\documentclass[a4paper,fourier]{Polymaths}
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\lhead{\small\bf 2nde 13}
\chead{\small\bf Lipides Glucides Protides}
\rhead{\small\bf \   Décembre 2006 }
\lfoot{\small\bf }
\rfoot{\small\bf }
\cfoot{\small\bf }
\pagestyle{fancy}

\begin{document}
\thispagestyle{empty}


\psshadowbox*[fillcolor=0.8white,framearc=.25]{%
\begin{minipage}{\textwidth}
\smallskip
{\LARGE\bfseries \begin{center} Du GPL dans le quatre quarts...\end{center}}
\smallskip
\end{minipage}
}


\subsection*{Repérage GPL d'un aliment}

Parmi les critères utilisés pour analyser la qualité de ce que nous
mangeons, la
répartition en glucides, protides et lipides fournit une première approche.
\newline
En effet les substances nutritives contenues dans un aliment se répartissent en
trois groupes : les glucides (\og sucres \fg), les protides (\og matières
azotées \fg) et les lipides (\og graisses \fg).
\newline
À chaque aliment correspond donc une répartition en pourcentages.

\begin{center}
     \begin{tabular}{|*{2}{l|*{3}{D{.}{,}{0}|}}}
	\hline
	\multicolumn{8}{|c|}{\sc Répartition $(G \pv P \pv L)$ des aliments
	courants} \\
	\hline
	\hline
	\multicolumn{1}{|c|}{} & \multicolumn{1}{c|}{G} &
	\multicolumn{1}{c|}{P} & \multicolumn{1}{c|}{L} &
	\multicolumn{1}{c|}{} & \multicolumn{1}{c|}{G} &
	\multicolumn{1}{c|}{P} & \multicolumn{1}{c|}{L} \\
	\hline
	Riz & 90 & 10 & 0 & Haricots vert & 75 & 25 & 0 \\
	\hline
	Biscuits & 80 & 10 & 10 & Viande & 0 & 50 & 50 \\
	\hline
	Tarte aux pommes & 75 & 5 & 20 & Farine & & & \\
	\hline
	Chocolat & 70 & 5 & 25 & Confiture & 98 & 2 & 0 \\
	\hline
	Pâtes & 90 & 10 & 0 & Beurre, huile & 0 & 0 & 100 \\
	\hline
	\OE{}uf & 0 & 40 & 60 & \'Epinards & 55 & 40 & 5 \\
	\hline
	Sucre & 100 & 0 & 0 & Poisson & & & \\
	\hline
	Pomme de terre & 90 & 10 & 0 & Pomme (fruit) & 95 & 5 & 0 \\
	\hline
	Pain & 90 & 10 & 0 & Lait& & & \\
	\hline
	Carotte & & & & Miel & 100 & 0 & 0 \\
	\hline
	Fromage & 0 & 50 & 50 & Chou-fleur & 70 & 25 & 5 \\
	\hline
	Lentilles & 75 & 25 & 0 & Chou & 60 & 35 & 5 \\
	\hline
     \end{tabular}
\end{center}

Par exemple, les épinards contiennent $55\:\%$ de glucides, $40\:\%$
de protides
et $5\:\%$ de lipides.

