\documentclass[xcolor={hyperref,dvips,ps2pdf},dvips]{beamer} 
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\fvset{xrightmargin=0cm,gobble=2,formatcom=color{blue}}


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\usepackage{BeamerPolymaths}
\renewcommand\FancyVerbFormatLine[1]{\colorbox{green}{#1}}

\mode<presentation>
{
  \usetheme[secheader]{Madrid}
  % or ...Warsaw

  \setbeamercovered{highly dynamic}
  % or whatever (possibly just delete it)
}


\title[] % (optional, use only with long paper titles)
{Les Complexes}

\subtitle{}

\author[] % (optional, use only with lots of authors)
{Guillaume CONNAN }
% - Give the names in the same order as the appear in the paper.
% - Use the inst{?} command only if the authors have different
%   affiliation.

\institute{Lycée Jean PERRIN}% (optional, but mostly needed)

\setcounter{tocdepth}{2}

\date[] % (optional, should be abbreviation of conference name)
{Octobre 2007}
% - Either use conference name or its abbreviation.
% - Not really informative to the audience, more for people (including
%   yourself) who are reading the slides online

\subject{}

\AtBeginSubsection[]
{
  \begin{frame}<beamer>
    \frametitle{Sommaire}
     {\scriptsize
\begin{DeuxCols}{2} 
    \tableofcontents[currentsection,currentsubsection]
       \end{DeuxCols}
}
  \end{frame}
}


% If you wish to uncover everything in a step-wise fashion, uncomment
% the following command: 

\beamerdefaultoverlayspecification{<+->}


\begin{document}

\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Sommaire}
{\scriptsize
\begin{DeuxCols}{2} 
 \tableofcontents
\end{DeuxCols}
}
  % You might wish to add the option [pausesections]
\end{frame}


\section{Pourquoi utilise-t-on les complexes ?}

\subsection{Pour résoudre des équations}

\begin{frame}
  \frt{Combien l'équation $\mathbf{x^3+px+q=0}$ a-t-elle de solutions dans ${\mathbf\bbr}$~?}

Considérons donc la fonction $f~:~x\mapsto x^3+px+q$ avec $p$ et $q$ des entiers. En étudiant cette fonction, nous allons vérifier qu'elle admet toujours au moins une solution réelle et même déterminer le nombre de solutions selon les valeurs de $p$ et $q$.

\end{frame}

\begin{frame}
  $f$ s'annule-t-elle sur $\bbr$~?
\end{frame}

\begin{frame}
  Quel est le signe de la dérivée~?


\end{frame}


\begin{frame}
  Distinguons deux cas~:
  \begin{itemize}
  \item  $\mathbf{p\se0}$
    
    \item $\mathbf{p<0}$ 
    
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
  \frt{Tableau de variation dans le 2\eme cas }



 \begin{center}
\begin{tabular}{|c|lcccccr|}
\hline
$x$ & $-\infty$ & & $-a$ & &$a$&  &$+\infty$\\
\hline
Signe $f'(x)$ & &$+$ &0 &$-$&0 &$+$ & \\
\hline
 & & &$f(-a)$ & & & &$+\infty$\\
$f(x)$& &\croi& &\dec&   & \croi & \\
 &$-\infty$ & & & &$f(a)$ & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\end{frame}



\begin{frame}
   Montrez que $f(a)=q-2a^3$ et $f(-a)=q+2a^3$
\end{frame}


\begin{frame}
  
Alors $f(a)\cdot f(-a)=$

\end{frame}



\begin{frame}
  
On peut enfin remarquer que $f(a)<f(-a)$ car 

\end{frame}

\begin{frame}
  
Entamons donc la discussion
\begin{itemize}
\item Si $f(a)$ et $f(-a)$ sont tous deux de même signe, c'est à dire si  $f(a)\cdot f(-a)>0$  soit encore si   $4p^3+27q^2>0$ 
alors $f$ ne s'annule qu'une seule fois.
\vspace{3cm}
\item Si 
\vspace{3cm}
\item Si 
\vspace{3cm}

\end{itemize}

\end{frame}



\subsubsection{Résolvons ces équations}



\begin{frame}
  
Plaçons-nous maintenant dans le cas $4p^3+27q^2>0$. Nous savons qu'alors l'équation admet une unique solution réelle.

