%  En préambule,  les  sources metapost.  Si  vous lancez  latex  sur ce  fichier,  il vous  placera
% automatiquement le fichier .mp dans le répertoire courant. 
\begin{filecontents*}{analyse20078.mp}

input newcourbes;
input couleur;
%input geometriesyr16;
%input TEX;

verbatimtex
%&latex
\documentclass{article}
\usepackage[upright]{fourier}
\usepackage{preambule}
\begin{document}
etex





   
beginfig(16 )


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
vardef fx(expr t)=
t
enddef;

vardef fy(expr t)=
  -t+1
                              % c'est la seule ligne à changer
enddef;

vardef gy(expr t)=
  2/(9*t)
                              % c'est la seule ligne à changer
enddef;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
repere(0,0,-0.1,1.1,-0.1,1.1,10cm,10cm);

%quad_xy(0.2,bleu_ciel);
%quadu_xy(0.1*bleu_ciel);
%grad_x(1,1,0.4white);
%grad_y(1,1,0.4white);

Aire(fx,fy,0,1/3,.8white);
Aire(fx,fy,2/3,1,.8white);
Aire(fx,gy,1/3,2/3,.8white);

draw f_courbe(fx,fy,0,1,100)withpen pencircle scaled 1.5bp withcolor red;

draw f_courbe(fx,gy,0.1,1,100)withpen pencircle scaled 1.5bp withcolor blue;

r_axes;
r_origine;
r_unites;
r_labelxy;

label.bot(btex $\frac{1}{3}$ etex, r_p(1/3,0) ) withcolor 0.1white;
label.bot(btex $\frac{2}{3}$ etex, r_p(2/3,0) ) withcolor 0.1white;


r_fin;
endfig;




 
beginfig( 17)


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
vardef fx(expr t)=
t
enddef;

vardef fy(expr t)=
            ln(t)                  % c'est la seule ligne à changer
	  enddef;


	  vardef gy(expr t) =
	    t*exp(-t+2)
	  enddef;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
repere(0,0,-0.1,8,-5,5,2cm,1cm);
r_axes;
r_origine;
r_unites;
r_labelxy;
%quad_xy(0.2,bleu_ciel);
%quadu_xy(0.1*bleu_ciel);
%grad_x(1,1,0.4white);
%grad_y(1,1,0.4white);

draw f_courbe(fx,fy,0.01,10,1000)withpen pencircle scaled 1.5bp withcolor red;
draw f_courbe(fx,gy,0,10,1000)withpen pencircle scaled 1.5bp withcolor 0.7white;

pair a,xa;

a:=r_p(3.004706178,fy(3.004706178));
xa:=r_p(3.004706178,0);

dotlabel.top(btex  etex,a );

label.bot(btex $\alpha$ etex,xa );

draw a--xa dashed evenly;

r_fin;
endfig;





end


\end{filecontents*}












\documentclass[10pt,a4paper]{report}
\usepackage[height=250mm,width=183mm]{geometry}
\usepackage{preambule,filecontents}
\usepackage[xcas]{tablor}
\usepackage[upright]{fourier}
\graphicspath{{/home/moi/Figures/figuresTS/}}




\begin{VerbatimOut}{XCASipp.cxx}
Ipp(L):={
u:=L[0];vp:=L[1];a:=L[2];b:=L[3];
u:=unapply(u,x);
vp:=unapply(vp,x);
up:=fonction_derivee(u);
v:=unapply(int(vp(x),x),x);
I:="\\ensuremath{\\begin{cases} u(x)="+latex(u(x))+"\\qquad u'(x)="+latex(simplifier(up(x)))+" \\\\ v'(x)="+latex(vp(x))+"\\qquad v(x)="+latex(simplifier(v(x)))+"
     \\end{cases}}
      \\par
     \\ensuremath{I=\\displaystyle \\int_{"+a+"}^{"+b+"}"+latex(u(x))+"\\times "+latex(vp(x))+"dx=\\left["+
        latex(simplifier(u(x)*v(x)))+"\\right]_{"+a+"}^{"+b+
               "}-\\int_{"+a+"}^{"+b+"}"+latex(simplifier(up(x)))+"\\times "+latex(simplifier(v(x)))+"dx="+
                latex(simplifier(int(u(x)*vp(x),x,a,b))) +" } ";
}:;
\end{VerbatimOut}


