\chapterimage{tournesol}

\chaptertext{ }

\chapter{Équations différentielles}

\section{Préambule}



Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est
une fonction dérivable sur un intervalle de $\bbr$. Elle fait
intervenir la fonction-inconnue notée $y$, ses dérivées
successives notées $y'$, $y''$, $\cdots$ et des fonctions connues.

Par exemple, considérons l'équation différentielle $(E) :
y''-2y'+y=x^2$

\begin{enumerate}

\item Montrez que la fonction $f$ définie sur $\bbr$ par
$f(x)=x^2+4x+6$ est une solution de $(E)$.

\item Montrez que $f$ est la seule fonction polynômiale du second
degré solution de $(E)$.

\item Montrez que la fonction $g$ définie sur $\bbr$ par
$g(x)=(2x-5)e^x+x^2+4x+6$ est une autre solution de $(E)$.

\item Montrez que la fonction $h$ définie sur $\bbr$ par
$h(x)=(32x-80)e^x+x^2+4x+6$ est aussi solution de $(E)$.

\end{enumerate}



\section{Résolution de
l'équation $\mathbf{y'=ay}$}

Il s'agit donc ici de déterminer $toutes$ les fonctions $f$
dérivables sur $I$ telles que, pour tout $x$ de $I$
$$f'(x)=af(x)$$

\begin{itemize}
\item Supposons qu'il existe une solution $y$ et posons
$z(x)=e^{-ax}y(x)$. Calculez $z'(x)$. Qu'en déduisez-vous sur
$z$~? sur $y$~?.
\item La démonstration précédente suppose qu'il existe une
solution au problème. Est-on sûr qu'une telle solution existe
(dans le cas contraire, nous serions bien embêtés car notre
démonstration ne vaudrait plus rien)~?

Pouvez-vous trouver une solution particulière au problème~? \end{itemize}





  \begin{theoreme}[solutions de $\mathbf{y'=ay}$]
    Les fonctions solutions de l'équation différentielle $y'=ay$ (avec $a$ un réel donné) sont les fonctions $$x\mapsto \la
e^{ax}$$ où $\la$ est une constante arbitraire.
    \end{theoreme}
  



Vous aurez donc remarqué qu'il existe une infinité de fonctions
vérifiant cette équation différentielle si on ne donne pas d'autre
précision.

%\pagebrea
\section{Résolution de l'équation $\mathbf{y'=ay+b}$}

Lorsqu'un élève de T\textsuperscript{ale}S de masse $m$ est lâché
en chute libre, sans vitesse initiale, d'un avion bimoteur de
fabrication malgache piloté par une ancienne nageuse
est-allemande, sa vitesse $t\mapsto v(t)$ est solution de
l'équation différentielle $y'+\fr{k}{m}y=g$ où $k>0$ est le
coefficient de freinage et $g$ l'accélération de la pesanteur.

Déterminez  tout d'abord le réel $c$ tel que $v$ vérifie pour tout
$t\se0$ $v'(t)=-\fr{k}{m}(v(t)+c)$

On pose alors $f(t)=v(t)+c$. Montrez que $f$ vérifie une équation
différentielle du type $y'=ay$.
Déduisez-en $f$ puis $v$.
Interprétez physiquement le nombre $V=\fr{mg}{k}$

\smallskip

\textsl{Plus généralement}, considérons l'équation différentielle
$(E)~:$ $y'=ay+b$.

Montrez que la fonction $g~:x\mapsto -b/a$ est solution de $(E)$.

Alors  on a bien $g'(x)=ag(x)+b$ pour tout $x$.

Or une fonction $f$ est solution de $(E)$ si et seulement si
$f'(x)=af(x)+b$. Déduisez-en que $f$ est solution de $(E)$ si et
seulement si $f-g$ est solution d'une équation différentielle
simple.

trouvez alors la forme générale des solutions de $(E)$.

%\pagebreak



  \begin{theoreme}[résolution de $\mathbf{y'=ay+b}$]
    On considère l'équation différentielle $y'=ay+b$ avec $b\in\bbr$ et $a\in\bbr^*$, et l'équation sans second membre associée
$y'=ay$. Alors 
\begin{itemize} 
\item la fonction  $g~: x\mapsto -b/a$ est une  solution particulière de
  $(E)$ 
\item l'ensemble des solutions de $(E)$
s'obtient en ajoutant  à $g$ une solution quelconque  de l'équation sans
second membre. 
\end{itemize} 
Les solutions de $(E)$ sont donc les fonctions $x\mapsto \la e^{ax}-b/a$
    \end{theoreme}
  



\modeexercice % entre en mode exercice
\section{EXERCICES}


\begin{listeexercices}
  
  
  
  \begin{exercice}
     \begin{enumerate}
 \item Résolvez l'équation $(E_1) :
3y'+2y=0$ et tracez plusieurs solutions sur l'écran de votre
calculette.

\item  Résolvez cette même équation sachant maintenant que
$y(0)=32$.
\item Donnez également une solution (non identiquement nulle...) pour chacune des équations différentielles suivantes :

$$ (E_2)~:~y'=32y\qquad (E_3)~:~y'=-32y$$

$$ (E_4)~:~y''=-y\qquad
(E_5)~:~y'=32\qquad (E_6)~:~y''=32$$


\end{enumerate} 
  \end{exercice}
  

  \begin{exercice}[Vrai ou faux?]
    Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\bbr$ telle que
$4f'-3f=0$ et $f(0)=1$.

\begin{enumerate}
\item La courbe représentative de $f$ passe par le point $A$ de
coordonnées $(1,3/4)$.
\item La courbe représentative de $f$ a, au point d'abscisse 0,
une tangente de coefficient directeur 1.