\end{frame}


\begin{frame}
  
Giralomo Cardano a  établi\footnote{Vous pouvez essayer de le prouver en posant $x=u+v$ et en résolvant un système d'équations d'inconnues $u$ et $v$ } en 1547 que cette  solution  est

$$\sqrt[3]{\fr{-q}{2}+\sqrt{\fr{q^2}{4}+\fr{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{\fr{-q}{2}-\sqrt{\fr{q^2}{4}+\fr{p^3}{27}}}$$

\pause

Utilisez cette formule pour trouver une solution de $(E_1)~:\
x^3-36x-91=0$ 
\end{frame}


\begin{frame}
  
On voudrait faire de même avec $(E_2)~:~x^3-15x-4=0$. Un problème apparaît...

\end{frame}



\begin{frame}
  
Admettons qu'on puisse prolonger les calculs usuels aux racines carrées de nombres négatifs en utilisant le <<~symbole~>> $\sqrt{-1}$ et utilisons quand même la formule de notre ami italien.

\end{frame}





\begin{frame}
  
Bon, on ne semble pas très avancé. Alors un petit coup de pouce : calculez $\pa{2+\sqrt{-1}}^3$ et $\pa{2-\sqrt{-1}}^3$

\end{frame}



\begin{frame}
  
On trouve alors une solution réelle $\al$ de $(E_2)$. Or $4p^3+27q^2$ est négatif, donc on devrait
trouver deux autres racines réelles. Comme on en a une, cela veut dire qu'on peut factoriser
$x^3-15x-4$ par $x-\al$ : faites-le !


\pause



Déduisez-en les deux autres solutions réelles.

\end{frame}





\subsection{Pour compter en dimension 2}


\begin{frame}
  Vous  savez <<~compter en dimension 1~>>, c'est à dire additionner et multiplier des nombres réels qu'on peut représenter sur la droite des réels :


\begin{center}
\includegraphics{/home/moi/Lycee/TS/figures/limfonc.32}
\end{center}

\end{frame}


\begin{frame}
Dans $\bbr$  

\begin{itemize}
  \item L'addition possède un élément neutre noté 0 : $x+0=0+x=x$.
\item La somme de 2 réels est encore un réel.
\item Chaque réel $x$ admet un opposé $-x$ vérifiant $x+(-x)=(-x)+x=0$.
\item La multiplication possède un élément neutre noté 1 : $x\times 1=1\times x=x$
\item Le produit de deux réels est encore un réel.
\item Chaque réel différent de 0 admet un inverse $x^{-1}$ vérifiant $x\times x^{-1}=x^{-1}\times x=1$
\item La multiplication est distributive sur l'addition : $x\times(y+z)=x\times y + x\times z$.
  \end{itemize}
\end{frame}



\begin{frame}
  On note $\bbr^2$  l'ensemble des coordonnées des points du plan.


\pause

 Est-ce qu'on peut définir une addition et une multiplication qui engloberaient et généraliseraient celles vues dans $\bbr$ ?

\end{frame}

\begin{frame}
  Pour l'addition, on pense à $(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y')$

\pause

 Vérifions que les  propriétés de l'addition sont vérifiées.

\end{frame}




\begin{frame}
  \frt{Élément neutre}
   On a un élément neutre : (0,0) car $(x,y)+(0,0)=(x+0,y+0)=(x,y)$.
\pause
 
  Et surtout l'élément neutre de $\bbr^2$ se situe <<~au même endroit~>> que celui de $\bbr$ : on l'a juste <<~gonflé~>> d'un deuxième zéro pour être reconnu dans $\bbr^2$.
\end{frame}


\begin{frame}
  \frt{Symétrique}
Et pour le symétrique, on prend $(-x,-y)$ car $(x,y)+(-x,-y)=(0,0)$ l'élément neutre.

\end{frame}

\begin{frame}
  \frt{Multiplication}
On pense d'abord à  $(x,y)\times(x',y')=(xx',yy')$ avec $(1,1)$ comme élément neutre.




\end{frame}

\begin{frame}
 Mais dans ce cas, l'élément neutre de la multiplication dans $\bbr^2$ ne serait pas <<~au même endroit~>> que celui de $\bbr$ 



\begin{center}
\includegraphics{/home/moi/Lycee/TS/figures/limfonc.33}
\end{center}
\end{frame}


\begin{frame}
  
On voudrait plutôt un élément neutre (1,0) et donc que $(x,y)\times(1,0)=(x,y)$. Je vous propose la multiplication suivante
$$(x,y)\times(x',y')=(xx'-yy',xy'+x'y)$$

