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%%############################# Début du bouquin ##############
%%###################################################################
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\input{makcyber}
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\LECOND{I}{Première}{}{LIMITE D'UNE SUITE R\'EELLE}{LIMITE D'UNE SUITE R\'EELLE}{evolution.eps}




\begin{Abstract}
Aujourd'hui, notre héros débute sa formation de chevalier Mataïe
auprès de son maître Dark Mathemator en abordant la délicate étude
des suites numériques...
\end{Abstract}




\SECTION{D\'EFINITION DE LA CONVERGENCE}{Définition de la convergence}


\SUBSECTION{Qu'est-ce qu'une suite~?}


\pro Question idiote n'est-ce pas~?

\textbf{Téhessix}\footnote{Si notre héros est un garçon, c'est
pour faciliter les accords des adjectifs et participe passé.} :
Ben justement, j'ai un mauvais souvenir à propos des suites. C'est
avec des $n$. Par exemple on a $u_n=\sqrt{2n+1}$

\sm

\pro C'est tout~? Je vois...L'année de formation qui nous attend
ne sera pas superflue. Si vous avez éprouvé des difficultés l'an
passé, c'est peut-être que vous n'avez pas fait l'effort d'avoir
en tête une définition claire, précise, rigoureuse. Peut-être
n'avez-vous pas compris comment cette définition pouvait être liée
aux diverses propriétés, à quoi tout le tralala pouvait servir,
comment cette partie du programme pouvait être reliée à d'autres
notions déjà étudiées. Vous ne semblez pas avoir une vision
intuitive de la notion susceptible de vous aider à comprendre
comment tout s'imbrique si merveilleusement dans notre magnifique
univers mathématique à l'esthétique si parfaite. Pourquoi cette
notion est-elle apparue~? Quelle est sa place dans l'histoire de
l'esprit humain~? Quelles sont ses applications concrètes~? C'est
avec ces questions en tête que nous essaierons d'aborder toutes
les notions qu'un(e) jeune Mataïe se doit de maîtriser à l'issue
de sa formation terminale.


\MATA{{À ce rythme là, dans deux ans on y est encore, et moi j'ai
d'autres projets.}}

\sm

\pro Vous dîtes~?

\tsx J'ai hâte d'étancher ma soif de connaissance, ô céleste
maître.

\pro À la bonne heure~! Pour faire court et rigoureux, on pourrait
dire que

\sm

\ENC{Définition}{Une suite numérique est une fonction de $\bbn$
vers $\bbr$}

\sm

Qu'est-ce que ça vous inspire~?

\tsx Ben que deux mois de vacances c'est court, mais c'est
suffisant pour rester perplexe face à un tel énoncé.

\pro Reprenons votre exemple initial.

La suite $\mg u$ qu'on note encore
$(u_n)_{n\in\bbn}$\footnote{c'est à dire l'ensemble des valeurs
prises par $u_n$ quand $n$ \textit{décrit} l'ensemble $\bbn$ qu'on
pourrait aussi noter $\{u_0, u_1, u_2,\cdots, u_{1000},\cdots,
u_{197895},\cdots\}$ : on identifie ici la fonction et les valeurs
qu'elle prend, ce qui se comprend car on peut <<~énumérer~>> ces
valeurs} ou même $(u_n)$ est la fonction qui, à n'importe quel
\textbf{entier} $n$ associe le \textbf{réel} $\sqrt{2n+1}$

\tsx Si c'est juste une fonction, pourquoi avoir fait un chapitre
spécial dessus~? Pourquoi lui avoir donné un nom spécial~?
Pourquoi avoir utilisé une notation spéciale~? On pourrait noter
$u(x)= \sqrt{2x+1}$ et voilà le travail, pas besoin de se prendre
la tête. \textbf{(à part)} : les maths c'est vraiment pourquoi
faire simple quand on peut faire compliqué.

\pro Essayons de répondre à vos questions. Enfilons une blouse :
et hop ! Nous voici devenus physiciens.

Laissons tomber votre téléphone portable dans un tube où nous
avons au préalable fait le vide. Notons sa position chaque
seconde~:

\begin{align*}
h_0&=0m\\
h_1&=4,9m\\
h_2&= 19,6 m\\
h_3&=44,1m\\
 h_4&=78,4m
\end{align*}

Après avoir reçu une pomme sur la tête, nous remarquons que
$$h_n\simeq \fr{1}{2}gn^2$$
avec $g\simeq 9,81ms^{-2}$ et $n$ le \textit{rang} de la mesure
correspondant ici au nombre de secondes écoulées depuis le début
de la chute.

Nous avons ainsi tout naturellement construit une $suite$ de
mesures qui est en fait une suite numérique de \textit{terme
général} $h_n=4,9n^2$.



\tsx Il aurait été plus simple de noter $h(t)=4,9t^2$ avec $t$ le
temps en secondes et $h(t)$ la hauteur en mètres.

\pro Attention ! Nous avons pris des mesures chaque seconde. Rien
ne nous dit qu'entre chaque mesure il ne se passe pas des choses
extrèmement bizarres. Bien sûr le physicien généralisera le
résultat à n'importe quelle valeur de $t$, entière ou non, car il
a en poche des lois qui le lui permettent : il passe naturellement
du $discret$ au $continu$\footnote{Ce passage du discret au
continu est l'un des points forts de votre formation : nous en
reparlerons tout au long de l'année, notamment au moment de la
découverte du calcul intégral et des lois de probabilité à
densité.}.

Hors d'un contexte physique, un mathématicien aura besoin d'être
convaincu avant de pouvoir généraliser

Considérez par exemple la suite de terme général

$$u_n=\sin(n\pi)$$

\tsx Pour la trigo, un petit dessin :

\begin{center} \includegraphics{tsx1.1} \end{center}

En fait, $u_n$ est toujours nul.

\pro Considérez maintenant la fonction définie pour tout réel $t$
par $f(t)=\sin(t\pi)$...

\tsx ...OK, je vois : par exemple $f(1/2)=\sin(\pi/2)=1$ donc la
fonction $f$ n'est pas nulle partout en fait.

\pro Imaginez un physicien prenant chaque seconde des mesures d'un
phénomène obéissant à cette loi\footnote{par exemple une onde se
propageant à la surface de l'eau}: il pourrait conclure qu'après
avoir jeté un portable dans l'eau, la surface reste immobile...

Pour en revenir à nos moutons, une suite numérique peut apparaître
comme une <<~suite de mesures~>> à intervalle de temps régulier :
garder cette image en tête pourra peut-être vous aider à mieux
appréhender l'étude des suites, et l'étude des suites devrait
elle-même vous aider à appréhender les propriétés des fonctions
définies sur $\bbr$.

De manière plus abstraite, on peut aussi considérer une suite
numérique comme un classement de nombres réels : on prend des
réels et on leur colle un dossard.

Considérons par exemple la suite des entiers pairs :

$0$ a  le dossard n°0

2 a le dossard n°1

4 a le dossard n°2

6 a le dossard n°3 etc.

ce qui revient à étudier la suite $p_n$ de terme général $p_n=2n$.

\tsx Oui mais si on prend la suite $u_n=\sin(n\pi)$

\pro Effectivement, le pauvre 0 va se retrouver avec une infinité
de dossards...Voici un écueil fréquemment rencontré par les
valeureux pédagogues cherchant un support intuitif concret à une
notion mathématique abstraite : ça peut aider, mais il faut être
conscient des limites. D'ailleurs, en parlant de ça...


\SUBSECTION{Comment traduire qu'une suite diverge vers l'infini~?}


\pro Retrouvons notre portable en chute libre. Où en est-il depuis
tout à l'heure~?

\tsx Ben il s'est lamentablement écrasé.

\pro Mouais, alors imaginons un très grand tube.

\tsx Je veux bien, mais s'il est trop grand, $g$ va varier.

\pro Et le portable risque d'être plus attiré par la Lune que par
la Terre et se mettre à remonter. Encore une des limites des
illustrations physiques d'un phénomène mathématique : pour aborder
l'infini, il nous faut quitter le vulgaire monde physique.

Considérons la suite de terme général $h_n=5n^2$. Y a-t-il une
valeur que $h_n$ ne puisse dépasser~? Disons un milliard pour se
fixer les idées. Et d'abord, comment traduire ce problème
mathématiquement~?

\tsx Bon, disons que <<~$h_n$ plus grand qu'un milliard~>> revient
à résoudre l'inéquation $h_n\se10^9$.

\pro Continuez~! Par commodité, appelez $(I)$ cette inéquation.

\tsx
\begin{align*}
(I)&\ssi 5n^2\se 10^9\\
(I)&\ssi n^2\se2\times10^8\\
(I)&\ssi n\se\sqrt{2}\times10^4\ \text{car $n$ est positif}
\end{align*}


donc d'après ma machine, il suffit d'attendre un peu moins de
quatre heures.

\pro Je vous l'accorde. En fait, il semble qu'avec un peu de
patience, il n'y ait pas valeur que $h_n$ ne puisse dépasser.
Comment l'interpréter~?

\tsx J'ai vu ça l'année dernière : on dit que $h_n$ tend vers
$+\infty$.

\pro Attention mon petit Téhessin : parlez-vous du réel $h_n$ ou
de la suite ($i.e.$ la fonction ) $(h_n)$~?

\MATA{Comment peut-il faire la différence à l'oreille~? Il se
fiche de moi}

\pro Le \textit{réel} $h_n$ est fixe : il ne varie pas .

\MATA{ Chuis pas demeuré non plus.}

\pro La \textit{suite} $(h_n)$ varie en fonction de $n$ : c'est
elle qui tend vers $+\infty$.

Le problème maintenant, c'est : comment le prouver~?

\tsx ...

\pro Comme vous dîtes. L'ennui, c'est que nous n'avons pas de
définition mathématique du fait qu'une suite tende vers $+\infty$.
Qu'à  cela ne tienne~! Donnons-en une :

\sm

\ENC{Définition}{ Soit $\un$ une suite réelle. On dit que $\un$
diverge vers $+\infty$ si et seulement si , pour tout réel positif
$A$, il existe \textbf{un} entier $N$ tel que \textbf{pour tout}
entier $n$ supérieur à $N$, on a $u_n>A$.}

\sm

\MATA{C'est sûr qu'on est vachement avancé avec son charabia}
\textbf{(tout haut) : } votre définition me laisse perplexe...

\pro Toi yen a pas comprendre~? Bon, ça veut seulement dire que,
quelque soit la hauteur $A$ de la barre, si on attend $N$
secondes, on est sûr que les termes de la suite seront toujours
au-dessus de $A$

\begin{center} \includegraphics{tsx1.2} \end{center}

Remarquez bien que le temps d'attente $N$ dépend de la hauteur $A$
que l'on veut dépasser.

\tsx Oui mais concrètement, comment peut-on peut-on appliquer ça à
$(h_n)$~?

\pro Nous atteignons la conclusion de notre réflexion : la mise en
forme rigoureuse de notre première intuition après s'être mis
d'accord sur un point de départ, la définition.

\sm

Considérons donc la suite $(h_n)_{n\in\bbn}$ de terme général
$h_n=5n^2$.

Soit $A$ un réel positif quelconque. Nous voudrions savoir s'il
existe un rang $N$ à partir duquel les valeurs prises par la suite
$(h_n)_{n\in\bbn}$ sont $toujours$ supérieures à $A$.

Il s'agit donc de résoudre \textbf{dans} $\mg\bbn$ l'inéquation

\begin{align*}
(I)&: \ 5n^2\se A\\
(I)&\ssi n^2\se A/5\\
(I)&\ssi n\se \sqrt{A/5}\ \text{car } A\se0
\end{align*}

Donc, dès que $n$ sera supérieur à $\sqrt{A/5}$, on aura $h_n$
supérieur à $A$. Donc, d'après notre définition, on peut dire que
$(h_n)_{n\in\bbn}$ tend vers $+\infty$.

\tsx Et si je comprend bien, ici le $N$ est égal à $\sqrt{A/5}$.

\pro Mouais, enfin presque : $\sqrt{A/5}$ n'a aucune raison d'être
un entier~! $N$ est en fait le premier entier supérieur à
$\sqrt{A/5}$.