\item La fonction $f$ est croissante sur $\bbr$.

\item La fonction $f$ est solution de l'équation différentielle
$16y''-9y=0$.

\end{enumerate}
  \end{exercice}







  \begin{exercice}
     Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ vérifiant $f'(x)+\ab{f(x)}=0$ et $f(1)=1$ en supposant que $1\in I$.

 \begin{enumerate}
 \item Montrez que $f$ est de signe constant sur au moins un
intervalle $J$ centré en 1.

\item Trouvez une fonction répondant au problème posé  sur $J$.

\item Déduisez-en l'unique fonction répondant au problème posé  si
$I=\bbr$.

\end{enumerate}

  \end{exercice}





\subsection{\'Equations se ramenant à $\mathbf{y'=ay+b}$}


\begin{exercice}
  $(E_1)$~: $y'-2y=1-32x$. Montrez qu'il existe une fonction affine solution de cette équation. Déduisez-en les solutions de
$(E_1)$.

\end{exercice}



\begin{exercice}
  $(E_2)$~: $y'=y(5-y)$. On cherche des solutions strictement positives solutions de cette équation différentielle. Montrez que la
fonction $z=1/y$ est solution d'une équation différentielle simple. Déduisez-en les solutions strictement positives de $(E_2)$.

\end{exercice}





\begin{exercice}
  $(E_3)$~: $y"+4y'+3y=0$ est une équation différentielle du second ordre. On cherche les fonctions solutions de cette équation
vérifiant les conditions initiales $y(0)=3$ et $y'(0)=-5$.

\begin{enumerate}
\item On pose, pour tout réel $x$, $z(x)=e^xy(x)$.
\begin{enumerate}
\item Calculez $z(0)$ et $z'(0)$.
\item Montrez que $z$ admet sur $\bbr$ une dérivée seconde et que,
pour tout réel $x$, $z"(x)=-2z'(x)$.
\item En intégrant l'égalité précédente entre 0 et $t$, montrez
que $z$ est solution sur $\bbr$ de l'équation différentielle
$f'=4-2f$.
\item Exprimez alors $z(x)$ en fonction de $x$.
\end{enumerate}
\item Montrez qu'il existe une et une seule fonction $y$ vérifiant
les hypothèses de départ et exprimez $y(x)$ en fonction de $x$.
\end{enumerate}

\end{exercice}




\subsection{Applications diverses}


\begin{exercice}[Style Bac avec ROC]
  Dans une pièce à température constante de $20~ \textsuperscript{o}$ C, à l'instant initial noté $0$ la température $\theta(0)$ d'un
liquide est égale à $70~ \textsuperscript{o}$ C.

\noindent Cinq minutes plus tard, elle est de $60~ \textsuperscript{o}$ C.

\noindent On admet que la température $\theta$ du liquide est une fonction dérivable du temps $t$, exprimé en minutes, et que
$\theta'(t)$ est proportionnel à la différence  entre la température $\theta(t)$ et celle de la pièce. On notera $a$ le coefficient de
proportionnalité, $a \in \R$.

\begin{enumerate} \item \textbf{Démonstration de cours.}

Soit (E) l'équation différentielle $z' = az$.

\textbf{Prérequis :} la fonction $x \longmapsto \text{e}^{ax}$  est solution de l'équation (E).

\textbf{Démontrer} que toute solution de (E) est de la forme $x \longmapsto  C\text{e}^{ax}$, où $C$ est une constante réelle.

\item Résoudre l'équation différentielle $y' = ay - 20a$.

\item Quelle sera la température du liquide 30 minutes après l'instant
initial ?

\end{enumerate}

\end{exercice}






\begin{exercice}[Encore un ROC]
  Soit E$_{1}$ l'ensemble des fonctions solutions de l'équation différentielle $y' = y$.

\noindent Soit E$_{2}$ l'ensemble des fonctions solutions de l'équation différentielle $y" = y$.

\noindent \textsl{Le but de l'exercice est de démontrer qu'il existe une unique fonction} $f$ \textsl{qui appartient à} E$_{2}$,
\textsl{et qui vérifie} $f(0) = 1$ \textsl{et} $f'(0) = 0$.

\begin{enumerate} \item Vérifier que les fonctions définies sur $\bbr$ par
$x \longmapsto \text{e}^{x}$ et $x \longmapsto \text{e}^{-x}$ sont des éléments de E$_{2}$.

\item Soit $f$ une fonction dérivable sur $\bbr$, on pose $u = f + f'$.

\begin{enumerate} \item Démontrer que $f$ appartient à E$_{2}$ si et seulement si $u$ appartient à
E$_{1}$.

\item \textbf{Démonstration de cours.}

\textbf{Prérequis :} la fonction $x \longmapsto \text{e}^{x}$ est solution de E$_{1}$.

\textbf{Démontrer} l'unicité de la fonction $u$ élément de E$_{1}$ qui vérifie $u(0) = 1$.

\end{enumerate}

\item Soit $f$ un élément de E$_{2}$. Ou pose,  pour tout réel $x,~ g(x) =
f(x)\text{e}^x$.

\begin{enumerate} \item Démontrer que si $f$ vérifie $f(0) = 1$ et
$f'(0) = 0$, alors $g'(x) = \text{e}^{2x}$.

\item Démontrer qu'il existe une seule fonction $f$ répondant au problème
posé et déterminer son expression.

