
\input{/home/moi/Lycee/makdevoir}
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\title{\vspace{-4cm}\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=bleu]{   {\huge\bfseries  \white{T\textsuperscript{ale}$\text{S}_6$  \ \ Corrigé DS n°2}}  } }

\author{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=bleu]{\white\bfseries{Mardi 8 novembre 2005}}}
\date{}
 \setlength{\parindent}{0pt}


%numérotation des pages par rapport à la dernière
\makeatletter
\renewcommand{\@evenfoot}
    {\hfill
    page {\thepage}/\pageref{LastPage}
    \hfill}
\renewcommand{\@oddfoot}{\hfill
    page {\thepage}/\pageref{LastPage}
    \hfill}
\makeatother
%fin de la macro pour numéroter les pages


\begin{document}
 \setlength{\parindent}{0pt}

\vspace{-4cm}
\maketitle

\exot{}
\begin{enumerate}
\item $|z^{14}|=|z|^{14}=2^7=128$ et $\Arg(z^{14})=14\Arg(z)\equiv\fr{(12+2)\pi}{3}[2\pi]=\fr{2\pi}{3}[2\pi]$, donc $z=128\pa{-\ud+i\fr{\sqrt{3}}{2}}$ donc réponse C.
\item $|z-3|=|3-4i|\Longleftrightarrow|z_M-z_S|=|z_S-z_T|\Longleftrightarrow SM=ST$ donc $M$ est situé à la distance fixe $ST$ du point fixe $S$. C'est donc un cercle de centre $S$ et de rayon $|3-4i|=5$ : réponse D.
\item On sent que $g(x)$ ressemble à $\sqrt{x^2}/x=-x/x=-1$ en $-\infty$  donc réponse A.

\item On a $AM^2=|z-z_A|^2=3$ or $z_A=-2+5i$, donc réponse C.
\end{enumerate}


\exot{}
\textbf{I}
\begin{enumerate}
\item Il suffit de calculer $P(-i)$ et ça marche.
\item $(z+i)(z^2+bz+c)=z^3+(b+i)z^2+(c+ib)z+ci$ donc $a=1$, $b=-8$ et $c=17$
\item Résolvons $z^2-8z+17=0$. $\Delta =64-68=-4=(2i)^2$, donc $$S=\ac{-i,4+i,4-i}$$
\end{enumerate}
 \textbf{II}
\begin{enumerate}
\item $a'=4-i$, $b'=4+3i$ et $c'=-4+3i$
\item Il faut vérifier que $|a'-p|=|b'-p|=|c'-p|$ On obtient $|4-i-i|=|4+3i-i|=|-4+3i-i|=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
\end{enumerate}
 

\exot{}

On remarque que $f'$ s'annule en changeant de signe en $a$, avec $a\simeq1,6$ donc admet un extremum. Plus précisément

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|lcccr|}
\hline
 $x$ & 0 &  & $a$ &  & 2 \\ 
\hline 
$f'(x)$ &  & $-$ & 0 & $+$ &  \\ 
\hline
& & & & & \\ 
$f(x)$ &   & \dec &  & \croi &  \\ 
& & & & & \\
\hline 
\end{tabular} 
\end{center}

Donc $f$ admet bien un minimum en $a$.


\exot{}

\begin{enumerate}
\item $g'(x)=2\cos(2x)-2x\times2\times\sin(2x)-2\times\cos(2x)=-4x\sin(2x)$
\item $0\ie x\ie \pi/2\ssi 0\ie 2x\ie \pi$, or sin est positive sur $[0,\pi]$, donc $g'(x)$ est négative sur $I$.
\item et 4) Par lecture du tableau de variation, on obtient que $g(x)=0$ admet une unique solution sur $I$

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|lcclr|}
\hline 
$x$ & 0 &   & $a$ &   & $\pi/2$ \\ 
\hline
  & $\pi/2$ &  &$\vdots$  &  &  \\ 
  &  & \dec &$\vdots$  &  &  \\ 
 $f(x)$ &  &  & 0 &  &  \\ 
  &  &  &  & \dec &  \\ 
  &  &  &  &  & $-\pi/2$ \\ 
\hline 
\end{tabular} 
\end{center}

\end{enumerate}



\end{document}