\tsx Ouh la ! Une petite pause s'impose.

\pro Surtout en sachant ce qui nous attend.

\SUBSECTION{Comment traduire qu'une suite converge vers 92~?}

\pro Bon, enfilons notre bleu de chauffe et ouvrons le capot
moteur de votre 309 customisée. Plongez votre portable dans le
carter d'huile~: grâce à ses fonctions thermomètre et chronomètre,
vous allez pouvoir relever la température de l'huile toutes les 30
secondes.

\tsx OK, ça roule.
\begin{align*}
\theta_0&=60°C\\
\theta_1&\simeq83°C\\
\theta_2&\simeq86°C\\
\theta_3&\simeq88°C\\
\theta_{10}&\simeq90,5°C\\
\theta_{20}&\simeq91,2°C\\
\theta_{30}&\simeq91,5°C\\
\theta_{100}&\simeq91,9°C\\
\theta_{200}&\simeq91,92°C\\
\theta_{1\,000}&\simeq91,99°C\\
\theta_{10\,000}&\simeq91,999°C\\
\end{align*}

Il semble que la température de l'huile se
stabilise\footnote{Téhessin est très patient} autour de 92°C

\pro Un physicien dirait qu'on atteint un régime permanent, la
température limite valant 92°C.

\sm

Quittons nos bleus et grimpons en haut de l'Olympe mathématique.
Pour les dieux que nous sommes, le temps s'écoule à l'infini~: 5
minutes, 10 ans, 1 milliard d'années-lumière ne représentent rien
si ce n'est un début de commencement.

Considérez la suite de terme général
$t_n=32\sqrt{\fr{n}{n+1}}+60$.

\tsx Je calcule les premiers termes et miracle, on retrouve les
résultats de l'expérience, donc la suite tend vers 92.

\pro Pauvre Téhessin. Vous regardez encore le monde avec vos yeux
de pauvre mortel : qui vous dit qu'après $10^{10^{10}}$ calculs,
$t_{10^{10^{10}}}$ ne se mette pas à s'éloigner de 92~? Comme le
disait mon maître Marcel : <<~ne demande pas à la chenille de
comprendre le vol du papillon~>>.

\MATA{Moi aussi j'en connais : <<~si ma tante en avait...>>}
\textbf{(tout haut) :} Je ne saisis pas bien le rapport.

\pro \'Elémentaire~! Ce qui est vrai au départ peut s'avérer faux
par la suite : un état qui nous semble stationnaire peut
subitement se mettre à varier fortement.

Un exemple : étudiez la suite définie, pour $n\in\bbn$, par
$$u_n=\fr{30^n}{n\times(n-1)\times\cdots\times1}$$

\tsx Je tapote et j'obtiens $u_5\simeq 2\times 10^6$,
$u_{10}\simeq2\times10^8$, $u_{15}\simeq 10^{10}$ : bon, je pense
que cette suite tend vers $+\infty$, mais votre petit sourire me
dit qu'il y a un vice caché.

\pro Bien joué Callaghan~! Vous essaierez dans la douce quiétude
de votre bureau de montrer que la suite croît jusqu'à $u_{30}$
puis décroît et même que $u_{n+1}\ie\fr{1}{2}u_n$ pour $n\se59$ ce
qui nous permettra bientôt de montrer que la suite converge en
fait vers 0.


Imaginons maintenant qu'un physicien effectue une suite de mesures,
 la $n^{\rm i\grave eme}$ mesure étant $u_n$.
S'il se limitait aux 15 premières mesures, il constaterait que les
résultats sont de plus en plus grands  et il pourrait
 penser que cela va continuer. Il obtiendrait alors une conclusion
opposée à celle du mathématicien : la suite n'a pas de limite finie.

\sm

Les deux raisonnements correspondent à deux visions des choses
différentes. Pour un mathématicien, la notion de convergence d'une
suite ne dépend pas des $p$ premiers termes, même si $p$ est très
grand : le mathématicien contemple l'infini. Alors que le
physicien qui se livre à des observations ne peut s'appuyer que
sur un nombre fini d'entre elles, et les premiers termes sont donc
importants pour lui.

\sm

Ceci dit, on peut quand même utiliser des suites pour modéliser
 certains phénomènes à temps discrets.
Tout ne se passe pas toujours aussi mal que dans l'exemple précédent qui avait été
<< choisi pour >>.
Le physicien peut également utiliser des suites dans d'autres circonstances que celles d'une
suite de mesures temporelles et sa conception de la limite peut alors rejoindre celle
du mathématicien. Cela peut se produire lorsqu'il
 discrétise l'espace, c'est-à-dire lorsqu'il l'assimile
 à un ensemble fini de points uniformément répartis (un maillage),
 ce qui permet dans certains cas de simplifier
des calculs. En faisant tendre le nombre de points vers l'infini,
 on espère que les résultats obtenus comme limites des résultats
sur l'espace discrétisé seront valables pour l'espace continu, if
you see what I mean.


\tsx Ouh ouh,  on redescend sur Terre s'il vous plaît...

\pro Ah euh oui oui, bon : comment formuler autrement que les
valeurs prises par $(t_n)_{n\in\bbn}$ se rapprochent
inexorablement de 92~?

\tsx Vous en avez de bonnes. Chais pas moi, en disant qu'elles ne
s'en éloignent pas.

\pro Bingo~! Voilà l'idée. Enfin presque. Par exemple, se
rapprocher de 92°C, c'est dire qu'à partir d'un certain rang (d'un
certain moment), toutes les températures mesurées seront à moins
d'un degré de la température limite : bref, toutes les valeurs
sont à moins d'un degré de 92°C \textit{sauf un nombre fini de
valeurs} plus éloignées.

On pourrait d'ailleurs tenir le même raisonnement en remplaçant
1°C par 0,1°C ou encore $10^{-32}°C$

\begin{center} \includegraphics{tsx1.3} \end{center}

Le problème est de traduire algébriquement ces notions de distance
: les intervalles peuvent nous aider.

\sm

\ENC{Définition}{On dit qu'une suite $\un$ converge vers le réel
$\ell$ si et seulement si tout intervalle ouvert contenant $\ell$
contient aussi \textbf{tous les termes de la suite à partir d'un
certain rang}}

\sm

\tsx Je ne vois pas trop comment appliquer concrètement cette
définition.



\pro Prenons un exemple simple : la suite de terme général
$v_n=\fr{n+1}{n}$.

\tsx $v_1=2,\ v_2=3/2,\ v_{100}=1,01,\ v_{10\,000}=1,0001$ : la
suite semble converger vers 1.



 \pro Prenons un intervalle
centré en 1 : il est de la forme $]1-\e\,;\,1+\e[$



Résolvons alors

\begin{align*}
(I_n)&:\ 1-\e<v_n<1+\e\\
(I_n)&\ssi 1-\e<1+1/n<1+\e\\
(I_n)&\ssi -\e<1/n<\e\\
(I_n)&\ssi 0<1/n<\e\ \text{car $n$ est strictement positif}\\
(I_n)&\ssi n>1/\e
\end{align*}

Donc, quelque soit $\e$, c'est à dire quelque soit l'intervalle
ouvert centré en 1, tous les termes $v_n$ de la suite seront dans
l'intervalle dès que $n$ est supérieur à $1/\e$.









\SECTION{PROPRI\'ET\'ES \'EL\'EMENTAIRES DES LIMITES}{Propriétés
élémentaires des limites}

\pro Vous avez vu l'an passé un certain nombre de propriétés sur
les limites qui vont en fait s'avérer des outils indispensables
pour résoudre les exercices, le retour à la définition s'avérant
souvent fastidieux.


\SUBSECTION{Comment démontrer les propriétés sur les limites des
suites à partir des définitions des limites ?}

\MAT{L'année dernière, on n'avait démontré aucune de ces
propriétés.}

\pro C'est parce que vous ne disposiez pas encore des définitions
des limites. Mais, maintenant, nous pouvons pratiquement  toutes
les démontrer :
\begin{itemize}
\item limite d'une somme, d'un produit ou d'un quotient de deux
suites admettant des limites finies ou non, en dehors des cas où
apparaît une des formes indéterminées $\,+\infty-\infty$,
$\,\infty\times0$, $\,0/0$ ou $\,\infty/\infty$ ; \item théorème
des gendarmes ; \item si $u_n\se v_n$ à partir d'un certain rang
et si $(v_n)$ diverge vers $+\infty$, alors $(u_n)$ diverge vers
$+\infty$ ; \item passage à la limite dans une inégalité ; \item
toute suite croissante non majorée diverge vers $+\infty$ ; \item
si $(u_n)$ converge vers $\ell$, alors $(\vert u_n\vert)$ converge
vers $\vert \ell\vert$, etc.
\end{itemize}

\MAT{Et le fait que toute suite croissante et majorée est
convergente ?}

\pro Justement, on ne peut pas encore le démontrer, pas plus que
le fait que toute suite suite décroissante et minorée est
convergente. Car les preuves de ces deux propriétés sont très
particulières, et vous ne les ferez qu'une fois votre Bac en
poche.

\sm

Maintenant, pour que vous voyez les définitions des limites à
l'\oe uvre, je vais vous exposer deux preuves en détails.

\ENC{Propriété} {Si $(u_n)$ diverge vers $+\infty$, alors
$(1/u_n)$ tend vers $0$.}


Pour montrer que  $(1/u_n)$ tend vers 0, on applique la méthode
vue dans la partie précédente. On fixe d'abord $\e$ en écrivant
<<~Soit $\e>0$~>>, et on cherche un indice $N$ à partir duquel
$1/u_n\in]-\e,\e[$. On écrit maintenant l'hypothèse

Quelque soit $A>0$, il existe un rang $M$ tel que, pour tout $n\se
M$, $u_n\in]A,+\infty[$



On doit maintenant choisir avec quelle valeur de $A$ l'utiliser.
 Pour que
$1/u_n$ appartienne à $]-\e,\e[$, il suffit que $u_n$ soit
supérieur à $1/\e$. On décide donc d'utiliser l'hypothèse avec
$A=1/\e$, ce qui est possible puisque $\e$ est fixé.
 On pose alors $N$ égal au $M$ correspondant à $A=1/\e$. Pour $n\se N$, on a donc $u_n\se1/\e$, d'où
$ 1/u_n\ie\e$ et donc $1/u_n\in ]-\e,\e[$. Nous avons trouvé un
$N$ convenable pour le $\e$ que nous nous étions fixé, et comme
nous avions choisi $\e$ strictement positif quelconque, le
résultat est démontré. Passons maintenant au deuxième exemple.

\ENC{Théorème des gendarmes} {On suppose que $u_n\ie v_n\ie w_n$
pour tout $n$, et que $(u_n)$ et $(w_n)$ convergent vers un même
réel $\ell$. Alors $(v_n)$ converge aussi vers $\ell$.}

 Comme précédemment, on commence par <<~Soit $\e>0$~>>, et on
cherche un indice $N$ à partir duquel $\ell-\e\ie v_n\ie \ell+\e$.
Cette fois-ci, on écrit les hypothèses \bqas \text{Pour tout }
\alpha>0\ \ \text{il existe un rang }  M_\alpha \text{ à partir
duquel tous les termes de la suite vérifient }\ \
\ell-\alpha\ie u_n\ie \ell+\alpha,\\
\text{Pour tout } \beta>0\ \ \text{il existe un rang }  P_\beta
\text{ à partir duquel tous les termes de la suite vérifient }\ \
\ell-\beta\ie w_n\ie \ell+\beta \eqas

et le problème est de savoir pour quelles valeurs de $\alpha$ et
de $\beta$ nous allons utiliser ces hypothèses. Pour que $v_n$
soit supérieur à $l-\e$, il suffit que $u_n$ soit supérieur à
$\ell-\e$ puisque $v_n\se u_n$, donc il suffit que $n$ soit
supérieur à $M_\e$. De même, pour que $v_n$ soit inférieur à
$\ell+\e$, il suffit que $w_n$ soit inférieur à $\ell+\e$ puisque
$v_n\ie w_n$, donc il suffit que $n$ soit supérieur à $P_\e$. On
applique donc les hypothèses avec $\alpha=\e$ et $\beta=\e$, et on
pose $N={\rm max}(M_\e,P_\e)$. Ainsi, si $n\se N$, alors $n\se
M_\e$ et $n\se P_\e$, d'où $\ell-\e\ie v_n\ie \ell+\e$. Voilà !