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{exercice}













\begin{exercice}[Circuit RL]
  $E$, une bobine d'inductance $L$ et une résistance $R$.
L'intensité du courant électrique $i$, exprimée en ampères, est
fonction du temps $t$, exprimé en secondes et est solution de
l'équation différentielle
$$(D)~:~L\,i'(t)+R\,i(t)=E$$
$L$ est exprimée en henrys, $R$ en ohms et $E$ en volts. On donne
$L=0,2H$, $R=100\Omega$, $E=10V$.

\sm

\'Ecrivez et résolvez l'équation différentielle $(E)$ en sachant
qu'à l'instant $t=0$ l'intensité du courant est nulle. Quelle est
la limite de $i(t)$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$~?

\end{exercice}






\begin{exercice}[SSSSSSShhhhhhh........BOUM]
  Les élèves de TS 6 préparent l'invasion du Château de Rezé. Un commando parachutiste est formé et dirigée par une élève de la classe.
Afin d'optimiser le saut, ils ont modélisé le saut de la manière suivante :  un élève  de masse $m$ est lâché (comme d'habitude) en chute
libre, sans vitesse initiale ( on négligera la vitesse due au coup de pied de lancement) d'un avion bimoteur de fabrication malgache
piloté par une ancienne nageuse est-allemande. Il  est soumis \`a la force de la pesanteur $m\ve{g}$ et \`a une force de frottement
proportionnelle \`a la vitesse. On note $z(t)$ l'altitude du parachutiste en fonction du temps.

\sm

 On utilisera les valeurs num\'eriques suivantes:
$g=10~\mathrm{ms}^{-2}$, $m=80~\mathrm{kg}$ et $k=14~\mathrm{kgs}^{-1}$.
\begin{enumerate}
\item En appliquant la Relation Fondamentale de la Dynamique\footnote{$m\ve{\dot{v}}=\Sigma\ve{\text{Forces}}$},
déterminez l'\'equation diff\'erentielle vérifiée par $z(t)$

\item D\'eterminez la vitesse limite th\'eorique du
  parachutiste. Sachant que le parachutiste quitte l'avion \`a vitesse
  nulle, d\'eterminez le temps mis pour atteindre $90\%$ de cette
  vitesse limite ainsi que la distance parcourue pendant ce temps. M\^eme question avec
  $99\%$ de la vitesse limite.

\item Lorsque le parachutiste ouvre son parachute, le coefficient de
  frottement est multipli\'e par $20$. Il doit arriver au sol avec une
  vitesse inf\'erieure \`a $6~\mathrm{ms}^{-1}$. En supposant qu'il chute
\`a
  la vitesse limite au moment de l'ouverture du parachute,
  d\'eterminez l'altitude maximale d'ouverture du parachute (on considèrera que le
  parachute met $2$ secondes \`a se d\'eployer et que pendant ce laps de temps, le parachutiste conserve la vitesse limite).
\end{enumerate}



\end{exercice}







\begin{exercice}[Errare uranium est]
  On rappelle  la loi de désintégration des noyaux radioactifs
$$N'(t)=-\la N(t)$$
où $N(t)$ est le nombre de noyaux à l'instant $t$. On note
$\tau=1/\la$ le temps caractéristique. \begin{enumerate}
\item Exprimez en fonction de $\tau$ la demi-vie $t_{0,5}$, temps
au bout duquel $N(t)$ a diminué de moitié.
\item Pour remédier aux problème du recyclage des déchets
nucléaires, certains pays ont eu la lumineuse idée de fabriquer
des obus à l'uranium appauvri et de les faire exploser  sur des
populations éloignées : on se débarrasse ainsi d'uranium peu
rentable, on fait exploser les chars ennemis, sous l'effet de la
chaleur de l'explosion l'uranium et ses dérivés se transforment en
micro-poussières insolubles facilement assimilables par les
poumons ennemis et amis. Il faut environ 4,5 milliards d'années
pour que la moitié de l'uranium 238 (principal composant de l'UA)
disparaisse. Quelle est la constante radioactive de $^{238}U$~?

\item Le carbone 14 est renouvelé constamment chez les êtres
vivants. À
 leur mort, il se désintègre avec une demi-vie de 5730
ans. Un archéologue martien découvre un  fragment de pompier
ukrainien contenant $71\%$ de sa quantité initiale de $C_{14}$. En
quelle année l'archéologue a-t-il fait sa découverte~? (On
rappelle que la centrale de Tchernobyl a explosé en avril 1986).


\end{enumerate}




\end{exercice}











\begin{exercice}[Modèle de Verhulst]
  Notre ami belge a modélisé vers 1840 la croissance d'une
population dans un milieu clos (bactéries, lapins sur une île
déserte, profs dans l'\'Education Nationale etc.). La croissance
est bien exponentielle au départ comme l'avait suggéré Malthus,
mais une trop forte concentration crée certains problèmes : rareté
de la nourriture, promiscuité, consanguinité, alcoolisme, perte
des valeurs occidentales etc.

