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\newcommand{\illt}[4]{\begin{minipage}[t]{#3\linewidth}\vspace{0cm}#1\end{minipage}\hspace{0.5cm}\begin{minipage}[t]{#4\linewidth}\vspace{-0.25cm}
\hspace{5.5cm} \begin{flushright}\includegraphics[width=\linewidth]{#2}\end{flushright}\end{minipage}}

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\lstset{
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% %%% Fraction en oblique
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	\raisebox{0ex}{$#1$}\negthinspace\slash
	\raisebox{-.5ex}{$#2$}}


\newcommand{\RR}{\mathcal{R}}



%transposee
\usepackage{fouridx}
\newcommand*{\transp}[1]{\fourIdx{{\rm t}}{}{}{}{#1}}
\newcommand\tr{\vphantom{}^{\rm t}}

\newcommand{\dd}{\text{ d}}


\paper{DS-M3-12} % <- do not include FC, FT etc
%\version{0}                     % <- for multiple choice exams
\title{Devoir Surveillé - Probabilités}
\time{quatre-vingts  minutes / cent sept en cas de tiers temps} % <- number of hours: default is three
\semester{Troisième semestre}
\annee{2014-2015} % <- default is the current year

%\campus{City}
\note{\small \bfseries Vous justifierez vos réponses
    avec le plus grand soin. % N'oubliez pas qu'il serait maladroit de
   %  copier sur  votre voisin(e) qui  a, de toute façon,  écrit n'importe
   %  quoi. Toute enfreinte à  cette règle entraîne l'obtention d'une note
   % plutôt faible.
   Aucune calculatrice ni tout autre engin relié
    à un  quelconque réseau ou   pouvant faire office  de téléphone n'est
    autorisé.     Une feuille  de
      format A5 recto-verso  manuscrite %ou le poly de cours  distribué au mois de
     % février peuvent
 peut être consultée pendant le
      DS sous réserve d'acceptation du jury.
 Vous  ne rendrez  que les  feuilles  de réponses  (numérotées  de 3  à 6)  AVEC
 L'AGRAFE et en écrivant
 votre nom. Le barème est indicatif. Vous  ne devez avoir sur la table que votre
 sujet, le brouillon distribué et 2 stylos.
    %N'oubliez pas que c'est compilator qui corrigera votre script...
}
\begin{document} 





%%%% questions


%1
\begin{exercice}
Un texte  est écrit  en français.  La fréquence d'apparition  du \og  e\fg{} est
$p$.   On travaille  sur un  texte  de N  caractères.   On extrait  de ce  texte
simultanémént (les lettres  extraites sont choisies aléatoirement  selon une loi
uniforme) $n$ lettres.

On note  E la  variable aléatoire  réelle qui  indique le  nombre de  \og e\fg{}
obtenus. 

Déterminez la loi de probabilité de E.
\end{exercice}


%2
\begin{exercice}
On effectue  un tirage  au sort d'un  entier entre 0  et $2^8-1$  en choisissant
aléatoirement chaque bit d'un octet de manière équiprobable.

On  note S  la variable  aléatoire réelle  égale au  nombre de  1 dans  l'octet
obtenu.

Définir la loi de probabilité de N.

On crée un octet aléatoirement selon  ce modèle: quelle est la probabilité qu'au
moins les trois quarts de ses bits soit des 1?
\end{exercice}

% 3

\begin{exercice}
%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=5cm]{boule}
\end{center}
%\end{figure}


Le jeu de la  boule est un jeu de casino similaire à  celui de la roulette, mais
avec les chiffres de 1 à 9.
Il est possible de miser rouge, noir, manque, passe, pair ou impair.

Les chiffres 1, 3, 7, 9 sont impairs. Les chiffres 2, 4, 6, 8 sont pairs. Les chiffres 1, 3, 6, 8 sont noirs. Les chiffres 2, 4, 7, 9 sont rouges. Les chiffres 1, 2, 3, 4 sont manques. Les chiffres 6, 7, 8, 9 sont passes.

Le chiffre 5 n'est ni pair, ni impair, ni manque, ni passe, ni rouge, ni noir. Si le 5 sort, la mise jouée sur une chance simple perd.

Si la chance simple misée sort, le joueur  gagne une fois la mise, sinon la mise
est perdue.

Si le numéro misé sort, le joueur gagne 7 fois la mise sinon la mise est perdue.