\begin{VerbatimOut}{XCASippc.cxx}
Ippc(L):={
u:=L[0];vp:=L[1];a:=L[2];b:=L[3];
u:=unapply(u,x);
vp:=unapply(vp,x);
up:=fonction_derivee(u);
v:=unapply(int(vp(x),x),x);
I:="\\ensuremath{\\begin{cases} u(x)="+latex(u(x))+"\\qquad u'(x)="+latex(simplifier(up(x)))+" \\\\ v'(x)="+latex(vp(x))+"\\qquad v(x)="+latex(simplifier(v(x)))+"
     \\end{cases}}
      \\par
     \\ensuremath{I=\\displaystyle \\int_{"+a+"}^{"+b+"}"+latex(u(x))+"\\times "+latex(vp(x))+"dx=\\left["+
        latex(simplifier(u(x)*v(x)))+"\\right]_{"+a+"}^{"+b+
               "}-\\int_{"+a+"}^{"+b+"}"+latex(simplifier(up(x)))+"\\times "+latex(simplifier(v(x)))+"dx"+"} ";
}:;
\end{VerbatimOut}




\begin{VerbatimOut}{XCASipp.giac}
maple_mode(0);
read("XCASipp.cxx");
Sortie:=fopen("XCASipp.tex");
donnees:=read("XCASipp.user");
Resultat:=cat("Ipp(",donnees);
Resultat:=cat(Resultat,");");
Resultat:=expr(Resultat);
fprint(Sortie,Unquoted,Resultat);
fclose(Sortie);
\end{VerbatimOut}


\begin{VerbatimOut}{XCASippc.giac}
maple_mode(0);
read("XCASippc.cxx");
Sortie:=fopen("XCASippc.tex");
donnees:=read("XCASippc.user");
Resultat:=cat("Ippc(",donnees);
Resultat:=cat(Resultat,");");
Resultat:=expr(Resultat);
fprint(Sortie,Unquoted,Resultat);
fclose(Sortie);
\end{VerbatimOut}


\newenvironment{ipp}
{\VerbatimEnvironment\begin{VerbatimOut}{XCASipp.user}}
{\end{VerbatimOut}
           \executGiacmp{XCASipp.giac}

\input{XCASipp}
}

\newenvironment{ippc}
{\VerbatimEnvironment\begin{VerbatimOut}{XCASippc.user}}
{\end{VerbatimOut}
           \executGiacmp{XCASippc.giac}

\input{XCASippc}
}








\begin{document}

\setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}


\fbox{\LARGE CORRIG\'E DU DS DU 19 MARS}

\initablor


\exot{}
\begin{enumerate}
\item[1. et 2.] Cela donne ça :


\begin{center}
  \includegraphics{analyse20078.16}
\end{center}

\item Il s'agit de résoudre sur $[0\pv 1]$ le système~:
\[(S) : \bsys
y=\frac{2}{9x}\\
y=-x+1\\
\esys
\]
On obtient :

\[(S)\ssi \bsys -9x^2+9x=2\\ y=-x+1 \esys  \]

Résolvons la première équation~:

$\Delta = 81 - 72=9=3^2$ d'où $x_1=\frac{-9- 3}{-18}=\frac{2}{3}$ et $x_2= \frac{-9+3}{-18}=\frac{1}{3}$

On en déduit les ordonnées correspondantes : $y_1=-x_1+1=\frac{1}{3}$ et $y_2=-x_2+1=\frac{2}{3}$.

\fbox{Les points cherchés ont pour coordonnées $\left(\frac{2}{3}\pv \frac{1}{3}\right)$ et $\left(\frac{1}{3}\pv \frac{2}{3}\right)$}

\item L'aire cherchée vaut donc~:

\begin{arrayl}
\AR&=&\int_0^{\efr{1}{3}}-x+1\d x+\int_{\efr{1}{3}}^{\efr{2}{3}}\frac{2}{9x}\d x+\int_{\efr{2}{3}}^1 -x+1\d x\\
 &=& \left[-\frac{x^2}{2}+x\right]_0^{\efr{1}{3}}+\left[\frac{2}{9}\ln(x)\right]_{\efr{1}{3}}^{\efr{2}{3}}+\left[-\frac{x^2}{2}+x\right]_{\efr{2}{3}}^1\\
&=& -\frac{1}{18}+\frac{1}{3}+\frac{2}{9}\ln\left(\frac{\ofr{2}{3}}{\ofr{1}{3}} \right)-\frac{1}{2}+1+\frac{4}{18}-\frac{2}{3}\\
&=& \frac{1}{3}+\frac{2}{9}\ln(2)\\
\end{arrayl}
le résultat étant exprimé en unités d'aire.

\end{enumerate}

\exot{}

\paragraph*{Partie A}

\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est dérivable sur $[0\pv +\infty[$ comme produit et composée de fonctions dérivables sur cet intervalle.

On obtient $f'(x)=\E^{-x+2}-x\E^{-x+2}=(1-x)\E^{-x+2}$. Ainsi, $f'(x)$ est du signe de $(1-x)$.