\MATA {Je commence à me demander si je ne ferais pas mieux d'aller
jouer aux billes avec mon petit frère au lieu de vouloir devenir
un Mataïe...}


\SUBSECTION{Comment montrer qu'une suite converge vers 32 ?}

\MATA{Qu'est-ce qui lui prend ? On vient d'en parler}

\pro Je vois que vous trouvez cette question un peu curieuse. Il
s'agit juste d'une manière de dire que l'on veut  montrer que la
suite converge alors que l'\textit{on sait déjà quelle doit être
sa limite}, par exemple 32. Il est effectivement fréquent que l'on
ait \textit{a priori} une idée de la valeur de la limite soit
parce qu'on l'a devinée,
 soit parce qu'un énoncé a donné cette valeur. On a de plus étudié
 un problème similaire à l'aide de la définition : nous allons
 voir que dans la plupart des cas, on peut se contenter d'utiliser
 des propriétés déjà démontrées.

\sm

Commençons par une première  transformation  du problème. On
préfère souvent avoir à montrer qu'une suite tend vers 0 plutôt
que de montrer qu'elle tend vers 32. De plus, on préfère aussi
travailler avec des nombres positifs parce qu'on voit mieux les
choses et parce que les majorations sont plus faciles et moins
dangereuses avec des nombres positifs. Pour toutes ces raisons, on
utilise fréquemment que
$$\lim_{n\to+\infty}u_n=32\Longleftrightarrow\lim_{n\to+\infty}\vert u_n-32\vert=0\cdot$$

On est donc ramené à montrer que $\vert u_n-32\vert$ tend vers 0.
Ensuite, il y a bien sûr plusieurs méthodes, mais une des plus
courantes consiste à effectuer des majorations successives de
$\vert u_n-32\vert$, et ceci jusqu'à obtenir un majorant $\al_n$
dont on sait déjà qu'il tend vers 0,

$$\vert u_n-32\vert\ie\cdots\ie\cdots\ie\al_n\cdot$$

Puis on  conclut grâce à la propriété suivante qui va nous
permettre de résoudre de nombreux exercices :

\ENC{Propriété} {Soit $(u_n)$ une suite réelle et $\ell\in\bbr$.
On suppose qu'il existe une suite $(\al_n)$ qui converge vers 0 et
telle que $\vert u_n-\ell\vert\ie\al_n$ à partir d'un certain
rang. Alors $(u_n)$ converge vers $\ell$.}

C'est en fait une conséquence directe du théorème des gendarmes,
une fois que l'on a remarqué que $\vert u_n-\ell\vert\ie\al_n$
équivaut à $l-\al_n\ie u_n\ie l+\al_n.$

\sm

Par exemple, pour $\theta\in\bbr$ fixé, on sait que
$|\sin(n\theta)|\ie 1$, donc on a
$${\rm Pour \ tout \ } n\in\bbn^*\ \ \ \left|\,\frac{\sin(n\theta)}{n}\,\right|\,\ie\frac{1}{n},$$
or $\lin \fr{1}{n}=0$ donc, d'après la propriété précédente
$\ds\lim_{n\to+\infty}\fr{\sin(n\theta)}{n}=0$.

 Mais il se fait
tard \mat~: il est temps pour moi de me ressourcer en allant voir
Lagaf à la télé.


\MATA {Décidément, devenir un Mataïe n'est pas sans risque...}













\SUBSECTION{Croyable mais faux !}

Mathémator combat les idées reçues sur les suites : une interview
exclusive.

\sm

\tsx Est-il vrai qu'une suite strictement croissante diverge
forcément vers $+\infty$~?

\pro On pourrait le penser en effet : une suite qui ne fait que
croître va forcément monter vers $+\infty$. Et pourtant c'est
FAUX~!

Considérez par exemple la suite de terme général $u_n=32-1/n$.

\tsx Est-il vrai qu'une suite qui diverge vers $+\infty$ est
forcément croissante à partir d'un certain rang~?

\pro On pourrait le penser en effet : puisqu'il faut aller vers
l'infini et au-delà, il va bien falloir monter sans s'arrêter. Et
pourtant c'est FAUX~!

Considérez par exemple la suite de la bergère allant au marché de
terme général $u_n=n+(-1)^{n+1}+1$.

\tsx Est-il vrai qu'une suite bornée converge forcément vers un
réel~?

\pro On pourrait le penser en effet : puisque la suite est bornée,
elle ne pourra aller vers l'infini, donc il faut qu'elle se
stabilise quelque part. Et pourtant c'est FAUX~!

Considérez par exemple les suites de termes généraux
$u_n=(-323)^n$ et $v_n=\sin n$.

\tsx Est-il vrai qu'une suite ne prenant qu'un nombre fini de
valeurs converge forcément~?

\pro On pourrait le penser en effet : puisque la suite ne prend
qu'un nombre fini de valeurs, elle va se stabiliser sur l'une
d'elle. Et pourtant c'est FAUX~!

Je vous laisse trouver le \textit{contre-exemple}.





\break

\SECTION{EXERCICES}{Exercices}

\SUBSECTION{Avec les définitions.}


\exo

On considère la suite définie par $u_n=2+1/n$ pour $n\se 1$

\been \item Calculer les dix premiers termes de la suite et en
donner des valeurs approchées à $10^{-2}$ près.

\item Observer la représentation graphique de la suite $\un$
donnée par une calculatrice ou un ordinateur. Quelle conjecture
peut-on faire sur la limite de la suite $\un$  ?

\item On considère l'intervalle ouvert de centre 2 et de rayon
0,01 , c'est-à-dire $] 1,99 ; 2,01[$ . Montrer qu'à partir d'un
certain rang  $n_0$ à déterminer, tous les termes de la suite
($u_n$) appartiennent à cet intervalle.

\item On considère l'intervalle ouvert de centre 2 et de rayon $r$
, c'est-à-dire $]2-r, 2+r[$.

 Montrer qu'à partir d'un certain rang
$n_0$ à déterminer en fonction de $r$ , tous les termes de la
suite ($u_n$) appartiennent à cet intervalle.

 \item Démontrer que ($u_n$) converge vers 2.


\een

 \exo

On considère la suite ($u_n$ ) définie par $u_n=\fr{n^2+2}{n}$
pour $n\se1$.

 \been


\item Calculer les dix premiers termes de la suite et en donner
des valeurs approchées à $10^{-2}$ près.

\item Observer la représentation graphique de la suite ($u_n$ )
donnée par une calculatrice ou un ordinateur. Quelle conjecture
peut-on faire sur la limite de la suite  ?

\item On considère l'intervalle $]a,+\infty[$ avec $a\se10$.

\m à partir d'un certain rang $n_0$ à déterminer en fonction de
$a$, tous les termes de la suite appartiennent à cet intervalle.

\item \m $\lin u_n=+\infty$. \een


\exo Démontrez que si une suite est convergente, alors elle est
bornée.


\SUBSECTION{Avec les propriétés.}




\exo Déterminez les limites des suites de termes généraux
suivants~:
$$u_n=\cos n-n\quad v_n=2n+(-1)^n\quad a_n=\fr{\sin n}{n}\quad
b_n=\left(\fr{3}{4}\right)^n\sin n\quad c_n=\fr{3-\cos n}{n}$$

\exo Soit $\un$ la suite de terme général $$u_n=\sqrt{n^2+6n}-n$$
\been

\item Conjecturez la limite de la suite à l'aide de la
calculatrice
\item Montrez que $u_n=\fr{6}{\sqrt{1+6/n}+1}$ et déduisez-en la
limite de $\un$. \een

\exo On considère la suite $(s_n)_{n\in\bbn}$ de terme général
$$s_n=\sum_{k=1}^n\fr{n}{n^2+k}$$
En déterminant le plus petit et le plus grand terme de $s_n$,
montrez que $$\fr{n}{n+1}\ie s_n\ie \fr{n^2}{n^2+n}$$ et
déduisez-en la limite de $(s_n)_{n\in\bbn}$.



\exot{Style Bac avec ROC}

Soit $(\un)$ une suite. On considère les propriétés suivantes

\begin{itemize} \item P$_{1}$ la suite $\left(u_{n}\right)$ est majorée ;
\item P$_{2}$ la suite $\left(u_{n}\right)$ n'est pas majorée;
\item P$_{3}$ la suite $\left(u_{n}\right)$ converge;
\item P$_{4}$ la suite $\left(u_{n}\right)$ tend vers +;
\item P$_{5}$ la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante.

\end{itemize}

\begin{enumerate} \item Donner la traduction mathématique des propriétés P$_{1}$ et P$_{4}$.

\item Si les propriétés P$_{1}$ et P$_{5}$ sont vraies, que peut-on en conclure
pour $\left(u_{n}\right)$ (on ne demande pas de justifier la réponse) ?

\item Si les propriétés P$_{2}$ et P$_{5}$ sont vraies, que peut-on en conclure
pour $\left(u_{n}\right)$ (on ne demande pas de justifier la réponse) ?

\item Une suite vérifiant la propriété P$_{4}$ vérifie-t-elle nécessairement
la propriété P$_{2}$ (on demande de justifier la réponse) ?

\item Une suite vérifiant la propriété P$_{2}$ vérifie-t-elle nécessairement
la propriété P$_{4}$ (on demande de justifier la réponse) ?

\end{enumerate}

\exot{Encore un}


\noindent \textbf{Partie A Démonstration de cours}

Soit $\left(u_{n}\right)$ une suite croissante non majorée.

\begin{enumerate} \item Soit $M$ un nombre réel et $n_{0}$ un entier naturel
tel que $u_{n_{0}} \geqslant  M$.

Démontrer que pour tout entier naturel $n$, si $n \geqslant n_{0}$ alors $u_{n} \geqslant  M.$

\item Quelles conséquences peut-on en tirer pour la suite $\left(u_{n}\right)$ ?

\item Énoncer le théorème du cours ainsi démontré.

\end{enumerate}

\noindent \textbf{Partie B}

Répondre par Vrai ou Faux aux propositions suivantes en justifiant chaque réponse :

\textbf{a.} Si une suite n'est pas majorée alors elle tend vers  $+ \infty$.

\textbf{b.} Si une suite est croissante alors elle tend vers $+ \infty$.

\textbf{c.} Si une suite tend vers $+ \infty$ alors elle n'est pas majorée.

\textbf{d.} Si une suite tend vers $+ \infty$ alors elle est croissante.

\exot{Et un autre}


\noindent \textbf{Partie I}

\textsl{À chaque question est affecté un certain nombre de points. Pour chaque question, une réponse exacte rapporte le nombre de points
affectés ; une réponse
 inexacte  enlève la moitié du nombre de points affectés.\\
Le candidat peut décider de ne pas répondre à certaines de ces questions. Ces questions ne rapportent aucun point et n'en enlèvent
aucun.\\
Si le total est négatif, la note est ramenée à} 0.

\noindent Pour chacune des affirmations suivantes répondre sans justification par Vrai ou Faux :

\noindent (A) Soit $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ deux suites à valeurs strictement positives. Si, pour tout entier $n,~
v_{n} \geqslant  u_{n}$ et si $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n} =  \infty$ alors $\displaystyle\lim_{n \to +
\infty}\cfrac{v_{n}^2}{u_{n}} = + \infty$.

\noindent (B) Toute suite bornée est convergente.

\noindent (C) Pour toutes suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ à valeurs strictement positives qui tendent vers $+
\infty$, la suite de terme général $\cfrac{u_{n}}{v_{n}}$ converge vers 1.

\noindent (D) Toute suite croissante non majorée tend vers $+ \infty$.

\noindent \textbf{Partie II}

Pour chacune des propositions de la première partie, justifier votre réponse :

\begin{itemize} \item dans le cas où la proposition vous paraît fausse : en donnant un
contre-exemple.