\begin{center}
     \psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
     \begin{pspicture}(-1,-1.5)(11,9.5)
	\psline[linewidth=1pt]{<-}(-.5,0)(10,0)
	\rput(4.5,-.5){\psframebox{55}}
	\uput{.2}[270](0,0){100} \uput{.2}[225](10,0){0}
	%
	\psline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(5.25,9.1)
	\rput(1.3,3.47){\psframebox{40}}
	\uput{.2}[135](0,0){0} \uput{.2}[180](5,8.66){100}
	%
	\psline[linewidth=1pt]{<-}(10.25,-.43)(5,8.66)
	\rput(6.1,8.23){\psframebox{5}}
	\uput{.2}[0](10,0){100} \uput{.2}[0](5,8.66){0}
	%
	\psline[linewidth=.1pt](1,1.73)(9,1.73)
	\psline[linewidth=.1pt](2,3.47)(8,3.47)
	\psline[linewidth=.1pt](3,5.2)(7,5.2)
	\psline[linewidth=.1pt](4,6.93)(6,6.93)
	\psline[linewidth=.1pt](2,0)(6,6.93)
	\psline[linewidth=.1pt](4,0)(7,5.2)
	\psline[linewidth=.1pt](6,0)(8,3.47)
	\psline[linewidth=.1pt](8,0)(9,1.73)
	\psline[linewidth=.1pt](2,0)(1,1.73)
	\psline[linewidth=.1pt](4,0)(2,3.47)
	\psline[linewidth=.1pt](6,0)(3,5.2)
	\psline[linewidth=.1pt](8,0)(4,6.93)
	%
	\psline[linewidth=.05pt](1,0)(5.5,7.8)
	\psline[linewidth=.05pt](3,0)(6.5,6.07)
	\psline[linewidth=.05pt](5,0)(7.5,4.33)
	\psline[linewidth=.05pt](7,0)(8.5,2.6)
	\psline[linewidth=.05pt](9,0)(9.5,.87)
	\psline[linewidth=.05pt](1,0)(.5,.87)
	\psline[linewidth=.05pt](3,0)(1.5,2.6)
	\psline[linewidth=.05pt](5,0)(2.5,4.33)
	\psline[linewidth=.05pt](7,0)(3.5,6.07)
	\psline[linewidth=.05pt](9,0)(4.5,7.8)
	\psline[linewidth=.05pt](.5,.87)(9.5,.87)
	\psline[linewidth=.05pt](1.5,2.6)(8.5,2.6)
	\psline[linewidth=.05pt](2.5,4.33)(7.5,4.33)
	\psline[linewidth=.05pt](3.5,6.07)(6.5,6.07)
	\psline[linewidth=.05pt](4.5,7.8)(5.5,7.8)
	%
	\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed]{->}(2.49,3.47)(2,3.47)
	\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed]{->}(2.49,3.47)(5.25,8.23)
	\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed]{->}(2.49,3.47)(4.5,0)
	%
	\psdots[dotstyle=*,dotscale=1]%
	(2.49,3.47)(1,.87)(5,1.73)(.75,1.3)(6.25,6.5)
	\uput{.2}[30](2.49,3.47){$E$} \uput{.2}[270](1,.87){$C$}
	\uput{.2}[35](5,1.73){$L$} \uput{.2}[180](.75,1.3){$F$}
	\uput{.2}[0](6.25,6.5){$P$}
	%
	\rput(1.9,-.5){80} \rput(3.9,-.5){60} \rput(5.9,-.5){40}
	\rput(7.9,-.5){20} \rput(.6,1.73){20} %\rput(1.6,3.47){40}
	\rput(2.6,5.2){60}  \rput(3.6,6.93){80} \rput(6.4,6.93){20}
	\rput(7.4,5.2){40} \rput(8.4,3.47){60} \rput(9.4,1.73){80}
	\rput(1.5,-1){$\%$ de glucides}
	\rput{60}(3,6.93){$\%$ de protides}
	\rput{300}(9.8,2){$\%$ de lipides}
     \end{pspicture}\caption{\label{triangle}Repérage GPL d'un aliment}
\end{center}

Le graphique \vref{triangle}  est une carte des principaux aliments, c'est-à-dire un
graphique où chaque aliment est représenté par un point.



\subsection*{La \og carte \fg des aliments}

Dans cette partie, on va dresser la carte des principaux aliments.
\newline
À titre d'exemple, le point $E$ représentant les épinards a été dessiné.
\newline
On dira que $E$ a pour \og coordonnées \fg $(55 \pv 40 \pv 5)$.
\newline
Pour lire les coordonnées $(G \pv P \pv L)$ d'un point quelconque du graphique,
on trace des parallèles aux axes passant par ce point.

\begin{itemize}
     \item[1.] On a figuré les points $L$, $C$, $F$ et $P$ représentant le lait,
     la carotte, la farine et le poisson.
     \newline
     Quelles sont les proportions en glucides, protides et lipides :
     \begin{multicols}{4}
	\begin{itemize}
	    \item[a.] du lait ;

	    \item[b.] de la carotte ;

	    \item[c.] de la farine ;

