraphics[width=\textwidth]{stats.100}
\end{center}


\end{frame}


\begin{frame}

\begin{center}
\includegraphics[width=\textwidth]{stats.101}
\end{center}


\end{frame}







\begin{frame}

\begin{center}
\includegraphics[width=\textwidth]{stats.102}
\end{center}


\end{frame}



\begin{frame}

\begin{center}
\includegraphics[width=\textwidth]{stats.103}
\end{center}


\end{frame}





\begin{frame}

\begin{center}
\includegraphics[width=\textwidth]{stats.104}
\end{center}


\end{frame}





\begin{frame}

\begin{center}
\includegraphics[width=\textwidth]{stats.105}
\end{center}


\end{frame}








\begin{frame}

\begin{center}
\includegraphics[width=\textwidth]{stats.106}
\end{center}


\end{frame}





\begin{frame}
La courbe obtenue va nous permettre de \gros{lire} les valeurs des différents quartiles 


\end{frame}



\begin{frame}

\begin{center}
\includegraphics[width=\textwidth]{stats.107}
\end{center}


\end{frame}


\begin{frame}

\begin{center}
\includegraphics[width=\textwidth]{stats.108}
\end{center}


\end{frame}



\begin{frame}

\begin{center}
\includegraphics[width=\textwidth]{stats.109}
\end{center}


\end{frame}


\begin{frame}

\begin{center}
\includegraphics[width=\textwidth]{stats.110}
\end{center}


\end{frame}




\begin{frame}

\begin{center}
\includegraphics[width=\textwidth]{stats.111}
\end{center}


\end{frame}


\begin{frame}

\begin{center}
\includegraphics[width=\textwidth]{stats.112}
\end{center}


\end{frame}


\begin{frame}

\pause

On vérifie en utilisant la définition en termes de médianes

\pause

 \[ V=\big\{ \textcolor{or}{0,1,1},2,\textcolor{blue}{2,3,3},\textcolor{red}{3,3,4},4,\textcolor{0.6white}{4,7,7}  \big\}\]

\pause

On a bien 

\pause

\begin{itemize}
\item $Q_1=2$
\item $M_e=\fr{\textcolor{blue}{3}+\textcolor{red}{3}}{2}=3$
\item $Q_3=4$
\end{itemize}

\end{frame}



\subsection{Cas pathologique}

\begin{frame}

Si une des droites horizontales rencontrent \og l'escalier \fg selon un segment horizontal, on s'adapte :

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{center}
\includegraphics[height=.8\textheight]{stats.113}
\end{center}

\end{frame}









\subsection{Boîte à moustaches}




\begin{frame}
Voici une représentation graphique, non plus \og calculatoire\fg, mais qui permet de résumer de manière très visuelle les résultats trouvés et de pouvor comparer assez facilement diverses séries statistiques.
\end{frame}





\begin{frame}

\begin{center}
\includegraphics[width=\textwidth]{stats.200}
\end{center}


\end{frame}







\begin{frame}

\begin{center}
\includegraphics[width=\textwidth]{stats.201}
\end{center}


\end{frame}










\begin{frame}

\begin{center}
\includegraphics[width=\textwidth]{stats.202}
\end{center}


\end{frame}






\begin{frame}

\begin{center}
\includegraphics[width=\textwidth]{stats.203}
\end{center}


\end{frame}






\begin{frame}

\begin{center}
\includegraphics[width=\textwidth]{stats.204}
\end{center}


\end{frame}



\section{Écart-type}


\subsection{Introduction}

\begin{frame}
Un autre moyen de caractériser une série statistique est de  mesurer \og l'éloignement\fg de l'ensemble des valeurs $x_i$ par rapport à la moyenne $\bar{x}$ : comment faire ?


\end{frame}


\begin{frame}

\begin{example}

Reprenons la série précédente~:

\begin{center}
	\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
			\hline
			Valeurs $x_{i}$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $7$   \\
			\hline
			Effectifs $n_{i}$ & $1$ & $2$ & $2$ & $4$ & $3$ & $2$    \\
% 			\hline
% 			Fréquences $f_{i}$ &  &  & &  & &  &   \\
			\hline
	\end{tabular}
\end{center}

\end{example}

\end{frame}






\begin{frame}


\pause

   Calculez la moyenne $\bar{x}$ de cette série.
	
\pause

\bigskip

 Complétez le tableau suivant proposant trois façons de 
\og mesurer\fg pour chaque valeur \og l'éloignement\fg par rapport à $\bar{x}$.

\pause



\begin{center}
	\begin{tabular}{|c|p{.9cm}|p{.9cm}|p{.9cm}|p{.9cm}|p{.9cm}|p{.9cm}|}
			\hline
			 $x_{i}-\bar{x}$ &&  &   &  &  &      \\
			\hline
			$\vert x_{i}-\bar{x} \vert$ &  &  &  &  &  &     \\
			\hline
			 $(x_{i}-\bar{x})^{2}$ &  &  & &  & &     \\
			\hline
	\end{tabular}
\end{center}
	
	\pause

\bigskip
  Calculez dans chacun des trois cas l'éloignement moyen.