Dans un  casino du  Sud-Ouest, le  jeu de  boule est  constitué de  36 logements
numérotés équitablement de 1 à 9.




\begin{enumerate}
\item  Un joueur  mise $a$  \texteuro\  sur une  couleur. Soit  $C$ la  variable
  aléatoire correspondant au  gain associé. Trouvez la loi de  $C$ puis calculez
  $\bbe(C)$ et $\sigma(C)$. 


\item  Un  joueur mise  $a$  \texteuro\  sur un  numéro.  Soit  $N$ la  variable
  aléatoire correspondant au  gain associé. Trouvez la loi de  $N$ puis calculez
  $\bbe(N)$ et $\sigma(N)$. 
 

\end{enumerate}

\end{exercice}


%4

\begin{exercice}
On rappelle que pour tout réel $λ$:

$$\sum_{n=0}^{+∞}\frac{1}{n!}={\rm e}$$

avec e la base du logarithme népérien.

Soit    X   une   v.a.r.    telle   que    $X(\Omega)=\bbn^\star$   et
 $\Pr{}(\{X=n\})=\frac{\lambda}{n!}$.
 \begin{enumerate}
   \item Déterminez $\lambda$.
   \item Calculer $\bbe(X)$.
   \item Calculer $\bbe \left(\frac{1}{1+X}\right)$
 \end{enumerate}

\end{exercice}

\vfill \eject

%5

\begin{exercice}
On considère une source  binaire d'information constituée d'une suite de
1 et  de 0 indépendants et  équiprobables. La source  émet à destination
d'un récepteur à travers un canal de transmission bruyant entraînant des
erreurs éventuelles en réception. 

Soit $p$ la probabilité, commune,  qu'un bit émis soit détecté comme son
complémentaire. On suppose que les  erreurs commises sur chaque bit sont
indépendantes mutuellement.

Pour tenter  de lutter contre ce  bruit, on utilise  le protocole simple
suivant:

\begin{itemize}
\item à l'émission, on répète une fois chaque bit;
\item à la  réception, la réception de $(b,b)$  entraîne la détection du
      symbole $b$;  la réception de $(b,\overline{b})$ donne  lieu à une
      demande   de   retransmission   d'un   nouveau  couple   de   bits
      identiques. On continue tant qu'un couple $(b,\overline{b})$ est reçu.
\end{itemize}


\begin{enumerate}
\item On  veut transmettre  l'octet 00001001. Qu'émet-on?  Donnez un  exemple de
  message  que le  récepteur va  refuser. Donnez  un exemple  de message  que le
  récepteur va accepter alors qu'il ne correspond pas au message émis.

\item On s'intéresse à la transmission d'un  seul bit, par exemple 0. Quelle est
  la probabilité  que le récepteur  commette une  erreur (i.e. considère  que le
  message émis est 1)? Vous exprimerez votre réponse en fonction de $p$.

\item Soit N la v.a.r. donnant le nombre de symboles émis par l'émetteur
      pour que le récepteur accepte la  transmission (que le bit accepté soit le
      bon ou pas). Étudiez la loi de N.
\end{enumerate}

\end{exercice}



























%%% réponses

\answersheet


%1
\begin{exercice}
  \textcolor{white}{.}
\vspace{5cm}
\end{exercice}



%2

\begin{exercice}
  
   \textcolor{white}{.}
\vspace{5cm}


\end{exercice}







%3
\begin{exercice}
 \textcolor{white}{.}
\vspace{5cm}

\end{exercice}




%4

\begin{exercice}
  \begin{enumerate}
 
  \item \textcolor{white}{.}
\vspace{4cm}
  \item \textcolor{white}{.}
\vspace{4cm}
 \item \textcolor{white}{.}
\vspace{4cm}
 \item \textcolor{white}{.}
\vspace{4cm}
 \item \textcolor{white}{.}
\vspace{4cm}
  \end{enumerate}
\end{exercice}

\eject





% %5


\begin{exercice}
\textcolor{white}{.}
\vspace{9cm}
\end{exercice}


%6

\begin{exercice}
  \begin{enumerate}
 
  \item \textcolor{white}{.}
\vspace{4cm}
  \item \textcolor{white}{.}
\vspace{4cm}
 \item \textcolor{white}{.}
\vfill
\eject
 \item \textcolor{white}{.}
\vspace{4cm}
 \item \textcolor{white}{.}
\vspace{4cm}
\item \textcolor{white}{.}
\vspace{4cm}
 \item \textcolor{white}{.}
\vspace{4cm}
 \item \textcolor{white}{.}
\vspace{4cm}
  \end{enumerate}
\end{exercice}

\end{document}