	    \item[d.] du poisson.
	\end{itemize}
     \end{multicols}

     \item[2.] Grâce au tableau ci-avant, placer les points suivants :
     \begin{multicols}{2}
	\begin{itemize}
	    \item[a.] $O$ représentant l'\oe{}uf ;

	    \item[b.] $S$ représentant le sucre ;

	    \item[c.] $B$ représentant le beurre ;

	    \item[d.] $V$ représentant la viande.
	\end{itemize}
     \end{multicols}

     \item[3.] Où seront situés les points représentant des aliments
comportant :
     \begin{multicols}{3}
	\begin{itemize}
	    \item[a.] $10\:\%$ de protides ?

	    \item[b.] $50\:\%$ de glucides ?

	    \item[c.] $25\:\%$ de lipides ?
	\end{itemize}
     \end{multicols}
\end{itemize}

\subsection*{La zone idéale}

On note $G$, $P$ et $L$ les proportions en pourcentages d'un aliment
quelconque.
\newline
Dans la carte des aliments, on hachurera les régions qui ne conviennent pas.

\begin{itemize}
     \item[1.] Où se trouvent les aliments tels que :
     \begin{multicols}{3}
	\begin{itemize}
	    \item[a.] $P > 10$ ?

	    \item[b.] $G > 50$ ?

	    \item[c.] $L > 25$ ?
	\end{itemize}
     \end{multicols}

     \item[2.] Les diététiciens ont établi que les proportions en glucides,
     protides et lipides les mieux adaptées à l'Homme vérifient :
     \begin{center}
	\begin{systeme}{5}
	    50 & < & G & < & 60 \\
	    10 & < & P & < & 20 \\
	    25 & < & L & < & 35
	\end{systeme}
     \end{center}
     Déterminer la région correspondante du graphique.

     \item[3.] Quels aliments se trouvent à l'intérieur de cette zone ?
\end{itemize}

\subsection*{Où commence la cuisine ? Le gâteau breton \og quatre-quarts \fg}

Le principe est le suivant : en mélangeant les aliments, arriver à ce que les
proportions $G$, $P$ et $L$ du mélange soient dans la zone idéale.
\newline
La recette du \og quatre-quarts \fg est simple : un quart de sucre, un quart de
farine, un quart de beurre, un quart d'\oe{}uf (les quarts sont comptés en
masses).

\begin{itemize}
     \item[1.] Quelles sont les coordonnées $(G \pv P \pv L)$ du point $Q$
     représentant le \og quatre-quarts \fg ?

     \item[2.] On va donner une construction géométrique du point $Q$.
     \begin{itemize}
	\item[a.] Quelles sont les coordonnées de $M_{1}$, le milieu
de $[BS]$ ?
	\newline
	Montrer que $M_{1}$ représente un mélange à parts égales de
beurre et de
	sucre.

	\item[b.] Quelles sont les coordonnées de $M_{2}$, le milieu
de $[FO]$ ?
	\newline
	Que peut-on dire de $M_{2}$ ?

	\item[c.] En déduire une construction géométrique simple de $Q$.
     \end{itemize}

     \item[3.] $Q$ n'est pas dans la zone idéale : comment peut-on modifier la
     recette pour qu'il y soit ?
\end{itemize}



 

\newpage

 

\section*{Correction du devoir maison n°3 \og on est foutus, on mange trop \fg}

\subsection*{La \og carte \fg des aliments}

\begin{itemize}
     \item[1.]
     \begin{itemize}
	\item[a.] $L$ $(30 \pv 20 \pv 50)$ : le lait contient $30\:\%$ de
	glucides, $20\:\%$ de protides et $50\:\%$ de lipides.

	\item[b.] $C$ $(85 \pv 10 \pv 5)$ : la carotte contient $85\:\%$ de
	glucides, $10\:\%$ de protides et $5\:\%$ de lipides.

	\item[c.] $F$ $(85 \pv 15 \pv 0)$ : la farine contient $85\:\%$ de
	glucides et $15\:\%$ de protides.