\end{frame}




\begin{frame}
\frt{Distance à la moyenne}
\begin{center}
\includegraphics[width=\textwidth]{stats.300}
\end{center}


\end{frame}


\begin{frame}

\pause

$\bar{x}\simeq3,14$

\pause

\begin{center}
	\begin{tabular}{|c|p{.9cm}|p{.9cm}|p{.9cm}|p{.9cm}|p{.9cm}|p{.9cm}|}
			\hline
			 $x_{i}-\bar{x}$ &$-3,14$& $-2,14$ & $-1,14$  &$-0,14$  &$0,86$  &$3,86$      \\
			\hline
			$\vert x_{i}-\bar{x} \vert$ &3,14  & 2,14 &1,14  &0,14  &0,86  & 3,86    \\
			\hline
			 $(x_{i}-\bar{x})^{2}$ & 9,86 & 4,58 & 1,30& 0,02 &0,74 & 14,90    \\
			\hline
	\end{tabular}
\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}


\footnotesize

\begin{arrayl} E_1&=&\fr{\pa{-3,14\times 1}+\pa{-2,14\times 2}+\pa{-1,14\times 2}+\pa{-0,14\times 4}+\pa{0,86\times 3}+\pa{3,86\times 2}}{12}\\
&=&0\end{arrayl}

\pause


\bigskip

\begin{arrayl} E_2&=&\fr{\ab{-3,14}\times 1+\ab{-2,14}\times 2+\ab{-1,14}\times 2+\ab{-0,14}\times 4+\ab{0,86}\times 3+\ab{3,86}\times 2}{12}\\
&\simeq&3,74\end{arrayl}

\pause



\bigskip
\begin{arrayl} E_3&=&\fr{\pa{-3,14}^2\times 1+\pa{-2,14}^2\times 2+\pa{-1,14}^2\times 2+\pa{-0,14}^2\times 4+\pa{0,86}^2\times 3+\pa{3,86}^2\times 2}{12}\\
&\simeq&16,58\end{arrayl}
\label{variance}{\tiny\ref{variancecalcul}}





\normalsize

\end{frame}




\begin{frame}
Sur une calculatrice, ces opérations peuvent être menées rapidement.


\end{frame}




\begin{frame}

\frt{Sur TI} 





\begin{center}
\includegraphics[width=\textwidth]{maya.eps}
\end{center}


\end{frame}




\subsection{Quelle mesure choisir ?}

\begin{frame}
\frt{Écart algébrique moyen}

\begin{definition}
On appelle \gros{écart algébrique moyen} le nombre~:
	$$
	l_{m}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{p}n_{i}(x_{i}-\bar{x}).
	$$

\end{definition}


\pause

Ce nombre est toujours nul  et ne permet pas de distinguer deux séries.

\end{frame}



\begin{frame}
\begin{proof}
\begin{arrayl}
l_{m}&=&\fr{1}{N}\sum_{i=1}^{p}n_{i}(x_{i}-\bar{x})\\
\pause
&=&\fr{1}{N}\sum_{i=1}^{p}n_{i}x_{i}- \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{p}n_{i}\bar{x} \ \ \text{(disributivité)}\\
\pause
&=& \bar{x}-   \bar{x}\fr{1}{N}\sum_{i=1}^{p}n_{i}\ \ \text{(on factorise par $\bar{x}$)}\\
\pause
&=&  \bar{x}-   \bar{x}\fr{1}{N}N\ \ \text{(par définition de N)}\\
\pause
 &=&\bar{x}-   \bar{x}\\
\pause
&=&0
\end{arrayl}
\end{proof}
\end{frame}


\begin{frame}
\frt{Écart absolu moyen}

\begin{definition}
On appelle \gros{écart absolu moyen} le nombre~:
	$$
	e_{m}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{p}n_{i}\vert x_{i}-\bar{x}\vert.
	$$
\end{definition}

\pause

Ce nombre fournit un très bon paramètre de dispersion mais il n'a pas 
d'application en statistique mathématique entre autres raisons parce 
que la valeur absolue se prête peu aux calculs. 




\end{frame}


\subsection{Variance}

\begin{frame}
On s'intéresse alors 
à la moyenne pondérée des nombres $(x_{i}-\bar{x})^{2}$ qui a permis de 
formuler de nombreuses propriétés en statistique et en probabilité, 
vous le verrez au fur et à mesure de vos études.

\end{frame}

\begin{frame}


\begin{definition}
On appelle \gros{ variance} d'une série quelconque à caractère quantitatif 
	discret le nombre~:
	$$
	V=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{p}n_{i}(x_{i}-\bar{x})^{2}=
	  \sum_{i=1}^{p}f_{i}(x_{i}-\bar{x})^{2}
	$$

\gros{ L'écart-type} de cette série est $s=\sqrt{V}$

\end{definition}

\end{frame}



\begin{frame}
\label{variancecalcul}
Dans notre exemple {\tiny \ref{variance}}, la variance vaut 16,58 et l'écart-type $\sqrt{16,58}\simeq 4,07$


\pause

\bigskip

On retrouve ce résultat sur les machines noté souvent sous la forme \texttt{x$\sigma$ n}


\end{frame}







\begin{frame}



On est amené à considérer la racine carrée de la variance 
	pour avoir un résultat exprimé dans la même unité que le caractère 
	étudié : l'écart-type et donc homogène à une sorte de \og distance à la moyenne\fg ce qui est cohérent avec la démarche expérimentale.






\end{frame}



\begin{frame}
\begin{block}{Conclusion}

On peut donc résumer de façon satisfaisante une série statistique en donnant :
\begin{itemize}
\item sa médiane et son écart-intercartile;
\item sa moyenne et son écart-type.
\end{itemize}

\end{block}
\end{frame}



\end{document}