On suppose qu'une population ne peut dépasser une valeur maximum
et on note $f(t)$ la fraction de ce maximum à l'instant $t$. On
peut alors montrer que $f$ est solution de l'équation
différentielle $$(E)\ \  y'=\la y(1-y)$$

\begin{enumerate}
\item Résolvez $(E)$ en introduisant $z=1/y$.
\item Sachant que $\la=0,1$ et que $f(0)=0,01$, exprimez $f(t)$ en
fonction de $t$ et représentez graphiquement la fonction $f$. Vous
obtiendrez une <<~courbe logistique~>>, que l'on retrouve dans la
description de nombreux phénomènes plus où moins naturels. \end{enumerate}
\sm

Un peu de culture~: l'étude des suites logistiques du type
$u_{n+1}=\la x_n(1-x_n)$ (voir aussi l'autre exercice les
concernant page~\pageref{chaos}) montre que si $\la\ie 1$, la
population s'éteint, si $1<\la\ie 3$, la population se stabilise
autour de $1-1/\la$, entre 3 et une valeur proche de 3,57 on
observe une périodicité des valeurs de la population avec un
doublement de la période pour des valeurs de $\la$ de plus en plus
rapprochées; au delà de cette valeur limite, l'évolution de la
population devient totalement imprévisible, car un changement
infime de la valeur de $\la$ modifie complètement les valeurs de
la suite. Tout ceci a été mis en évidence à partir de 1972. On
pourrait en dire beaucoup plus, mais...

\end{exercice}







\begin{exercice}[Modèle de Gomperz]
  Pour décrire l'évolution d'une population en extinction (élèves choisissant la spécialité mathématique, élèves offrant des chocolats à
leur GP, etc.), l'illustre Gomperz a proposé en 1925 le modèle suivant.

\sm

Si $g(t)$ est le nombre d'individus en vie à l'instant $t$, alors $g$ vérifie l'équation différentielle $(G)$ :
$$y'(t)=-k\,y(t)\Big(h-\ln(y(t)\Big)$$
où $k$ et $h$ sont des constantes positives liées à la population étudiée. Le nombre $t$ représente le temps et sera positif ou nul dans
tout ce qui suit. Enfin $g'$ représente la vitesse de <<~croissance~>> (...!) de la population à l'instant $t$.

\sm

On pose $z=\ln(y)$. Montrez que $z$ est solution d'une équation différentielle $(E_2)$ linéaire à coefficients constants puis résolvez
cette équation. Déduisez-en $y(t)$.


\end{exercice}


\begin{exercice}[Vitesse angulaire d'un moteur à aimant permanent]
Qui est qui~? 

\begin{itemize}
\item $t\mapsto u(t)$ représente la tension d'alimentation du moteur
\item $t\mapsto i(t)$ représente l'intensité du courant qui traverse le moteur
\item $t\mapsto \g(t)$ représente la vitesse angulaire du moteur
\item Ces trois fonctions sont continues sur $\bbr^+$, de plus $\g$ est dérivable sur $\bbr^+$
\item La résistance $R=2\Omega$
\item La charge entraînée par le moteur présente un moment d'inertie $J=10^{-3}\,kg.m^2$
\item Les frottements et les pertes magnétiques se traduisent par un couple proportionnel à la vitesse angulaire. Le coefficient de
proportionnalité est $f=4\cdot 10^{-5}n.m.rad^{-1}.s$
\item La constante de couple est $k=4\cdot10^{-2}V.rad^{-1}.s$
\end{itemize}

L'application des lois sur les moteurs montre que sur $\bbr^+$, on a les relations $$\bsyc u(t)&=&k\g(t)+Ri(t)\\
ki(t)&=&J\g'(t)+f\g(t)\\ \g(0)&=&0\esyc$$ 

\begin{enumerate}

\item Montrez que la vitesse angulaire vérifie le système $$\bsys \g'(t)+\pa{\fr{Rf+k^2}{JR}}\g(t)=\fr{k}{JR}u(t)\\\g(0)=0\esys$$

Déduisez-en un nouveau système $(S)$ vérifié par $\g$ en utilisant les données numériques.

\item On alimente à présent le moteur avec une tension constante $u(t)=5$ pour $t\in[0,+\infty[$. Résolvez alors le système $(S)$.

\item On appelle temps de réponse à $5\%$ le nombre $t_{r_1}$ défini par $$\g(t_{r_1})=\fr{95}{100}\lim_{t\to+\infty}\g(t)$$
Déterminez une valeur numérique de $t_{r_1}$ à $10^{-2}$ près.

\end{enumerate}

\end{exercice}



\subsection{Bac}


\begin{exercice}


\noindent \textbf{Partie A}

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \fr{3\text{e}^{\frac{x}{4}}}{2+ \text{e}^{\frac{x}{4}}}.\]

\begin{enumerate}\item[a.] Démontrer que $f(x) = \fr{3}{1 + 2\text{e}^{-\frac{x}{4}}}$.

\item[b.] Étudier les limites de la fonction $f$ en $+ \infty$ et en $- \infty$.

\item[c .] Étudier les variations de la fonction $f$.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{Partie B}

\begin{enumerate}\item On a étudié en laboratoire l'évolution d'une population de petits rongeurs. La taille de la population, au temps $t$, est notée $g(t)$. On définit ainsi une fonction $g$ de l'intervalle $[0~;~ + \infty[$ dans $\R$. La variable réelle $t$ désigne le temps, exprimé en années. L'unité choisie pour $g(t)$ est la centaine d'individus. Le modèle utilisé pour décrire cette évolution consiste à prendre pour $g$ une solution, sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$, de l'équation différentielle 

\[(\text{E}_{1}) y' = \fr{y}{4}.\]

\begin{enumerate}\item Résoudre l'équation différentielle (E$_{1}$).

\item Déterminer l'expression de $g(t)$ lorsque, à la date $t = 0$, la population comprend 100 rongeurs, c'est-à-dire $g(0) =1$.