\item  dans le cas où la proposition vous paraît exacte : en donnant une
démonstration.

\end{itemize}


\exot{} Soient $\lambda>0$ et $\un$ une suite telle que $u_0>0$, $u_1>0$ et $$\text{pour tout } n\in\bbn,\quad u_{n+2}=u_{n+1}+\la u_n$$
Montrez que la suite diverge vers $+\infty$. \jok{\'Etudiez le signe des termes puis le sens de variation de la suite}

\exot{}

Soient $(u_n)_{n\in\bbn}$ et $(v_n)_{n\in\bbn}$ deux suites telles que $\lin(u_n^2+u_nv_n+v_n^2)=0$.

Montrez que $\lin u_n=\lin v_n=0$

\jok{Mettez $X^2+X+1$ sous forme canonique}

\exot{}

Soit $a$ et $b$ deux réels strictement positifs. \'Etudiez $\lin \fr{a^n-b^n}{a^n+b^n}$

\jok{Si a et b sont distincts, l'un est supérieur à l'autre}


\exot{Vrai ou Faux~?}

\been
\item Si une suite n'est pas bornée, alors elle diverge.
\item Si une suite diverge, alors elle n'est pas bornée.
\item La somme d'une suite convergente et d'une suite divergente
est une suite divergente.
\item Une suite qui diverge vers $+\infty$ est croissante à partir
d'un certain rang. \een

\exot{}

Pour $n\in\bbn^*$, on pose $\ds S_n=\sum_{k=1}^n{1\over n^2+k}$. \been
\item
D\'eterminez \`a l'aide de la calculatrice une valeur approch\'ee de $S_{50}$ à la précision $10^{-2}$.
\item D\'emontrez que $(S_n)$ converge vers une limite que l'on p\'ecisera.
\item \'Etudiez la convergence de la suite $(nS_n)$.
%\item Confronter les résultats des questions a) et c).
\een \jok{On minore une somme par n fois le plus petit terme, on la majore par n fois le plus grand}


\exo \'Etudier la suite de terme général $\ds\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2n}$.

\jok{Montrez qu'elle est croissante et majorée}








\exot{QCM}



\noindent Cet exercice se pr\'esente comme un questionnaire à choix multiples (QCM). Les quatre questions pos\'ees sont ind\'ependantes.

\noindent Pour chaque question il y a deux conclusions correctes. Le candidat doit cocher \textbf{au plus deux cases} (celles qu'il juge
correctes). Aucune justification n'est demand\'ee.

\noindent À chaque question est affect\'e un certain nombre de points. Chaque r\'eponse exacte rapporte la moiti\'e des points affect\'es
; chaque r\'eponse fausse enl\`eve le quart des points affect\'es. Cocher trois cases ou plus à une question, ou n'en cocher aucune,
rapporte z\'ero point à cette question.

\noindent Si, par aplication de ce bar\`eme, le total des points de l'exercice est n\'egatif, il est ramen\'e à z\'ero.


On consid\`ere trois suites $\left(u_{n}\right),~ \left(v_{n}\right)$ et $\left(w_{n}\right)$ qui v\'erifient la propri\'et\'e suivante :

\begin{center} <<~ Pour tout entier naturel~ $n$~ strictement positif :~
$\left(u_{n}\right) \leqslant \left(v_{n}\right) \leqslant \left(w_{n}\right)$~>>. \end{center}

\begin{enumerate} \item Si la suite $\left(v_{n}\right)$ tend vers $- \infty$, alors :

$\Box$ La suite $\left(w_{n}\right)$ tend vers $- \infty$

$\Box$ la suite $\left(u_{n}\right)$ est major\'ee

$\Box$ la suite $\left(u_{n}\right)$ tend vers $- \infty$

$\Box$ la suite $\left(w_{n}\right)$ n'a pas de limite.

\item Si $\left(u_{n}\right) \geqslant 1,~\left(w_{n}\right) =
2\left(u_{n}\right)$ et $\lim \left(u_{n}\right) = l$, alors

$\Box$ $\lim  \left(v_{n}\right) = l$

$\Box$ La suite $\left(w_{n}\right)$ tend vers $+ \infty$

$\Box$ $\lim (w_{n} - u_{n})= l$

$\Box$ On ne sait pas dire si la suite $\left(v_{n}\right)$ a une limite ou non.

\item Si $lim \left(u_{n}\right) = - 2$ et $\lim
\left(w_{n}\right) = 2$, alors :

$\Box$ La suite $\left(v_{n}\right)$ est major\'ee

$\Box$ $\lim \left(v_{n}\right) = 0$

$\Box$ la suite $\left(v_{n}\right)$ n'a pas de limite

$\Box$ On ne sait pas dire si la suite $\left(v_{n}\right)$ a une limite ou non.

\item Si $u_{n} = \cfrac{2n^2-1}{n^2}$ et  $w_{n} =
\cfrac{2n^2+3}{n^2}$    alors :

$\Box~ \lim \left(w_{n}\right) = 0$

$\Box~ \lim \left(v_{n}\right) = 2$

$\Box~  \lim \left(u_{n}\right) = 2$

$\Box$ la suite $\left(v_{n}\right)$ n'a pas de limite.