	\item[d.] $P$ $(0 \pv 75 \pv 25)$ : le poisson contient $75\:\%$ de
	protides et $25\:\%$ de lipides.
     \end{itemize}

     \item[2.] Les points $O$, $S$, $B$ et $V$ sont représentés graphiquement.

     \item[3.]
     \begin{itemize}
	\item[a.] Soit $\Delta_{P}$ la droite parallèle à $(SB)$
passant par $C$ :
	ce sont les points tels que $P = 10$.

	\item[b.] Soit $\Delta_{G}$ la droite parallèle à $(SB)$
passant par $V$ :
	ce sont les points tels que $G = 50$.

	\item[c.] Soit $\Delta_{L}$ la droite parallèle à $(SV)$
passant par $L$ :
	ce sont les points tels que $L = 25$.
     \end{itemize}
\end{itemize}

\begin{center}
     \psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
     \begin{pspicture}(-1,-1.5)(11,9.5)
	\psline[linewidth=1pt]{<-}(-.5,0)(10,0)
	\psline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(5.25,9.1)
	\psline[linewidth=1pt]{<-}(10.25,-.43)(5,8.66)
	\rput(1.5,-1){$\%$ de glucides}
	\rput{60}(3,6.93){$\%$ de protides}
	\rput{300}(9.8,2){$\%$ de lipides}
	% pour G
	\psline[linewidth=.3pt](4,0)(2,3.47)
	\psline[linewidth=.3pt](5,0)(2.5,4.33)
	\pspolygon[linestyle=none,style=hachured](0,0)(4,0)(2,3.47)
	\pspolygon[linestyle=none,style=hachured](5,0)(2.5,4.33)(5,8.66)(10,0)
	\rput(3.9,-.5){60} \rput(4.9,-.5){50}
	% ok pour P
	\psline[linewidth=.3pt](.5,.87)(9.5,.87)
	\psline[linewidth=.3pt](1,1.73)(9,1.73)
	\pspolygon[linestyle=none,style=hachured](0,0)(10,0)(9.5,.87)(.5,.87)
	\pspolygon[linestyle=none,style=hachured](1,1.73)(9,1.73)(5,8.66)
	\rput(.6,1.73){20} \rput(.2,.87){10}
	% pour L
	\psline[linewidth=.3pt](6.25,6.25)(2.5,0)
	\psline[linewidth=.3pt](6.75,5.63)(3.5,0)
	\pspolygon[linestyle=none,style=hachured](0,0)(5,8.66)(6.25,6.5)(2.5,0)
	\pspolygon[linestyle=none,style=hachured](3.5,0)(10,0)(6.75,5.63)
	\rput(6.65,6.5){25} \rput(7.15,5.63){35}
	%
	\psdots[dotstyle=*,dotscale=1]%
	(1,.87)(5,1.73)(.75,1.3)(6.25,6.5)(0,0)(10,0)(7.5,4.33)(8,3.47)(4.6875,1.1925)(4.375,2.385)(5,0)(2.24,1.36)
	\uput{.2}[270](1,.87){$C$} \uput{.2}[35](5,1.73){$L$}
	\uput{.2}[180](.75,1.3){$F$} \uput{.2}[80](6.25,6.5){$P$}
	\uput{.2}[120](0,0){$S$} \uput{.2}[90](10,0){$B$} \uput{.1}[0](4.6875,1.1925){$Q$}
	\uput{.2}[45](7.5,4.33){$V$} 
         \uput{.2}[45](4.375,2.385){$M_2$}\uput{.2}[315](5,0){$M_1$}
         \psline[linewidth=.3pt](4.375,2.385)(5,0)\psline[linewidth=.3pt](.75,1.3)(8,3.47)
\uput{.1}[0](2.24,1.36){$D$}
          \uput{.2}[45](8,3.47){$O$}
     \end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\subsection*{La zone idéale}

\begin{itemize}
     \item[1.] On hachure successivement :
     \begin{itemize}
	\item[a.] la région au-dessous de $\Delta_{P}$ ;

	\item[b.] la région au-dessus de $\Delta_{G}$ ;

	\item[c.] la région au-dessus de $\Delta_{L}$.
     \end{itemize}

     \item[2.] Comme à la question précédente, on hachure successivement :
     \begin{listerd}
	\item la région au dessus de la droite $\Delta^{\prime}_{P}$
représentant
	les points tels que $P = 20$ ;

	\item la région au dessous de la droite $\Delta^{\prime}_{G}$
représentant
	les points tels que $G = 60$ ;

	\item la région au dessous de la droite $\Delta^{\prime}_{L}$
représentant
	les points tels que $L = 35$.
     \end{listerd}
     La zone idéale est l'ensemble des points de la carte qui ne sont
pas hachurés.