\item Après combien d'années la population dépassera-t-elle 300 rongeurs pour la première fois ?

\end{enumerate}

\item En réalité, dans un secteur observé d'une région donnée, un prédateur empêche une telle croissance en tuant une certaine quantité de rongeurs. On note $u(t)$ le nombre des rongeurs vivants au temps $t$ (exprimé en années) dans cette région, et on admet que la fonction $u$, ainsi définie, satisfait aux conditions :

\[(\text{E}_{2}) \left\{\begin{array}{l c l}
 u'(t) &=& \fr{u(t)}{4} - \fr{[u(t)]^2}{12}~ \forall t \geqslant 0\\
u(0)& =&1.\\
 \end{array}\right.\]
 
 où $u'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $u$.
 
\begin{enumerate}\item On suppose que, pour tout réel positif $t$, on a $u(t) > 0$. On considère, sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$, la fonction $h$ définie par $h = \fr{1}{u}$. Démontrer que la fonction $u$ satisfait aux conditions (E$_{2}$) si et seulement si la fonction $h$ satisfait aux conditions

\[(\text{E}_{3}) \left\{\begin{array}{l c l}
 h'(t) &=&	 - \fr{1}{4}h(t)  + \fr{1}{12}~\forall t \geqslant 0 \\
h(0)& =&1.\\
 \end{array}\right.\] 
 
où $h'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $h$.

\item Donner les solutions de l'équation différentielle $y' = - \fr{1}{4}y	+ \fr{1}{12}$ et en déduire l'expression de la fonction $h$, puis celle de la fonction $u$.

\item Dans ce modèle, comment se comporte la taille de la population étudiée lorsque $t$
tend vers $+ \infty$ ?

\end{enumerate}

\end{enumerate}



\end{exercice}














\begin{exercice}
  
Dans un plan muni d'un rep\`ere orthononnal \oij, on d\'esigne par $\mathcal{C}$ la courbe repr\'esentative d'une fonction $f$ d\'efinie et d\'erivable sur un intervalle I  de $\R,~f$ et $f'$ ne s'annulant pas sur l'intervalle I.\\
On note $M$ un point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $x$ et d'ordonn\'ee $y=f(x)$.\\
On d\'esigne par $\mathcal{T}$ la tangente \`a la courbe $\mathcal{C}$ au point $M$.\\
On rappelle qu'une \'equation de $\mathcal{T}$ est de la forme : $Y = f'(x)[X - x]+ f(x)$.

\medskip

\noindent \textbf{I. Question pr\'eliminaire}\\
\begin{enumerate}
\item  Montrer que $\mathcal{T}$ coupe l'axe des abscisses en un point $H$ dont l'abscisse $X_{T}$ v\'erifie :
\[X_{T} = x  - \dfrac{f(x)}{f'(x)}.\]

\item  Montrer que $\mathcal{T}$ coupe l'axe des ordonn\'ees en un point $K$ dont l'ordonn\'ee $Y_{T}$ v\'erifie :
\[Y_{T} = f(x) - xf'(x).\]
\end{enumerate}

\medskip

\noindent \textbf{II.}  $k$ d\'esigne un r\'eel fix\'e non nul. On cherche \`a d\'eterminer les fonctions $f$ pour lesquelles la diff\'erence $x - X_{T}$ est constante, et \'egale \`a $k$, pour tout nombre r\'eel $x$. (Propri\'et\'e 1)
\begin{enumerate}
\item  D\'emontrer que $f$ v\'erifie la propri\'et\'e 1 si et seulement si $f$ v\'erifie l'\'equation diff\'erentielle :
\[y' = \dfrac{1}{k}y\]

\item  En d\'eduire la famille des fonctions v\'erifiant la propri\'et\'e 1 et d\'eterminer pour $k = \dfrac{1}{2}$ la fonction $f$ de cette famille qui v\'erifie de plus la condition : $f(0)= 1$.
\end{enumerate}

\medskip

\noindent \textbf{III.} $k$ d\'esigne un r\'eel fix\'e non nul. On cherche \`a d\'eterminer les fonctions $f$ pour lesquelles la diff\'erence $y - Y_{T}$ est constante et \'egale \`a $k$, pour tout nombre r\'eel $x$ appartenant \`a l'intervalle
	I $ =]0~;~+\infty[$.  (Propri\'et\'e 2)
\begin{enumerate}
\item  D\'emontrer que $f$ v\'erifie la condition pos\'ee si et seulement si $f$  v\'erifie l'\'equation diff\'erentielle :
\[ y' = \dfrac{k}{x}.\]

\item  En d\'eduire la famille des fonctions v\'erifiant la propri\'et\'e 2 et d\'eterminer pour $k = \dfrac{1}{2}$ la fonction $f$ de cette famille qui v\'erifie la condition : $f(1)=0$.
\end{enumerate}

\end{exercice}













\begin{exercice}
  

\noindent Dans tout l'exercice, $\lambda$ d\'esigne un nombre r\'eel de l'intervalle $]0~;~1]$.

\begin{enumerate}
\item On se propose d'\'etudier les fonctions d\'erivables sur $\left]-\infty~;~\dfrac{1}{2}\right[$ v\'erifiant l'\'equation diff\'erentielle (E$_{\lambda}$) : $y' = y^2 + \lambda y$ et la condition $y(0) = 1$.\\
On suppose qu'il existe une solution $y_{0}$ de (E$_{\lambda}$) strictement positive sur $\left]-\infty~;~\dfrac{1}{2}\right[$ et on pose sur $\left]-\infty~;~\dfrac{1}{2}\right[$ : $z=\dfrac{1}{y_{0}}$\\
\' Ecrire une \'equation diff\'erentielle simple satisfaite par la fonction $z$.