\end{enumerate}















%
%
%\SUBSECTION{Comment exprimer rigoureusement que $\ds{n}/{(n+1)}$
%se rapproche indéfiniment de 1  quand $n$ tend vers l'infini ?}
%
%
%\pro Pour étudier le comportement de
%$$v_n = {n\over n+1}$$
%lorsque $n$ tend vers l'infini, nous allons commencer par calculer
%quelques valeurs approchées :
%$$v_3\simeq0,666\,;\ \ \ v_{15}\simeq0,937\,;\ \ \ v_{100}\simeq0,990\,;\ \ \ v_{500}
%\simeq0,998\cdot$$
%
%\MAT{On dirait que quand $n$ est grand, $v_n$ est proche de 1, et
%même très très proche de 1 si $n$ est très très grand.}
%
%\pro C'est ça, et aujourd'hui, nous allons essayer de donner un
%sens précis à ce que vous venez de dire. Un peu d'intuition tout
%d'abord. Tracez un segment de droite sur une feuille et placez un
%point sur ce segment qu'on appellera 1. Il semble que si l'on
%trace des cercles de centre 1, on << rencontrera >> toujours un
%trait continu de points << noircis >>. À la loupe c'est encore
%vrai, au microscope optique aussi. Maintenant utilisons un
%microscope électronique : nous verrons de grands << vides >> non
%noircis autour de 1, car le papier n'est pas lisse.
%
%Voyageons maintenant dans le monde parfait des mathématiques et
%imaginez que vous disposiez d'un microscope mathématique. Alors
%vous verriez que, mis à part quelques termes de la suite, tous les
%autres sont dans des cercles de centre 1 et ce, quelque soit la
%puissance du zoom.
%
%\DESSIN
%
% On peut alors énoncer une définition correcte
%de la convergence en remplaçant les zooms par des intervalles
%ouverts centrés en 1.
%
%
%
%
%
%
%
%%Tout d'abord, pour savoir
%%si $v_n$ est plus ou moins proche de 1 suivant les valeurs de $n$,
%% il  faut pouvoir mesurer la distance
%%entre $v_n$ et 1. Il y a plusieurs manières de le faire, mais
%%conformément à l'usage, nous prendrons
%% comme distance $\vert v_n-1\vert$.
%%
%%\sm
%%
%%Ensuite, il faut traduire le fait que cette distance devient très
%%petite quand $n$ devient très grand, plus petite que $10^{-2}$,
%%que $10^{-3}$ et plus généralement plus petite que n'importe quel
%%nombre $\e$ strictement positif, même très petit.
%%
%%\MAT{Mais que signifie {\rm <<~devient~>>} plus petite que
%%$10^{-2}$ et que $10^{-3}$ ?}
%%
%%
%%\pro D'après ma calculatrice, on a \bqas
%%\vert v_{97}-1\vert\!&\simeq&\!0,0102\,;\\
%%\vert v_{98}-1\vert\!&\simeq&\!0,0101\,;\\
%%\vert v_{99}-1\vert\!&=&\!0,01=10^{-2}\,;\\
%%\vert v_{100}-1\vert\!&\simeq\!&0,0099. \eqas
%%
%%Et on peut montrer que, pour les valeurs suivantes de $n$, la
%%distance $\vert v_n-1\vert$ est encore inférieure à $10^{-2}.$
%%Ainsi, à partir de l'indice 99, la distance entre $v_n$ et 1 est
%%devenue inférieure ou égale à $10^{-2}$. En quelque sorte, 99 est
%%un indice frontière.
%%
%%\sm
%%
%%Bien sûr, ce que nous avons fait pour $\e=10^{-2}$, nous pouvons
%%le refaire pour $\e=10^{-3}$, et nous trouverions alors un nouvel
%%indice frontière égal à 999. Il est d'ailleurs plus grand que le
%%précédent, ce qui est conforme à l'intuition puisque, comme
%%$10^{-3}<10^{-2}$, on demande à $v_n$ d'être plus proche de 1.
%%
%%\MAT{Mais comment faites-vous pour deviner les indices frontière ?
%%J'imagine que vous n'avez pas eu besoin de calculer les 1$\,$000
%%premières distances à la calculatrice. Vous devez avoir une autre
%%méthode. }
%%
%%\pro Effectivement jeune Mataïe, il suffit de résoudre l'inégalité
%%$\vert v_n-1\vert\ie\e$ d'inconnue $n\in\bbn$. Par exemple,
%%$$\left\vert{n\over n+1}-1\right\vert\ie10^{-2}\Longleftrightarrow{1\over n+1}\ie10^{-2}
%%\Longleftrightarrow n+1\se{1\over 10^{-2}}\Longleftrightarrow
%%n\se99\cdot$$
%
%%\MAT{D'accord. Je comprends bien comment la distance $\vert
%%v_n-1\vert$ peut devenir plus petite que $10^{-2}$ par exemple,
%%mais comment peut-elle  <<~devenir plus petite que n'importe quel
%%$\e$ strictement positif~>> ? Comment un nombre positif peut-il
%%être plus petit que n'importe quel nombre positif ?}
%%
%%Attention, cela ne veut pas dire que pour $n$ fixé, la distance
%%$\vert v_n-1\vert$  soit plus petite que que n'importe quel $\e$
%%strictement positif, car cela signifierait que $\vert
%%v_n-1\vert=0$. Il faut plutôt entendre par là qu'à partir d'un
%%certain indice, la distance entre $v_n$ et $1$ devient plus petite
%%qu'un nombre  $\e$ strictement positif, fixé mais quelconque. Ce
%%qui est bien vrai puisque
%%$$\vert v_n-1\vert\ie\e\Longleftrightarrow{1\over n+1}\ie\e\Longleftrightarrow n\se{1\over\e}-1\cdot$$
%%
%%\MAT{Donc l'indice frontière associé à la distance $\e$ est égal à
%%$\ds\frac{1}{\e}-1$.}
%%
%%Pas tout à fait, car $1/\e-1$ n'est pas nécessairement un nombre
%%entier. En réalité, l'indice frontière est le plus petit entier
%%naturel supérieur ou égal à $1/\e-1$.
%%
%%\sm
%%
%%
%%J'espère que comprenez maintenant l'aspect dynamique de
%%l'expression <<~ $\vert v_n-1\vert$ devient plus petit que $\e$
%%pour tout $\e$ strictement positif~>>. Il faut imaginer des $\e$
%%de plus en plus petits auxquels sont associés des indices
%%frontière de plus en plus grands.
%%
%%\iii{3}
%%
%%En résumé, nous avons traduit le fait que $v_n$ se rapproche
%%indéfiniment de 1 en disant que, pour tout $\e$ strictement
%%positif, la distance $\vert v_n-1\vert$ est inférieure à $\e$ pour
%%tous les indices $n$ plus grands que ${1}/{\e}-1$. En langage
%%mathématique, on écrit
%%$$\forall\e>0\ \ \forall n\se\frac{1}{\e}-1\ \ \vert v_n-1\vert\ie\e,$$
%%où $\forall$ se lit <<~quel que soit~>> ou <<~pour tout~>>.
%
%
%
%\SUBSECTION{Quelle définition donner de la convergence d'une suite
%quelconque ?}
%
%\pro On se place maintenant dans le cas général, et on cherche à
%définir la convergence  d'une suite réelle quelconque
%$(u_n)_{n\in\bbn}$ vers un certain réel $l$.
%
%% \MAT{On peut
%%peut-être adapter la phrase précédente, et dire que $(u_n)$ tend
%%vers $l$ signifie que
%%$$\forall\e>0\ \ \forall n\se\frac{1}{\e}-1\ \ \vert
%%u_n-l\vert\ie\e\cdot$$} Non, ça ne convient pas pour une
%%définition générale car le réel ${1}/{\e}-1$ est lié à la suite
%%particulière $\bigl({n}/{(n+1)}\bigr)_{n\in\bbn}$. Il faut que la
%%définition de la convergence puisse s'appliquer à une suite
%%quelconque, ce qui fait que nous ne pouvons pas donner
%%explicitement en fonction de $\e$ un indice à partir duquel $\vert
%%u_n-l\vert\ie\e$. Il va falloir se contenter de dire qu'il en
%%existe un, sans donner de formule comme ${1}/{\e}-1$. Ce n'est pas
%%gênant car l'existence d'un indice $N$ à partir duquel $\vert
%%u_n-l\vert\ie\e$ traduit aussi le fait que la distance devient
%%plus petite que $\e$.
%%
%%
%%\sm
%%
%%En langage mathématique, l'existence d'un entier $N$ qui vérifie
%%une certaine propriété $\PR(N)$ s'écrit <<~$\exists N\in\bbn\ \
%%\PR(N)$~>>, et se lit <<~il existe $N$ appartenant à $\bbn$ tel
%%que $\PR(N)$~>>.
%
%Je peux maintenant vous donner la définition complète.
%
%\ENC{Définition} {On considère une suite réelle $(u_n)_{n\in\bbn}$
%et un réel $\ell$. On dit que \textbf{\mg$(u_n)_{n\in\bbn}$
%converge vers $\ell$} lorsque, pour tout intervalle ouvert $I$
%centré en $\ell$, il existe un indice $N$ tel que, pour tout
%indice $n$ supérieur à $N$, $u_n$ appartient à $I$.
%%$$\forall\e>0\ \ \exists N\in\bbn\ \ \forall n\se N\ \ \vert u_n-l\vert\ie\e\cdot$$
%
%
%Une \textbf{suite convergente} est une suite qui  converge vers un
%certain réel.
%
%\sm
%
%Une \textbf{suite divergente} est une suite qui ne converge vers
%aucun réel.}
%
%
%
%
%\SUBSECTION{Comment utiliser la définition ?}
%
%\MAT{ Je ne vois pas trop comment cette définition peut m'aider à
%prouver que la suite $(v_n)$ tend vers 1.}
%
%\pro Il s'agit de montrer que n'importe quel intervalle ouvert
%contient tous les termes de la suite \textit{à partir d'un certain
%rang}. Cela revient à dire que, quelque soit le réel $\e$
%strictement positif, $v_n$ appartient à l'intervalle $]1-\e\, , \,
%1+\e[$ pour toute valeur de $n$ supérieure à un entier fixé $N$
%qu'il s'agit de déterminer.
%
%
%$$v_n\in]1-\e,1+\e[\ssi 1-\e<v_n<1+\e\ssi -\e<v_n-1<\e\ssi
%|v_n-1|<\e\ssi \fr{1}{n+1}<\e\ssi n>1/\e -1$$
%
%Ainsi, dès que $n$ est supérieur à $1/\e-1$, alors
%$v_n\in]1-\e,1+\e[$, et ce quelque soit $\e$, donc, pour tout
%intervalle $I_{\e}$ ouvert contenant 1, il existe un indice $N$
%tel que, pour tout $n$ supérieur à $N$, $u_n$ appartient à
%$I_{\e}$
%
%
%\DESSIN
%
%
%\SUBSECTION{Comment exprimer que  $(u_n)$  ne tend pas vers $\ell$
%?}
%
%
%\MAT{???}
%
%\pro Je vois, c'est encore à moi de travailler. Définissons  pour
%un $\e$ donné, l'intervalle
%$$I_\e=]\ell-\e,\ell+\e][$$ ainsi que l'assertion
%$$(A_\e)\ :\text{il existe un rang } N\ \ \text{tel que, pour tout }\  n\se N\ ,\  u_n\in I_\e$$
%
%Le fait que $(u_n)$ tende vers $\ell$ s'exprime alors en disant
%que $(A_\e)$ est vraie \textit{pour tous} les $\e$ strictement
%positifs. Comment exprimer le contraire ?
%
%\MAT{En disant que
% $(u_n)$  ne tend pas vers $\ell$
% signifie que $(A_\e)$ est fausse pour \textit{au moins
%une valeur} de $\e$.}
%
%\pro C'est ça, et attention à ne pas croire que cela signifie que
%$(A_\e)$ est fausse pour \emph{toutes} les valeurs de $\e$. Par
%exemple, pour prouver que l'assertion << \textsl{tous les élèves
%de TS6 sont des filles} >> est fausse, il suffit de dire qu'il y a
%\textit{au moins} un garçon.
% Maintenant, il faut exprimer que
%$(A_{\e_0})$ est fausse pour un certain $\e_0$ fixé.
%% On peut le faire de trois manières
%%différentes, et je vous demanderai d'admettre qu'elles sont
%%équivalentes :
%%\begin{itemize}
%%\item il n'y a aucun indice $N$ à partir duquel
%%tous les termes de la suite sont dans l'intervalle $I_{\e_0}$ ;
%%\item pour
%%tout $N\in\bbn$, on peut trouver un indice $n$ supérieur à $N$ tel
%%que $u_n$ n'appartienne pas à $I_{\e_0}$ ;
%%\item il y a
%%une infinité d'indices $n$ tels que $u_n$ n'appartienne pas à
%%$I_{\e_0}$.
%%\end{itemize}
%
%\MAT{Si j'ai bien compris, on peut résumer en disant qu'une suite
%ne tend pas vers $l$ signifie
% qu'il existe un certain $\e_0>0$ tel qu'une infinité de termes de la suite soit
%en dehors de l'intervalle $I_{\e_0}$.}
%
%\pro Vous avez bien compris. On peut le visualiser en imaginant
%une infinité de termes d'indices $n_0,\,n_1,\,n_2$, ... en dehors
%de l'intervalle $I_{\e_0}$.
%
%\DESSIN
%
%%Dans ce cas, la distance entre $u_n$ et $l$ ne deviendra pas aussi
%%petite que l'on veut car elle ne sera
%% inférieure à cet $\e_0$ à partir d'aucun indice $N$.
%
%\MAT{Un petit exemple ne serait pas de refus, Maître.}
%
%\pro D'accord, \mat. Alors étudions une suite qui prend
%alternativement les valeurs 1 et $-1$.
%
%
%\SUBSECTION{La suite $((-1)^n)_{n\in\bbn}$ converge-t-elle à la
