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\pstilt{70}{\parbox{\linewidth}{\Huge T\textsuperscript{ale} S 5\hfill Devoir de mathématiques \hfill 20
  mars 2008}}





\exot{}

\begin{enumerate}
\item Dans un repère orthonormé d'unité 10cm,
construisez la droite $(D)$ d'équation $y=-x+1$ et la courbe $(C)$
d'équation $y=\fr{2}{9x}$. 
\item Hachurez la partie du plan
$\ER=\{x\in[0,1],\ y\in[0,1]\ \big|\ x+y\ie1\ \text{et}\
xy\ie2/9\}$. 
\item Déterminez les coordonnées des points
d'intersection de $(D)$ et $(C)$. 
\item Montrez que l'aire $\AR$
de $\ER$ vaut $\fr{1}{3}+\fr{2}{9}\ln2 \ u.a.$ 
\end{enumerate}



\exot{}

Soit $f$ la fonction définie sur $[0~ ;~ + \infty[$ par

\[ f (x) = x\text{e}^{-x + 2}.\]

Les deux parties peuvent être abordées indépendamment.

\noindent \textbf{Partie A}\\
\begin{enumerate}\item Dresser le tableau des variations de $f$ sur $[0~ ;~ + \infty[$ et déterminer les éventuelles asymptotes de la courbe représentative.
\item \begin{enumerate}\item Tracer sur la calculatrice graphique les courbes de la fonction $f$ et de la fonction logarithme népérien ; on notera $\mathcal{L}$ cette dernière. Conjecturer avec ce graphique le nombre de solutions de l'équation

\[f(x) = \ln (x)\]

sur $[1~;~ +\infty[$.	
\item Montrer que la fonction $g$ définie sur $\R_{+}^{*}$ par :
\[g (x) = \ln (x) - f(x)\]

est strictement croissante sur $[1~;~ +\infty[$.

En déduire que l'équation $f(x) = \ln (x)$ admet une unique solution $\alpha$
sur $[1~;~ +\infty[$.	
\item Déterminer à $10^{-3}$	près une valeur approchée de $\alpha$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\noindent \textbf{Partie B}

\begin{enumerate}\item À l'aide d'une double intégration par parties, déterminer :
\[\text{I} = \displaystyle\int_{0}^3  x^2\text{e}^{-2x}\,\text{d}x.\]	

\item On définit le solide $\mathcal{S}$ obtenu par révolution autour l'axe (O$x$) de la courbe d'équation $y = f(x)$ pour $0 \leqslant x \leqslant  3$ dans le plan ($x$O$y$) (repère orthonormal d'unité 4 cm). On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ du solide est donné par :
\[\mathcal{V}	=\displaystyle\int_{0}^3 \pi[f(x)]^2\,\text{d}x.\]

\begin{enumerate}\item Exprimer $\mathcal{V}$ en fonction de I.
\item Déterminer alors une valeur approchée à 1 cm$^3$ près du volume du solide.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\exot{}

\begin{enumerate}
\item  \`A l'aide de majorations ou d'encadrements, d\'eterminez la limite
 quand $n$ tend vers $+\infty$ de :
\begin{nliste}{2}
\item $\int_0^\pi{\sin x\over x+n}\d x$ \item $ \int_0^1{x^n\over1+x^2}\d x
$
\end{nliste}

\item On pose $I(t)=\ds\int_0^tx{\rm e}^{-px}\,\d x$ où $p$ est un paramètre réel. Calculez $I(t)$ puis $\Lim[t]{+\infty}I(t)$ en discutant selon les
valeurs du paramètre $p$.

\end{enumerate}


\end{document}

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