\item \textbf{Question de cours}\\
\textsc{Pr\'e-requis}\\
Les solutions de l'\'equation diff\'erentielle $y' = -\lambda y$ sont les fonctions $x\mapsto C\mathrm{e}^{-\lambda x}$ o\`u $C$ est une constante r\'eelle.
\begin{enumerate}
\item D\'emontrer l'existence et l'unicit\'e de la solution $z$ de l'\'equation diff\'erentielle (E'$_{\lambda}$) : $z'=-(\lambda z+ 1)$ telle que $z(0) = 1$.

\item Donner l'expression de cette fonction que l'on notera $z_{0}$.
\end{enumerate}
\vspace{1cm}
\emph{On veut maintenant montrer que la fonction $z_{0}$ ne s'annule pas sur l'intervalle $\left]-\infty~;~\dfrac{1}{2}\right[$.}

\item 
\begin{enumerate}
\item D\'emontrer que $\ln (1 +\lambda) >\dfrac{\lambda}{\lambda +1}$.\\
\emph{On pourra \'etudier sur $]0~;~1]$ la fonction f d\'efinie par f$(x) =\ln (1 +x) -\dfrac{x}{x+1}$.}

\item En d\'eduire que $\dfrac{1}{\lambda}\ln(1+\lambda)>\dfrac{1}{2}$.
\end{enumerate}

\item En d\'eduire que la fonction $z_{0}$ ne s'annule pas sur $\left]-\infty~;~\dfrac{1}{2}\right[$ .\\
D\'emontrer alors que (E$_{\lambda}$) admet une solution strictement positive sur $\left]-\infty~;~\dfrac{1}{2}\right[$ que l'on pr\'ecisera.
\end{enumerate}


\end{exercice}





\begin{exercice}
  
Le plan est muni d'un rep\`ere orthonormal \oij.\\
On s'int\'eresse aux fonctions $f$ d\'erivables sur $[0~;~ + \infty[$ v\'erifiant les conditions
\[\left\{\begin{array}{l c l}
(1)& :& \text{pour tout r\'eel}~ x~ \text{appartenant \`a} [0~;~ + \infty[,~ f'(x) = 4 -\left[f(x)\right]^2\\
(2)& :& f(0) = 0\\
\end{array}\right.\]

\noindent On admet qu'il existe une unique fonction $f$ v\'erifiant simultan\'ement (1) et (2).\\
Les deux parties peuvent \^etre trait\'ees de mani\`ere ind\'ependante.% L'annexe sera compl\'et\'ee et remise avec la copie \`a la fin de l'\'epreuve.

\medskip

\noindent \textbf{Partie A. \'Etude d'une suite}

\noindent Afin d'obtenir une approximation de la courbe repr\'esentative de la fonction $f$ on utilise la m\'ethode it\'erative d'Euler avec un pas \'egal \`a 0,2.\\
On obtient ainsi une suite de points not\'es $\left(M_{n}\right)$, d'abscisse $x_{n}$ et d'ordonn\'ee $y_{n}$ telles que :

\[\left\{\begin{array}{l l l}
x_{0} = 0&  \text{et pour tout entier naturel}&~ n,~ x_{n+1} =  x_{n} + 0,2\\
y_{0} = 0& \text{et pour tout entier naturel}& n,~ y_{n+1} = - 0,2y_{n}^2 +y_{n} + 0,8\\
\end{array}\right.\]
\begin{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item Les coordonn\'ees des premiers points sont consign\'ees dans le tableau suivant~: \\

{\footnotesize
\[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$			&0	&1					&2					&3	&4	&5	&6	&7\\  \hline
$x_{n}$	&0	&0,2				&0,4				&	&	&	&	&\\  \hline
$y_{n}$	&0	&\nombre{0,8}	&1,472	&	&	&	&	& \\  \hline
\end{tabularx}\]
}

Compl\'eter ce tableau. On donnera les r\'esultats \`a $10^{-4}$ pr\`es.
\item Placer, sur le graphique donn\'e en annexe, les points $M_{n}$ pour $n$ entier naturel
inf\'erieur ou \'egal \`a 7.
\item D'apr\`es ce graphique, que peut-on conjecturer sur le sens de variation de la suite $\left(y_{n}\right)$ et sur sa convergence ?
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Pour $x$ r\'eel, on pose $p(x) =  -0,2x^2 + x + 0,8$.
Montrer que si $x \in [0~;~2]$ alors $p(x) \in [0~;~2]$.
\item Montrer que pour tout entier naturel $n,~ 0 \leqslant y_{n} \leqslant  2$.
\item \'Etudier le sens de variation de la suite $\left(y_{n}\right)$.
\item La suite $\left(y_{n}\right)$ est-elle convergente ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\bigskip
	
\noindent \textbf{Partie B. \'Etude d'une fonction}\\
Soit $g$ la fonction d\'efinie sur $[0~;~ + \infty[$ par $g(x) =  2\left(\dfrac{\text{e}^{4x} - 1}{\text{e}^{4x} + 1}\right)$  et $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$ sa courbe repr\'esentative.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $g$ v\'erifie les conditions (1) et (2).
\item \begin{enumerate}
\item Montrer que $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$ admet une asymptote $\Delta$ dont on donnera une \'equation.
\item \'Etudier les variations de $g$ sur $[0~;~ + \infty[$.
\end{enumerate}
\item D\'eterminer l'abscisse $\alpha$ du point d'intersection de $\Delta$ et de la tangente \`a $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$ \`a l'origine.
\item Tracer, dans un rep\`ere orthonormal d'unité 5 cm  la courbe $\left(\mathcal{C}_{g}\right)$ et les \'el\'ements mis en \'evidence dans les questions pr\'ec\'edentes de cette partie B.
\end{enumerate}