%fois vers -1 et 1 ?}
%
%
%
%
%
%\pro Tout d'abord, elle ne converge pas vers 1. En effet,
% tous les termes d'indice impair de cette suite valent -1 et
%sont par exemple en dehors de l'intervalle $]1-1/2,1+1/2[$. Comme
%il y a une infinité d'indices impairs, cela montre que la suite ne
%tend pas vers 1 d'après ce que nous venons de voir. Ensuite, on
%montre  de manière analogue qu'elle ne tend pas non plus vers -1.
%
%
%\MAT{Pourtant, on aurait pu penser que la suite
%$((-1)^n)_{n\in\bbn}$ convergeait à la fois vers -1 et 1
%puisqu'elle prend
% une infinité de fois ces deux valeurs.}
%
%
%
%\pro Ce genre d'idée fausse est dû  à une conception trop vague de
%la limite. L'intuition est importante en mathématiques, mais vous
%voyez qu'elle peut vous induire en erreur. Pour  bien raisonner,
%vous devez vous appuyer sur quelque chose de tangible,
%c'est-à-dire revenir à la définition comme on l'a fait.
%
%\MAT{J'essayerai de m'en souvenir Maître...
% Mais sinon, est-ce qu'il est possible qu'une suite converge
%à la fois vers deux réels
% distincts ?}
%
%\pro Bonne question ! Et c'est la réponse à cette question qui va
%permettre de définir LA limite d'une suite convergente.
%
%
%\SUBSECTION{Pourquoi peut-on définir LA limite d'une suite
%convergente ?}
%
%\pro Parce que, comme je vais vous le montrer, une suite ne peut
%pas converger vers deux réels distincts. Donc lorsqu'une suite
%$(u_n)$ est convergente, il existe un réel $\ell$ vers lequel elle
% converge,
%et ce réel étant unique comme je viens de vous le dire, il ne
%dépend que de la suite $(u_n)$. On peut donc dire que ce réel est
%LA limite de la suite $(u_n)$, et on peut alors écrire $\ds
%\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell$. \MAT{Mais pourquoi avoir attendu si
%longtemps pour utiliser cette notation qui est quand même très
%pratique ?}
%
%\pro  Justement parce que l'emploi du symbole = sous-entend qu'il
%n'y a qu'une limite possible. Passons maintenant à la preuve de
%l'impossibilité de la convergence simultanée vers deux réels
%distincts. On raisonne  \textit{par l'absurde} en supposant qu'une
%suite $(u_n)$ converge vers deux réels distincts $\ell$ et
%$\ell'$, avec par exemple $\ell<\ell'$. On considère ensuite   un
%réel $\e>0$ suffisamment petit pour que les intervalles
%$]\ell-\e,\ell+\e[$ et $]\ell'-\e,\ell'+\e[$ soient d'intersection
%vide --~un tel $\e$ existe bien, par exemple $\e=(\ell'-\ell)/3$.
%
%\DESSIN
%
%On sait qu'à partir d'un certain indice $N_\e$, tous les termes de
%la suite sont dans $]\ell-\e,\ell+\e[$, et qu'à partir d'un autre
%indice $N'_\e$, ils sont tous dans $]\ell'-\e,\ell'+\e[$. Donc si
%$n$ est à la fois supérieur à $N_\e$ et $N'_\e$, alors $u_n$ est
%simultanément dans les deux intervalles, ce qui est impossible.
%
%
%
%\SUBSECTION{Pourquoi fallait-il définir rigoureusement la notion
%de suite convergente ?}
%
%
%
%\MAT{C'est vrai ! Ce serait tellement plus simple de se passer
%d'une définition rigoureuse. En a-t-on vraiment besoin  pour
%étudier les  suites ? }
%
%\pro Vous savez bien, \mat, que sans définitions précises, les
%mathématiques ne pourraient pas prétendre à la rigueur qui est une
%de leurs forces.
% Et d'autre part, il ne faut pas croire que tout
%ce qui semble vrai est vrai. Si l'on manipule sans précautions les
%limites de suites, on peut écrire des choses fausses. Par exemple,
%il est vrai que
%
%$$\lim_{n\to+\infty}\ \left[\lim_{p\to+\infty}\left({p\over p+1}\right)^n\right]=\lim_{n\to+\infty} 1^n
%=\lim_{n\to+\infty} 1=1\cdot$$
%
%Et on a aussi
%
%$$\lim_{p\to+\infty}\ \left[\lim_{n\to+\infty}\left({p\over p+1}\right)^n\right]
%=\lim_{p\to+\infty} 0=0\cdot$$
%
%Ainsi, si  vous inversez machinalement les deux symboles
%$\ds\lim_{n\to+\infty}$ et $\ds\lim_{p\to+\infty}$, vous aboutirez
%ici à 1=0 !
%
%\MAT{Donc tout ne marche pas si bien...}
%
%\pro Eh non, et pour éviter ce genre de désagréments, il faut
%procéder par étapes, en donnant d'abord une définition propre de
%la limite d'une suite, puis en démontrant les propriétés des
%suites en s'appuyant sur cette définition. Ceci dit, dans les
%exercices, vous utiliserez beaucoup plus souvent ces propriétés
%que la définition elle-même.
%
%\MAT{Mais puisque cette définition me servira  peu, pourquoi
%insistez-vous tant dessus ?}
%
%\pro D'abord parce que vous pourrez tout de même avoir à
%l'utiliser. Ensuite parce que la notion de limite d'une suite est
%fondamentale en analyse, et il faut la comprendre en profondeur,
%dans sa formalisation abstraite ainsi que dans sa traduction
%intuitive <<~sur un dessin~>>.
%
%\SUBSECTION{Le physicien et le mathématicien ont-ils la même
%conception de la notion de limite ?}
%
%\pro Imaginons que nous étudions l'évolution dans le temps d'une
%grandeur physique $x$ qui
% se stabilise autour d'une certaine <<~valeur  limite~>>
% $x_{\rm per}$
% correspondant par exemple à un régime permanent, par exemple la
% température d'un moteur en marche se stabilise autour d'une
% valeur limite (du moins, il faut l'espérer !).
% Pour déterminer $x_{\rm per}$, le physicien peut utiliser la méthode expérimentale
% en mesurant  par exemple $x$ à intervalles réguliers jusqu'à ce
% que les mesures se stabilisent. Ainsi, en
% notant $x_n$ le résultat de la $n$-ième mesure, il pourra
% considérer, dans les cas où les mesures se stabilisent à partir de la centième,
% que la valeur limite de $x$ est
% $$x_{\rm per}\simeq x_{100}\cdot$$
%
%
%
%\MAT{Mais est-ce qu'on est sûr que ça n'est pas une stabilisation
%provisoire ? Il aurait peut-être fallu attendre plus longtemps.}
%
%\pro C'est possible, mais le physicien connaît souvent un ordre de
%grandeur du temps à attendre. Si $x$ représente par exemple la
%température d'un moteur qui tourne, il sait que quelques minutes
%après le démarrage, la température se sera stabilisée et sera
%proche de la température en régime stationnaire.
%
%\sm
%
%Voyons maintenant une autre manière pour déterminer $x_{\rm per}$,
%la manière théorique qui consiste à  modéliser le phénomène. On
%note $X_n$ la valeur théorique
% de $x$ à l'instant $n$,  et on essaye d'obtenir des équations vérifiées par les $X_n$,
% par exemple une
%relation entre $X_{n+1}$ et $X_{n}$. Si on arrive ensuite à
%montrer par un raisonnement mathématique que la suite $(X_n)$
%admet une limite au sens mathématique, alors on peut considérer
%que
%$$x_{\rm per}\simeq\lim_{n\to+\infty}X_n\cdot$$
%
%
%\MAT{Je trouve ça un peu curieux de faire tendre l'instant $n$
%vers l'infini, ça n'a aucun sens du point de vue physique.}
%
%\pro C'est vrai, mais il ne faut pas oublier que la suite $(X_n)$
%n'est qu'un modèle idéalisé du phénomène physique.
%
%\MAT{Ce qui me gêne aussi, c'est que
% vous avez considéré que $x_{\rm per}$, qui représente physiquement
%la valeur de $x$ à un instant $n$ grand mais fixé, était égal à la
%la limite de $(X_n)$ quand $n$ tend vers l'infini !}
%
%\pro Oui, mais c'est naturel : quand une suite $(u_n)$ a une
%limite $\ell$ au sens mathématique, alors pour les <<~grandes~>>
%valeurs de $n$, le terme $u_n$ est généralement à peu près égal à
%$\ell$.
%
%\MAT{Ah oui, c'est un peu ce que je fais parfois pour deviner  la
%limite d'une suite. J'essaye d'abord de calculer son cinquantième
%ou son centième terme à la calculatrice.}
%
%\pro Vous avez raison, c'est cette même idée qui fait que le
%théoricien effectue l'approximation $\ds x_{\rm
%per}\simeq\lim_{n\to+\infty}X_n$.
%
%
%%
%%
%%C'est une bonne façon de voir les choses. On peut considérer que
%%faire tendre l'instant $n$ vers l'infini n'a de sens que du point
%%de vue théorique, et qu'en pratique, il faut se contenter de
%%prendre un instant $n$ grand mais fixé.
%%
%\sm
%
%La définition mathématique de la convergence est idéale,
%et elle n'est pas toujours adaptée à la réalité physique.
%Le physicien qui suit expérimentalement l'évolution
%de $p$ doit décider de sa valeur limite  à partir d'un nombre
%fini de mesures, par exemple les 1\,000 premières, alors
%que pour le mathématicien, la limite  de la suite $(P_n)$
%ne dépend absolument pas de ses $1\,000$ premiers termes !
%
%%parler de Maple ?
%%
%%%
%Commençons par étudier  la suite définie, pour $n\in\bbn$, par
%$$ u_n=\fr{30^n}{n\times(n-1)\times\cdots\times1}$$
%
%Pour tout $n$,  $\ds u_{n+1}={30\over n+1}\,u_n$ et $u_n\se0$, d'où
%$$\left\{
%\begin{array}{l}
%\text{si}\ \ {n+1}\ie30,\ \text{alors}\ u_{n+1}\se\,u_n \\
%\text{si}\ \ {n+1}\se30,\ \text{alors}\ u_{n+1}\ie\,u_n.
%\end{array}
%\right.
%$$
%La suite croît jusqu'à $u_{30}$, puis  décroît. D'autre part,
%$\ds  u_{n+1}\ie{1\over 2}\,u_n$ pour $n\se59$, ce qui permet d'aboutir
%après quelques calculs à
%$\ds\lim_{n\to+\infty}u_n=0$. Pour le mathématicien, $(u_n)_{n\in\bbn}$ tend vers 0.
%
%\sm
%
%Imaginons maintenant qu'un physicien effectue une suite de mesures,
% la $n^{\rm i\grave eme}$ mesure étant $u_n$.
%S'il se limitait aux 15 premières mesures, il constaterait que les résultats sont
%de plus en plus grands ($u_5\simeq 2.10^6,\,u_{10}\simeq2.10^8,\,
%u_{15}\simeq10^{10}$), et il pourrait
% penser que cela va continuer. Il obtiendrait alors une conclusion
%opposée à celle du mathématicien : la suite n'a pas de limite finie.
%
%\sm
%
%Les deux raisonnements correspondent à deux visions des choses différentes.
%Pour un mathématicien, la notion de convergence d'une suite
%ne dépend pas des $p$ premiers termes, même si
%$p$ est très grand. Alors que le physicien qui se livre à des observations
%ne peut s'appuyer que sur un nombre fini d'entre elles, et les premiers termes sont donc
%importants pour lui.
%%
%%\sm
%%
%%Ceci dit, on peut quand même utiliser des suites pour modéliser
%% certains phénomènes à temps discrets.
%%Tout ne se passe pas toujours aussi mal que dans l'exemple précédent qui avait été
%%<< choisi pour >>.
%%Le physicien peut également utiliser des suites dans d'autres circonstances que celles d'une
%%suite de mesures temporelles et sa conception de la limite peut alors rejoindre celle
%%du mathématicien. Cela peut se produire lorsqu'il
%% discrétise l'espace, c'est-à-dire lorsqu'il l'assimile
%% à un ensemble fini de points uniformément répartis (un maillage),
%% ce qui permet dans certains cas de simplifier
%%des calculs. En faisant tendre le nombre de points vers l'infini,
%% on espère que les résultats obtenus comme limites des résultats
%%sur l'espace discrétisé seront valables pour l'espace continu, if
%%you see what I mean.
%%
%%
%%
%%
%%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%\SUBSECTION{Quelle définition donner d'une suite divergeant vers
%l'infini ?}
%
%\pro À votre avis \mat, comment se comportent les termes de la