De plus, $f(x)=\E^2\times \dfrac{1}{\ofr{\E^x}{x}}$. Or $\Lim{+\infty}\ofr{\E^x}{x}=+\infty$, donc 

\[\Lim{+\infty}f(x)=0\]

Finalement, on obtient le tableau suivant~:

\begin{TV}
  TV([0,+infinity],[],"f","x",x*exp(-x+2),1,\tv)
\end{TV}

On en déduit que la courbe représentative de $f$ admet l'axe des abscisses comme asymptote au voisinage de $+\infty$.

\item

\begin{enumerate}
\item Voici ce que l'on obtient :


\begin{center}
  \includegraphics{analyse20078.17}
\end{center}


On en déduit que l'équation semble avoir une unique solution sur $[1\pv +\infty[$ car les courbes se coupent en un point unique.

\item La fonction $g$ est dérivable sur $\bbr^*-+$ comme somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.

Alors $g'(x)=\frac{1}{x}-(1-x)\E^{-x+2}=\frac{1}{x}+(x-1)\E^{-x+2}$ est positif sur $[1\pv +\infty[$ comme somme  de deux termes positifs sur cet intervalle.

On en déduit le tableau suivant~:

\begin{TVIapp*}{102}
  TVIapp([1,+infinity],[],"g","x",ln(x)-x*exp(2-x),0,0,\tv)
\end{TVIapp*}

Par lecture de ce tableau, on en déduit que l'équation $g(x)=0$, c'est-à-dire $f(x)=\ln(x)$ admet une unique solution sur $[1\pv +\infty[$.

\item \`A la calculatrice on obtient \fbox{$\alpha\simeq 3.005$}.

\end{enumerate}

\end{enumerate}


\paragraph*{Partie B}

\begin{enumerate}
\item On obtient tout d'abord :

\begin{ippc}
x^2,exp(-2*x),0,3
\end{ippc}

puis : 

\begin{ippc}
x,exp(-2*x),0,3
\end{ippc}

Finalement, \fbox{$I=\dfrac{1-25\E^{-6}}{4}$}.

\item

\begin{enumerate}
\item $\VR=\ds\int_0^3\pi x^2\E^{-2x+4}\d x=\pi\E^4I$ 

\item On obtient $\VR\simeq 40,224$ unités de volume. Or le repère est orthonormé d'unité 4 cm, donc 1 u.v.$=4\times4\times4=64{\rm cm}^3$.

Finalement \fbox{ $\VR\simeq 2574{\rm cm}^3$ }



\end{enumerate}


\end{enumerate}


\exot{}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Comme $-1\ie \sin(x)\ie 1$ et $n\ie x+n\ie \pi+n$ sur $[0\pv \pi]$, on obtient~:

\[\frac{-1}{n}\ie\frac{\sin(x)}{x+n}\ie \frac{1}{n}\] 

On intègre~:

\[\frac{-1}{n}\times(\pi-0)\ie\int_0^{\pi}\frac{\sin(x)}{x+n}\ie \frac{1}{n}\times (\pi-0)\] 



et hop, unp'tit coup de gendarmes pour dire que la limite est nulle.



 


\item   Ici,   $1\ie    1+x^2\ie   2$   sur   $[0\pv   1]$    donc   \[\fr{1}{2}\int_0^1x^n\d   x\ie
  \int_0^1\frac{x^n}{1+x^2}\d x\ie \int_0^1x^n\d x\]

C'est-à-dire \[\frac{1}{2(n+1)}\ie \int_0^1\frac{x^n}{1+x^2}\d x\ie\frac{1}{(n+1)}\] 
\end{enumerate}

\item Si $p=0$, $I(t)=\frac{t^2}{2}$ et $\Lim[t]{+\infty}I(t)=+\infty$. Sinon, on effectue une intégration par parties:

\begin{ipp}
x,exp(-p*x),0,t
\end{ipp}

D'où $I(t)=\dfrac{-pt\E^{-pt}-\E^{-pt}}{p^{2}}+\frac{1}{p^{2}}$.

On distingue deux cas:

\begin{description}

\item[si \textit{p} est positif] alors $\Lim[X]{-\infty}X\E^{X}=\Lim[X]{-\infty}\E^{x}=0$ et donc par composition \[\Lim[t]{+\infty}I(t)=\frac{1}{p^2}\]
\item[si \textit{p} est négatif] alors  $\Lim[X]{+\infty}X\E^{X}=\Lim[X]{+\infty}\E^{x}=+\infty$ et donc par composition \[\Lim[t]{+\infty}I(t)=+\infty\]
 

\end{description}



\end{enumerate}

\end{document}