% \begin{center}
% \textbf{Cette page sera compl\'et\'ee et remise avec la copie avant la fin de l'\'epreuve}

% \medskip

% \textbf{Exercice 4 : Annexe}

% \medskip

% \textbf{Partie A}

% \medskip

% \[\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
% $n$			&0	&1					&2					&3	&4	&5	&6	&7\\  \hline
% $x_{n}$	&0	&0,2				&0,4				&	&	&	&	&\\  \hline
% $y_{n}$	&0	&\nombre{0,8000}	&\nombre{1,4720}	&	&	&	&	& \\  \hline
% \end{tabularx}\]

% \vspace{1.5cm}

% \textbf{Partie B}

% \bigskip

% \psset{unit=5cm}
% \begin{pspicture}(2.5,2.5)
% \psgrid[gridlabelcolor=white](0,0)(2.4,2.4)
% \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(2.5,2.5)
% \end{pspicture}

% \end{center}




\end{exercice}

















\begin{exercice}
  On se propose de d\'emontrer qu'il existe une seule fonction $f$ d\'erivable sur $\R$ v\'erifiant la condition :

\[	(\text{C})\quad \left\{\begin{array}{l c l}
 f(- x)f'(x)& =& 1~\text{ pour tout nombre r\'eel}~ x,\\
f(0) &=& - 4\\
 \end{array}\right.\]
 
\noindent (où $f'$ d\'esigne la fonction d\'eriv\'ee de la fonction $f$) et de trouver cette fonction.
 
\begin{enumerate}\item On suppose qu'il existe une fonction $f$ satisfaisant la condition (C) et on consid\`ere alors la fonction $g$ d\'efinie sur $\R$ par $g(x)= f(- x)f(x)$.

\begin{enumerate}\item D\'emontrer que la fonction $f$ ne s'annule pas sur $\R$. 

\item Calculer la fonction d\'eriv\'ee de la fonction $g$. 

\item En d\'eduire que la fonction $g$ est constante et d\'eterminer sa valeur. 

\item On consid\`ere l'\'equation diff\'erentielle (E) $y' = \dfrac{1}{16}y$. Montrer que la fonction $f$ est solution de cette \'equation et qu'elle v\'erifie $f(0) = - 4$.

\end{enumerate}

\item \textbf{Question de cours}

\begin{enumerate}\item On sait que la fonction $x \longmapsto \text{e}^{\frac{x}{16}}$ est solution de l'\'equation diff\'erentielle (E). D\'emontrer alors que l'ensemble des solutions de l'\'equation (E) est l'ensemble des fonctions, d\'efinies sur $\R$, de la
forme $x \longmapsto  K\text{e}^{\frac{x}{16}}$, où $K$ est un nombre r\'eel quelconque 

\item D\'emontrer qu'il existe une unique solution de l'\'equation diff\'erentielle (E) prenant la valeur $-4$ en 0.

\end{enumerate}

\item D\'eduire des questions pr\'ec\'edentes qu'il existe une seule fonction d\'erivable sur $\R$ satisfaisant la condition (C) et pr\'eciser quelle est cette fonction.

\end{enumerate}



\end{exercice}





\begin{exercice}
  

On d\'esigne par $f$ une fonction d\'erivable sur $\R$ et par $f'$ sa fonction d\'eriv\'ee.\\
Ces fonctions v\'erifient les propri\'et\'es suivantes :

(1) pour tout nombre r\'eel $x,~ \left[f'(x)\right]^2 - 
\left[f(x)\right]^2 = 1$,

(2) $f'(0) = 1$,

(3) la fonction $f'$ est d\'erivable sur $\R$.

\begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item D\'emontrer que, pour tout nombre r\'eel $x,~ f'(x) \neq 0$. 

\item Calculer $f(0)$.

\end{enumerate}

\item En d\'erivant chaque membre de l'\'egalit\'e de la proposition (1),
d\'emontrer que :

(4) pour tout nombre r\'eel $x,~ f''(x) = f (x)$, où $f''$ d\'esigne la fonction d\'eriv\'ee
seconde de la fonction $f$.

\item On pose : $u = f'+f$ et $v = f'-f$.

\begin{enumerate} \item Calculer $u (0)$ et $v(0)$.

\item D\'emontrer que $u'= u$ et $v'= -v$.

\item En d\'eduire les fonctions $u$ et $v$.

\item En d\'eduire que, pour tout r\'eel $x,~ f(x) = \dfrac{\text{e}^x - 
\text{e}^{-x}}{2}$.

\end{enumerate}

\item  \begin{enumerate} \item \'Etudier les limites de la fonction $f$ en $+ \infty$ et en $- 
\infty$. 

\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.

\end{enumerate}

\item  \begin{enumerate} \item Soit $m$ un nombre r\'eel. D\'emontrer que l'\'equation $f(x) = m$ a une unique solution $\alpha$ dans $\R$. 

\item D\'eterminer cette solution lorsque $m = 3$ (on en donnera 
la valeur exacte puis une valeur approch\'ee d\'ecimale \`a $10^{-2}$  pr\`es).