%suite $(\sqrt{n})_{n\in\bbn}$ quand $n$ tend vers l'infini ?
%
%\MAT{Les termes grandissent lentement mais sûrement~! Ils vont
%devenir infiniment grands.}
%
%\pro Intuitivement, c'est ça, et nous allons essayer maintenant
%d'exprimer cette idée de manière mathématiquement correcte. Dans
%le cadre de l'analyse traditionnelle que je vous enseigne, on ne
%peut pas définir un nombre <<~infiniment grand~>>. En revanche, on
%peut toujours comparer deux nombres réels, dire si l'un est plus
%grand que l'autre. Ainsi, plutôt que de dire que $\sqrt{n}$
%devient infiniment grand, on dira qu'il devient plus grand que
%$10^2$, que $10^3$ et plus généralement plus grand que n'importe
%quel réel $A$ strictement positif.
%
%\MAT{Donc, pour  $A_0>0$ fixé, on pourrait peut-être  traduire
%<<~$\sqrt{n}$ {\it devient} plus grand que $A_0$~>> par <<~il
%existe un indice $N$ à partir duquel tous les termes de la suite
%appartiennent à l'intervalle $]A_0,+\infty[$.}
%
%\pro  C'est ça. Et est-ce qu'un tel indice $N$
% existe ?
%
%\MAT{Il me semble que oui, car
%$$\sqrt{n}\se A_0\Longleftrightarrow  n\se A_0^2$$
% Donc on peut prendre $N=A_0^2$.}
%
%
%
%\pro Pas tout à fait, car $N$ doit être un nombre entier et
%$A_0^2$ n'a aucune raison de l'être. Il faut donc plutôt prendre
%un des entiers supérieurs à $A_0^2$... Mais comme $N$ existe et
%comme on a choisi $A_0$  quelconque dans $]0,+\infty[$, on a
%démontré la propriété $(P)$ : \textbf{\mg pour tout $A>0$, il
%existe $N\in\bbn$ tel que  $\sqrt{n}\in ]A,+\infty[$ pour tout
%$n\se N$.} Pour bien comprendre le sens de $(P)$, essayez
%d'imaginer
% des réels $A$ de plus en plus grands et des indices
% $N$ qui leur sont associés. Vous pourrez alors percevoir l'aspect dynamique de
%$(P)$, et comprendre pourquoi $(P)$ correspond bien à l'idée
%intuitive  que $\sqrt{n}$ devient indéfiniment grand à mesure que
%$n$ grandit. On peut
%
%\newpage
%
% représenter cette idée par un dessin.
%
%\DESSIN
%
%
%
%Maintenant, il est naturel de prendre $(P)$ comme modèle de
%définition d'une suite divergeant vers $+\infty$, et on définira
%la divergence vers $-\infty$ de manière analogue.
%
%\ENC{Définition} {Soit $(u_n)_{n\in\bbn}$ une suite réelle.
%\begin{itemize}
%\item[$i)$] On dit que
%\textbf{\mg$(u_n)_{n\in\bbn}$ diverge vers $+\infty$} lorsque,
%pour tout $A>0$, il existe un indice $N$ tel que, pour tout indice
%$n$ supérieur à $N$, on ait $u_n\in ]A,+\infty[$.
%
% On note alors
%$\ds\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty$.
%\item[$ii)$]
%On dit que \textbf{\mg$(u_n)_{n\in\bbn}$ diverge vers $-\infty$},
%et on note $\ds\lim_{n\to+\infty}u_n=-\infty$, lorsque pour tout
%$A>0$, il existe un indice $N$ tel que, pour tout indice $n$
%supérieur à $N$, on ait $u_n\in ]-\infty,-A[$.
%\end{itemize}}
%
%
%
%
%\SUBSECTION{Quelle différence y a-t-il  entre diverger et diverger
%vers l'infini ?}
%
%
%\MAT{Est-ce qu'il est possible qu'une suite diverge sans qu'elle
%diverge vers $+\infty$ ou $-\infty$ ?}
%
%\pro Oui, tout à fait, c'est le cas par exemple de la suite
%$\bigl((-1)^n\bigr)_{n\in\bbn}$. Elle est divergente, car si elle
%convergeait vers un certain réel $\ell$, alors la suite
%$\bigl((-1)^{2n}\bigr)_{n\in\bbn}$ convergerait aussi vers $\ell$.
%Comme $(-1)^{2n}=1$ pour tout $n$, cela montre que $\ell$ ne
%pourrait être égal qu'à 1 par unicité de la limite. Or
%$\bigl((-1)^n\bigr)_{n\in\bbn}$ ne converge pas vers 1 car il y a
%une infinité d'indices $n$ tels que $(-1)^n\notin[1-1/2,1+1/2]$,
%tous les indices impairs. D'où la contradiction.
%
%
%\sm
%
%De plus, $\bigl((-1)^n\bigr)_{n\in\bbn}$ ne diverge pas vers
%$+\infty$  car elle n'est pas supérieure
% à 2
%à partir d'un certain rang, et elle ne diverge pas non plus
% vers $-\infty$  car elle n'est pas inférieure à -2
%à partir d'un certain rang.
%
%\newpage
%
%\SUBSECTION{Une suite qui diverge vers $+\infty$ est-elle
%nécessairement croissante à partir d'un certain rang ?}
%
%
%\MAT{Telle que la question est posée, la réponse doit être non...}
%
%
%\pro  La réponse est bien négative comme vous l'aviez deviné. Pour
%trouver un contre-exemple, imaginez que vous dansiez sur cette
%chanson \bqas
%\textit{Trois pas en avant, un pas en arrière,}\\
%\textit{Trois pas en avant, un pas en arrière,}\\
%Etc.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
% \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\
% \eqas
%Même si vous dansiez jusqu'à la fin des temps, \mat, votre
%trajectoire ne deviendrait jamais uniquement dirigée vers l'avant,
%et pourtant le nombre de pas vers l'avant l'emporterait sur le
%nombre de pas vers l'arrière, et vous iriez infiniment loin vers
%l'avant. Vous et votre compagne pourriez tendre vers l'infini...
%calmez-vous \mat ! En termes plus mathématiques, cela revient à
%considérer une suite vérifiant
%$${\rm Pour\  tout\  } n\in\bbn\ \  u_{2n+1}-u_{2n}=3\ \ {\rm et}\ \ u_{2n+2}-u_{2n+1}=-1\cdot$$
%
%
%\DESSIN
%
%
%
%On peut montrer que $$\forall n\in\bbn\ \ \
%u_n=n+(-1)^{n+1}+u_0+1,$$ ce qui entraîne que $(u_n)$ diverge vers
%$+\infty$. Mais pourtant, $(u_n)$ n'est croissante à partir
%d'aucun rang puisque $u_{2n+2}<u_{2n+1}$ pour tout $n$.
%
%
%
%
%\SUBSECTION{Une suite strictement croissante et positive
%diverge-t-elle forcément vers $+\infty$~~?}
%
%
%\MAT{Puisque les termes de la suite sont de plus en plus grands,
%il n'y en aura pas de plus grand que les autres, donc la suite va
%diverger vers $+\infty$.}
%
%\pro Attention aux conclusions hatives ! Trop de jeunes mataïes
%ont péri à cause de ce piège. Considérez en effet la suite $(v_n)$
%introduite au début de cette leçon. Quel est son sens de
%variation~?
%
%\MAT{
%$v_{n+1}-v_n=\fr{n+1}{n+2}-\fr{n}{n+1}=\fr{n^2+2n+1-n^2-2n}{(n+2)(n+1)}=\fr{1}{(n+2)(n+1)}>0$
%
%Donc la suite est strictement croissante et à termes strictement
%positifs.}
%
%\pro Or quelle est sa limite~~?
%
%\MAT{ C'est 1...j'essaierai de retenir la leçon, ô Dark
%Mathemator. Néanmoins, je sens qu'un résultat général pourrait
%tout de même être établi.}
%
%\pro Vous pourrez en effet montrer à titre d'exercice que
%
%\ENC{ Toute suite strictement croissante et non majorée diverge}
%
%et vous verrez plus tard dans l'année que toute suite croissante
%majorée converge.
%
%
%
%
%
%\SECTION{PROPRI\'ET\'ES \'EL\'EMENTAIRES DES LIMITES}{Propriétés
%élémentaires des limites}
%
%\pro Vous avez vu l'an passé un certain nombre de propriétés sur
%les limites qui vont en fait s'avérer des outils indispensables
%pour résoudre les exercices, le retour à la définition s'avérant
%souvent fastidieux.
%
%
%\SUBSECTION{Comment démontrer les propriétés sur les limites des
%suites à partir des définitions des limites ?}
%
%\MAT{L'année dernière, on n'avait démontré aucune de ces
%propriétés.}
%
%\pro C'est parce que vous ne disposiez pas encore des définitions
%des limites. Mais, maintenant, nous pouvons pratiquement  toutes
%les démontrer :
%\begin{itemize}
%\item limite d'une somme, d'un produit ou d'un quotient de deux
%suites admettant des limites finies ou non, en dehors des cas où
%apparaît une des formes indéterminées $\,+\infty-\infty$,
%$\,\infty\times0$, $\,0/0$ ou $\,\infty/\infty$ ; \item théorème
%des gendarmes ; \item si $u_n\se v_n$ à partir d'un certain rang
%et si $(v_n)$ diverge vers $+\infty$, alors $(u_n)$ diverge vers
%$+\infty$ ; \item passage à la limite dans une inégalité ; \item
%toute suite croissante non majorée diverge vers $+\infty$ ; \item
%si $(u_n)$ converge vers $\ell$, alors $(\vert u_n\vert)$ converge
%vers $\vert \ell\vert$, etc.
%\end{itemize}
%
%\MAT{Et le fait que toute suite croissante et majorée est
%convergente ?}
%
%\pro Justement, on ne peut pas encore le démontrer, pas plus que
%le fait que toute suite suite décroissante et minorée est
%convergente. Car les preuves de ces deux propriétés sont très
%particulières, et vous ne les ferez qu'une fois votre Bac en
%poche.
%
%\sm
%
%Maintenant, pour que vous voyez les définitions des limites à
%l'\oe uvre, je vais vous exposer deux preuves en détails.
%
%\ENC{Propriété} {Si $(u_n)$ diverge vers $+\infty$, alors
%$(1/u_n)$ tend vers $0$.}
%
%
%Pour montrer que  $(1/u_n)$ tend vers 0, on applique la méthode
%vue dans la partie précédente. On fixe d'abord $\e$ en écrivant
%<<~Soit $\e>0$~>>, et on cherche un indice $N$ à partir duquel
%$1/u_n\in]-\e,\e[$. On écrit maintenant l'hypothèse
%
%Quelque soit $A>0$, il existe un rang $M$ tel que, pour tout $n\se
%M$, $u_n\in]A,+\infty[$
%
%
%
%On doit maintenant choisir avec quelle valeur de $A$ l'utiliser.
% Pour que
%$1/u_n$ appartienne à $]-\e,\e[$, il suffit que $u_n$ soit
%supérieur à $1/\e$. On décide donc d'utiliser l'hypothèse avec
%$A=1/\e$, ce qui est possible puisque $\e$ est fixé.
% On pose alors $N$ égal au $M$ correspondant à $A=1/\e$. Pour $n\se N$, on a donc $u_n\se1/\e$, d'où
%$ 1/u_n\ie\e$ et donc $1/u_n\in ]-\e,\e[$. Nous avons trouvé un
%$N$ convenable pour le $\e$ que nous nous étions fixé, et comme
%nous avions choisi $\e$ strictement positif quelconque, le
%résultat est démontré. Passons maintenant au deuxième exemple.
%
%\ENC{Théorème des gendarmes} {On suppose que $u_n\ie v_n\ie w_n$
%pour tout $n$, et que $(u_n)$ et $(w_n)$ convergent vers un même
%réel $\ell$. Alors $(v_n)$ converge aussi vers $\ell$.}
%
% Comme précédemment, on commence par <<~Soit $\e>0$~>>, et on
%cherche un indice $N$ à partir duquel $\ell-\e\ie v_n\ie \ell+\e$.
%Cette fois-ci, on écrit les hypothèses \bqas \text{Pour tout }
%\alpha>0\ \ \text{il existe un rang }  M_\alpha \text{ à partir
%duquel tous les termes de la suite vérifient }\ \
%\ell-\alpha\ie u_n\ie \ell+\alpha,\\
%\text{Pour tout } \beta>0\ \ \text{il existe un rang }  P_\beta
%\text{ à partir duquel tous les termes de la suite vérifient }\ \
%\ell-\beta\ie w_n\ie \ell+\beta \eqas
%
%et le problème est de savoir pour quelles valeurs de $\alpha$ et
%de $\beta$ nous allons utiliser ces hypothèses. Pour que $v_n$
%soit supérieur à $l-\e$, il suffit que $u_n$ soit supérieur à
%$\ell-\e$ puisque $v_n\se u_n$, donc il suffit que $n$ soit
%supérieur à $M_\e$. De même, pour que $v_n$ soit inférieur à
%$\ell+\e$, il suffit que $w_n$ soit inférieur à $\ell+\e$ puisque
%$v_n\ie w_n$, donc il suffit que $n$ soit supérieur à $P_\e$. On
%applique donc les hypothèses avec $\alpha=\e$ et $\beta=\e$, et on
%pose $N={\rm max}(M_\e,P_\e)$. Ainsi, si $n\se N$, alors $n\se
%M_\e$ et $n\se P_\e$, d'où $\ell-\e\ie v_n\ie \ell+\e$. Voilà !
%
%\MATA {Je commence à me demander si je ne ferais pas mieux d'aller
%jouer aux billes avec mon petit frère au lieu de vouloir devenir
%un Mataïe...}
%
%
%\SUBSECTION{Comment montrer qu'une suite converge vers 32 ?}
%