     \item[3.] Il n'y a aucun aliment dans la zone idéale, d'où le slogan :
     \og Il faut manger \textsl{équilibré} \fg.
\end{itemize}

\subsection*{Où commence la cuisine ? Le gâteau breton \og quatre-quarts \fg}

\begin{itemize}
     \item[1.] Le point $Q$ a les coordonnées suivantes :
     \begin{listerd}
	\item $G_{Q} = \cfrac{85 + 0 + 0 + 100}{4} = 46,25$

	\item $P_{Q} = \cfrac{15 + 0 + 40 + 0}{4} = 13,75$

	\item $L_{Q} = \cfrac{0 + 100 + 60 + 0}{4} = 40$
     \end{listerd}

     \item[2.]
     \begin{itemize}
	\item[a.] Les coordonnées de $M_{1}$ sont :
	\begin{multicols}{3}
	    \begin{listerd}
		\item $G_{M_{1}} = \cfrac{0 + 100}{2} = 50$

		\item $P_{M_{1}} = \cfrac{0 + 0}{2} = 0$

		\item $L_{M_{1}} = \cfrac{100 + 0}{2} = 50$
	    \end{listerd}
	\end{multicols}
	Ce mélange contient $50\:\%$ de glucides (le sucre) et $50\:\%$ de
	lipides (le beurre).

	\item[b.] Les coordonnées de $M_{2}$ sont :
	\begin{multicols}{3}
	    \begin{listerd}
		\item $G_{M_{2}} = \cfrac{85 + 0}{2} = 42,5$

		\item $P_{M_{2}} = \cfrac{15 + 40}{2} = 27,5$

		\item $L_{M_{2}} = \cfrac{0 + 60}{2} = 30$
	    \end{listerd}
	\end{multicols}
	Ce mélange contient $42,5\:\%$ de glucides, $27,5\:\%$ de protides et
	$30\:\%$ de lipides mais surtout autant d'\oe uf que de farine.

	\item[c.] Le point $Q$ est le milieu du segment $[M_{1}M_{2}]$.
     \end{itemize}

     \item[3.] Imaginons la nouvelle recette : deux cinquièmes de farine, un
     cinquième de farine, un cinquième d'\oe{}uf, un cinquième de sucre.
     \newline
     Le point $Q'$ ainsi obtenu a pour coordonnées $(46,25 \pv 13,75 \pv 40)$.
     \newline
     $Q'$ est dans la zone idéale, mais le gâteau obtenu n'est pas aussi bon, et même pas bon du tout~! 
\end{itemize}

\subsection*{Le petit-dèj}
\begin{itemize}

\item[a.] On place le point $P'$ correspondant au pain et B, celui correspondant au beurre : la « tartine
beurrée » se trouve sur le segment $[P'B]$ qui ne coupe pas la zône idéale. 

Si on rajoute du chocolat, la « tartine beurrée » sera à l'intérieur du triangle $P'KB$, donc encore
en dehors de la zône idéale. 

Même problème avec la confiture.

\item[b.]  Avec du lait : $G=\frac{50\times90\%+6\times30\%}{66}\simeq 71>60$. Ça ne va donc pas. 

Avec du fromage : $G=\frac{50\times90\%}{66}\simeq 68>60$. Ça ne va donc toujours pas. 

\end{itemize} 


\subsection*{Fast food}

Il y a $31.5+81+20=132.5$g de glucides, soit 69,7\% de la ration

Il y a $3,5+17,5+9=30$g de protides, soit 15,8\% de la ration

Il y a $17,5+10=27,5$g de lipides, soit 14,5\% de la ration


Le point D n'est pas dans la zône : trop de glucides à cause du coca...

\end{document}