\end{enumerate}

\end{enumerate}


\end{exercice}















\begin{exercice}
  
On se propose de déterminer toutes les fonctions $f$ définies et dérivables sur l'intervalle $]0~ ;~ +\infty[$ vérifiant l'équation différentielle 
\[(E)~~: \qquad  xf'(x)- (2x + 1)f(x) = 8x^2.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que si $f$ est solution de $(E)$ alors la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~ ;~ +\infty[$ par
$g(x) = \dfrac{f(x)}{x}$		est solution de l'équation différentielle $(E')~~: \quad y' = 2y+8$.
		\item  Démontrer que si $h$ est solution de $(E')$ alors la fonction $f$ définie par $f(x) =  x h(x)$ est solution de $(E)$.
	\end{enumerate}
\item Résoudre $(E')$ et en déduire toutes les solutions de $(E)$,

\item Existe-t-il une fonction $f$ solution de l'équation différentielle $(E)$ dont la représentation graphique dans un repère donné passe par le point A$(\ln 2~;~ 0)$ ?  Si oui la préciser.
\end{enumerate}

\end{exercice}















\begin{exercice}
  
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle: 
\[2y' + y = 0 \quad   (\text{E}),\]
 dont l'inconnue est une fonction définie et dérivable sur $\R$.

\item On considère l'équation différentielle :  

\[2y' + y = \text{e}^{- \frac{x}{2}}(x + 1) \quad     (\text{E}')\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer deux réels $m$ et $p$ tels que la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
		
\[f(x) = \text{e}^{- \frac{x}{2}}\left(mx^2 + px\right)~ \text{soit solution de (E}').\]
		\item  Soit $g$ une fonction définie et dérivable sur $\R$.
		
Montrer que $g$ est solution de l'équation (E$'$) si et seulement si $g - f$ est solution de l'équation (E).

Résoudre l'équation (E$'$).
	\end{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $h$ définie sur $\R$ par : $h(x) = \dfrac{1}{4}\text{e}^{- \frac{x}{2}}\left(x^2 + 2x\right)$.

\item Déterminer les limites en $- \infty$ et en $+ \infty$  de la fonction $h$.

\item Dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij, on note $\mathcal{C}$  la courbe représentative de $h$ et $\Gamma$ celle de la fonction : $x \longmapsto \text{e}^{- \frac{x}{2}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les positions relatives de $\mathcal{C}$ et $\Gamma$.
		\item Tracer ces deux courbes sur un même graphique.
	\end{enumerate}   
\end{enumerate}

\end{exercice}




















\begin{exercice}
  

Dans cet exercice on étudie une épidémie dans une population. 

\begin{center}
\textbf{Partie A : Étude de la progression de l'épidémie pendant 30 jours}
\end{center}
 
Au début de l'épidémie on constate que 0,01\:\% de la population est contaminé.
 
Pour $t$ appartenant à [0~;~30], on note $y(t)$ le pourcentage de personnes touchées par la maladie après $t$ jours.

 On a donc $y(0) =  0,01$.
  
On admet que la fonction $y$ ainsi définie sur [0~;~30] est dérivable, strictement positive et vérifie :
\[ y'= 0,05y(10 - y).\] 
\begin{enumerate}
\item  On considère la fonction $z$ définie sur l'intervalle [0~;~30] par $z = \dfrac{1}{y}$. 

Démontrer que la fonction $y$ satisfait aux conditions

 $\left\{\begin{array}{l c l} 	y(0)& =&0,01\\
y'&=& 0,05y(10 - y)\\ \end{array} \right.$  si et seulement
si la fonction $z$  satisfait aux conditions

 $\left\{\begin{array}{l c l} 
z(0)&=&100\\
z' &=& - 0,5z + 0,05\\\end{array} \right.$ 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  En déduire une expression de la fonction $z$ puis celle de la fonction $y$. 
	\item Calculer le pourcentage de la population infectée après 30 jours. On donnera la valeur arrondie à l'entier le plus proche.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}



\end{exercice}









\begin{exercice}
  


La température de refroidissement d'un objet fabriqué industriellement est une fonction $f$ du temps $t$.\\
$f$ est définie sur l'ensemble des nombres réels positifs et vérifie l'équation différentielle:
\[f'(t)+\dfrac12f(t)=10.\]
La température est exprimée en degrés Celsius (°C) et le temps $t$ en heures.

\begin{enumerate}
\item Déterminer $f(t)$ pour $t\geqslant 0$, sachant que pour $t=0$, la température de l'objet est 220°~C.
\item On pourra admettre désormais que la fonction $f$ est définie sur $\R^+$ par $$f(t)=200e^{-\frac{t}{2}}+20.$$
On note $\mathscr{C}$ sa représentation graphique dans le plan muni d'un repère orthogonal; les  unités graphiques sont 2~cm pour un heure en abscisse et 1~cm pour vingt degrés Celsius en ordonnée.
\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\R^+$.
\item Étudier la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.\\
En déduire l'existence d'une asymptote $\mathscr{D}$ à la courbe $\mathscr{C}$ en $+\infty$.
\item  Construire $\mathscr{D}$ et $\mathscr{C}$ sur l'intervalle $[0~;~7]$.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Utiliser le graphique pour déterminer une valeur approchée, en heures et minutes, du moment où la température de l'objet est 50°~C. On laissera apparents les traits de construction.
\item Retrouver ce résultat par le calcul.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{exercice}



\end{listeexercices}


\modenormal
%%% Local Variables: 
%%% TeX-master: "PolyTs"
%%% End: 