%\MATA{Qu'est-ce qui lui prend ?}
%
%\pro Je vois que vous trouvez cette question un peu curieuse. Il
%s'agit juste d'une manière de dire que l'on veut  montrer que la
%suite converge alors que l'\textit{on sait déjà quelle doit être
%sa limite}, par exemple 32. Il est effectivement fréquent que l'on
%ait \textit{a priori} une idée de la valeur de la limite soit
%parce qu'on l'a devinée,
% soit parce qu'un énoncé a donné cette valeur.
%
%\sm
%
%Commençons par une première  transformation  du problème. On
%préfère souvent avoir à montrer qu'une suite tend vers 0 plutôt
%que de montrer qu'elle tend vers 32. De plus, on préfère aussi
%travailler avec des nombres positifs parce qu'on voit mieux les
%choses et parce que les majorations sont plus faciles et moins
%dangereuses avec des nombres positifs. Pour toutes ces raisons, on
%utilise fréquemment que
%$$\lim_{n\to+\infty}u_n=32\Longleftrightarrow\lim_{n\to+\infty}\vert u_n-32\vert=0\cdot$$
%
%On est donc ramené à montrer que $\vert u_n-32\vert$ tend vers 0.
%Ensuite, il y a bien sûr plusieurs méthodes, mais une des plus
%courantes consiste à effectuer des majorations successives de
%$\vert u_n-32\vert$, et ceci jusqu'à obtenir un majorant $\al_n$
%dont on sait déjà qu'il tend vers 0,
%
%$$\vert u_n-32\vert\ie\cdots\ie\cdots\ie\al_n\cdot$$
%
%Puis on  conclut grâce à cette propriété suivante qui va nous
%permettre de résoudre de nombreux exercices :
%
%\ENC{Propriété} {Soit $(u_n)$ une suite réelle et $\ell\in\bbr$.
%On suppose qu'il existe une suite $(\al_n)$ qui converge vers 0 et
%telle que $\vert u_n-\ell\vert\ie\al_n$ à partir d'un certain
%rang. Alors $(u_n)$ converge vers $\ell$.}
%
%C'est en fait une conséquence directe du théorème des gendarmes,
%une fois que l'on a remarqué que $\vert u_n-\ell\vert\ie\al_n$
%équivaut à $l-\al_n\ie u_n\ie l+\al_n.$
%
%\sm
%
%Par exemple, pour $\theta\in\bbr$ fixé, on sait que
%$|\sin(n\theta)|\ie 1$, donc on a
%$${\rm Pour \ tout \ } n\in\bbn^*\ \ \ \left|\,\frac{\sin(n\theta)}{n}\,\right|\,\ie\frac{1}{n},$$
%or $\lin \fr{1}{n}=0$ donc, d'après la propriété précédente
%$\ds\lim_{n\to+\infty}\fr{\sin(n\theta)}{n}=0$.
%
% Mais il se fait
%tard \mat~: il est temps pour moi de me ressourcer en allant voir
%Lagaf à la télé.
%
%
%\MATA {Décidément, devenir un Mataïe n'est pas sans risque...}
%
%%\end{document}
%
%
%
%\sm
%
%%\`A vous maintenant \mat : par quoi allez-vous commencer si je
%%vous demande d'étudier la limite la suite récurrente définie par
%%$$u_0=0\ \ {\rm et}\ \ \forall n\in\bbn\ \ u_{n+1}=\sqrt{u_n+992}\cdot$$
%%
%%
%%\MAT{Par majorer $\vert u_n\vert$ comme vous venez de le faire.}
%%
%%Non, car ça voudrait dire que  vous pensez que la limite de
%%$(u_n)$ est 0. Mais si ce n'est pas le cas, il ne vous servira à
%%rien de majorer $\vert u_n\vert$. Il faut commencer par deviner
%%quelle peut-être la limite.
%%
%%\MAT{D'accord. Je sais que si $(u_n)$ tend vers $\ell$, alors
%%$\ell$ est positive car les $u_n$ le sont. Je sais aussi que
%%$(u_{n+1})$ tend vers $\ell$, et comme $u_{n+1}^2=u_n+992$, on
%%doit avoir $l^2=l+992$. C'est une équation du second degré... et
%%je trouve que sa seule solution positive est 32. Donc je pense que
%%$l=32$ !}
%%
%%Vous voyez que c'est important de savoir montrer qu'une suite
%%converge vers 32 ! Bon, que faîtes-vous ensuite ?
%%
%%\MAT{Il faudrait majorer $\vert u_n-32\vert$ par quelque chose qui
%%tend vers 0, mais le problème est que je sais seulement que $\vert
%%u_n-32\vert=\vert\sqrt{u_{n-1}+992}-32\vert.$}
%%
%%La quantité conjuguée \mat, la quantité conjuguée... Cela donne
%%
%%%\bqas
%%%\vert u_n-32\vert&=&\left|\,\frac{(\sqrt{u_{n-1}+992}-32)\,(\sqrt{u_{n-1}+992}+32)}
%%%{\sqrt{u_{n-1}+992}+32}\,\right|\\
%%%\vert u_n-32\vert&=&\left|\,\frac{(\sqrt{u_{n-1}+992})^2-32^2}
%%%{\sqrt{u_{n-1}+992}+32}\,\right|\\
%%%&=&\frac{\left|\,u_{n-1}+992-1024\,\right|}
%%%{\sqrt{u_{n-1}+992}+32}\\
%%%&\ie&\frac{1}{32}\ \left|\,u_{n-1}-32\,\right|,
%%%\eqas
%%
%%
%%$$\vert u_n-32\vert=\left|\,\frac{(\sqrt{u_{n-1}\!+\!992})^2-32^2}
%%{\sqrt{u_{n-1}\!+\!992}+32}\,\right|
%%=\frac{\left|\,u_{n-1}\!+\!992-1024\,\right|}
%%{\sqrt{u_{n-1}\!+\!992}+32}=\frac{\left|\,u_{n-1}-32\,\right|}
%%{\sqrt{u_{n-1}\!+\!992}+32}\cdot$$
%%
%%En minorant le dénominateur par 32, on en déduit
%%$$\vert u_n-32\vert\ie\frac{1}{32}\ \left|\,u_{n-1}-32\,\right|\,\cdot$$
%%On majore ensuite $\vert u_{n-1}-32\vert$ de la même manière, etc.
%%On obtient finalement
%%$$\forall n\in\bbn\ \ \vert u_n-32\vert\ie\frac{1}{32^n}\ \vert u_0-32\vert,$$
%%d'où l'on déduit que $(u_n)$ converge vers 32.
%%
%%
%%\SUBSECTION{Quels liens y a-t-il entre converger et être bornée ?}
%%
%%\MAT{Une suite $(u_n)$ est bornée lorsqu'elle est  à la fois
%%majorée et minorée, non ?}
%%
%%C'est ça. Cela revient à dire qu'il existe un segment $[a,b]$ qui
%%contient tous les $u_n$, ou encore que
%%$$\exists M\se0\ \ \forall n\in\bbn\ \ \vert u_n\vert\ie M\cdot$$
%%
%%Venons-en à la question. Vous savez que pour les suites monotones,
%%il y a équivalence entre converger et être bornée. Une suite
%%croissante  est convergente si et seulement si elle est majorée,
%%donc si et seulement si elle est bornée puisqu'elle est minorée
%%par son premier terme. Même chose pour les suites décroissantes.
%%Mais qu'en est-il pour une suite quelconque qui n'est pas
%%nécessairement monotone ?
%%
%%\MAT{Il me semble que si une suite  converge, alors les valeurs
%%prises par la suite vont <<~se concentrer autour de la limite~>>,
%%et donc la suite sera bornée.}
%%
%%
%%Très bien ! L'image que vous utilisez est très parlante, et nous
%%pouvons la traduire en preuve plus rigoureuse de la manière
%%suivante. Supposons que $(u_n)_{n\in\bbn}$ converge vers $\ell$.
%%Alors il existe un indice $N$ tel que
%%$$\forall n\se N\ \ \ l-1\ie u_n\ie l+1\cdot$$
%%D'où, en distinguant deux cas suivant que $n\ie N$ ou $n>N$,
%%$$\forall n\in\bbn\ \ \
%%{\rm min}\,(u_0,u_1,\cdots,u_N,l-1)\ie u_n\ie{\rm
%%max}\,(u_0,u_1,\cdots,u_N,l+1)\cdot$$
%%
%%Donc toute suite convergente est bornée.
%%
%%\MAT{Et la réciproque est vraie aussi, non ? Une  suite  bornée
%%n'est-elle pas nécessairement convergente ?}
%%
%%Ah non, la suite $((-1)^n)_{n\in\bbn}$ est  bornée mais
%%divergente !
%%
%%
%%\MAT{Mais pourtant, je croyais pouvoir prouver que toute suite
%%bornée est convergente ! En effet, si une suite diverge, alors sa
%%limite ne peut pas être finie, et  donc cette limite vaut
%%$+\infty$ ou $-\infty$. Et une suite qui a une limite infinie ne
%%peut pas être bornée. Donc par contraposée, si elle est bornée,
%%elle converge.}
%%
%%
%%Attention, ce raisonnement est faux car vous sous-entendez que
%%toute suite admet une limite finie ou infinie, ce qui est faux. Il
%%existe des suites divergentes qui ne divergent ni vers $+\infty$,
%%ni vers $-\infty$, par exemple la sempiternelle suite
%%$((-1)^n)_{n\in\bbn}$.
%%
%%\sm
%%
%%En résumé, si une suite converge, elle est bornée, mais il existe
%%des suites bornées qui ne convergent pas.
%%
%%
%%%\SUBSECTION{Comment faire intervenir les suites bornées dans les limites
%%%de sommes ou de produits ?}
%%%
%%%Il y a deux propriétés à retenir.
%%%
%%%\ENC{Propriété}
%%%{On suppose que $(u_n)$ est bornée et que $\ds\lim_{n\to+\infty}v_n=0$.
%%%Alors
%%%$\ds\lim_{n\to+\infty}u_n\,v_n=0$.}
%%%
%%%C'est une conséquence directe d'une version très utile du théorème des gendarmes :
%%%$$
%%%{\rm si}\
%%%\vert a_n-a\vert\ie b_n \ \text{pour tout}\ n\ {\rm et}\
%%%\lim_{n\to+\infty}b_n=0,\ {\rm alors}\ \lim_{n\to+\infty}a_n=a.
%%%$$
%%%Ici, puisque $(u_n)$ est bornée, il existe $M\se0$
%%%tel que $\vert u_n\vert\ie M$ pour tout $n$. Donc
%%%$\vert u_n\,v_n\vert\ie M\,\vert v_n\vert$ pour tout $n$. Comme $(v_n)$ tend vers 0,
%%%$(M\,\vert v_n\vert)$ tend vers 0, d'où le résultat.
%%%
%%%\sm
%%%
%%%Cette propriété permet par exemple de montrer rapidement que
%%%$\ds\lim_{n\to+\infty}{\cos(n\pi/3)\over n}=0$ puisque la suite
%%%$(\cos(n\pi/3))$ est bornée.
%%%
%%%\ENC{Propriété}
%%%{
%%%On suppose que $(u_n)$ est bornée et que $\ds\lim_{n\to+\infty}v_n=+\infty$.
%%%Alors $\ds\lim_{n\to+\infty}(u_n+v_n)=+\infty$.
%%%}
%%%
%%% La preuve commence
%%%comme d'habitude par << Soit $A>0$ >>, et on cherche un indice $N$ à partir
%%%duquel $u_n+v_n\se A$. Puisque $(u_n)$ est minorée,
%%%il existe $a\in\bbr$ tel que $u_n\se a$ pour tout $n$. D'autre part, comme
%%%$\ds\lim_{n\to+\infty}v_n=+\infty$, on a :
%%%$$\forall B>0\ \ \exists P_B\in\bbn\ \ \forall n\se P_B\ \ \ u_n\se B\cdot$$
%%%Comme d'habitude encore, nous devons décider pour quel  $B$ appliquer cette
%%%propriété. On choisit un $B$ supérieur à $A-a$ et strictement positif, et on
%%%pose $N=P_B$. Alors :
%%%$$\forall n\se N\ \ \ u_n+v_n\se a+A-a=A,$$
%%%d'où le résultat.
%%%
%%%\sm
%%%
%%%Cette propriété permet par exemple de montrer rapidement que
%%%$\ds\lim_{n\to+\infty}(-1)^n+n=+\infty$.
%%%
%%%
%%
%%
%%\SUBSECTION{Comment minorer $u_n$ sachant que $(u_n)$ admet une
%%limite strictement positive ?}
%%
%%\MAT{Si la suite $(u_n)$ est décroissante, on peut minorer $u_n$
%%par la limite $\ell$ quel que soit $n$.}
%%
%%D'accord, mais si la suite n'est pas décroissante ?
%%
%%\MAT{On n'aura pas toujours $u_n\se l$, mais puisque toute suite
%%convergente est bornée, il y a quand même  une constante $m$ telle
%%que $u_n\se m$ pour tout $n$.}
%%
%%Toujours d'accord. Et est-ce qu'on peut minorer $u_n$ par une
%%constante strictement positive ?
%%
%%\MAT{Pas nécessairement, car une suite qui a une limite
%%strictement positive peut très bien avoir des premiers termes
%%négatifs.}
%%
%%C'est exact, donc il faut se contenter d'une minoration à partir
%%d'un certain rang.
%%
%%\ENC{Propriété} {On suppose que la suite $(u_n)$ admet une limite
%%$\ell$ strictement positive, et on considère un réel $m$
%%strictement inférieur à $\ell$. Alors $u_n\se m$ à partir d'un
%%certain rang.}
%%
%%
%%
%%La preuve est très simple, il suffit de prendre $\e=l-m$ dans la
%%définition de la convergence de $(u_n)$ vers $\ell$, ce qui est
%%possible puisque $l-m>0$.
%%
%%\sm
%%
%%En pratique, vous aurez plutôt intérêt à utiliser cette propriété
%%avec $m>0$, ou éventuellement avec $m=0$ si vous voulez juste
%%montrer que les termes de la suite sont strictement positifs à
%%partir d'un certain rang.
%%
%%\sm
%%
%%Cela permet par exemple de montrer que, si $(u_n)$ tend vers 3,
%%alors $(u_n^n)$ diverge vers $+\infty$. En effet, d'après cette
%%propriété, si $(u_n)$ tend vers 3, alors on peut minorer $u_n$ par
%%2 à partir d'un certain rang $N$ ; d'où $u_n^n\se2^n$ pour $n\se
%%N$, et on en déduit le résultat puisque
%%$\ds\lim_{n\to+\infty}2^n=+\infty$.



\end{document}