\end{frame}



\begin{frame}
   Essayons :  $(x,y)\times(1,0)=(x\times1-y\times0,x\times0+y\times1)=(x,y)$. \c Ca marche.
\end{frame}


\begin{frame}
   Je vous laisse vérifier que cette multiplication est distributive sur l'addition et que tout élément $(x,y)$ de $\bbr^2$ différent de $(0,0)$ admet un inverse $\pa{\fr{x}{x^2+y^2},-\fr{y}{x^2+y^2}}$.
\end{frame}



\begin{frame}
  Oui, bon d'accord, mais quel est le lien avec le $\sqrt{-1}$ du paragraphe précédent~?
\end{frame}


\begin{frame}
  Et bien observez $(0,1)$ et élevez le au carré.
\end{frame}

\begin{frame}
   $(0,1)\times (0,1)=(0-1,0+0)=(-1,0)$

\pause

 Bon et alors ?
\end{frame}


\begin{frame}
  Alors $(-1,0)$, c'est le réel $-1$ <<~gonflé~>>. Donc $\sqrt{-1}$ a un <<~représentant~>> dans $\bbr^2$. Dans le plan, il correspond au point de coordonnées $(0,1)$. Et donc nous allons pouvoir calculer avec ce fameux nombre $\sqrt{-1}$ assez naturellemnt en utilisant les opérations décrites précédemment.
\end{frame}

\begin{frame}
  \`A chaque élément $(x,y)$ de $\bbr^2$ nous allons faire correspondre un nombre qu'on qualifiera de \textit{complexe}.
\end{frame}

\begin{frame}
  
Nous allons même donner un nom à ce $\sqrt{-1}$ : appelons-le $i$ pour qu'il fasse moins peur. Ainsi nous avons les correspondances

\pause

\begin{center}
\begin{tabular}{ccccc}
Le point M &$\longleftrightarrow$ & Le couple $(x,y)$ & $\longleftrightarrow$ & Le nombre complexe $x+iy$\\
$\updownarrow$ & &  $\updownarrow$ & & $\updownarrow$ \\
Le plan $\PR$ & $\longleftrightarrow$ & $\bbr^2$ &$\longleftrightarrow$ & L'ensemble des nombres complexes
\end{tabular}
\end{center}

\end{frame}





\begin{frame}
  Et maintenant observez comme les calculs deviennent faciles en prologeant les règles valables sur $\bbr$ !

  \begin{itemize}
  

\item  $(x+iy) + (x'+iy')= x+iy+x'+iy'=(x+x')+i(y+y')$

\item Comme nous avions $(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y')$, mais en plus simple.

\item Et $(x+iy)\cdot(x'+iy')=xx'+ixy'+iyx'+i^2yy'$

\item N'oubliez pas que $i^2=-1$

\item Alors $(x+iy)\cdot(x'+iy')=(xx'-yy')+i(xy'+yx')$

\item Comme nous avions $(x,y)\times (x',y')=(xx'-yy',xy'+yx')$. 

\end{itemize}


\end{frame}


\begin{frame}

Donc nous allons pouvoir calculer en dimension 2 en généralisant les règles de dimension 1. Nous
avons juste ajouté ce nombre $i$ de carré $-1$.  En particulier, tous les nombres réels sont des
nombres complexes : $\bbr\subset\bbc$. 

\pause


Nous allons pouvoir associer à chacun de ces nombres réels un point du plan et donc associer des transformations du plan à des calculs dans $\bbc$ : on va résoudre des problèmes de géométrie par le calcul.
\end{frame}











\section{Vocabulaire et premières propriétés}

\begin{frame}
  \frt{ L'ensemble ${\mathbf \bbc}$ }



\begin{theorem}
On  définit un ensemble $\bbc$ 
\begin{itemize}
\item muni d'une addition et d'une multiplication qui prolongent celles de $\bbr$
\item contenant un nombre $i$ vérifiant $i^2=-1$ 
\item tel que chaque élément $z$ de $\bbc$ peut s'écrire de manière \textbf{unique} sous la forme   $$z=a+ib \quad \text{avec } a \text{ et } b \text{ des nombres réels}$$
\end{itemize}
\end{theorem}


\end{frame}



\subsection{Forme algébrique}


\begin{frame}

Cette écriture unique est appelée \textbf{forme algébrique} du réel $z$.


\pause


Le nombre $a$ est appellé \textbf{partie réelle} de  $z$ et notée $\RR e(z)$


\pause




Le nombre $b$ est appellé \textbf{partie imaginaire} de  $z$ et notée $\IR m(z)$


\end{frame}

\subsection{\`A quoi sert l'unicité de la forme algébrique ?}


\begin{frame}
  
Par exemple, après maints calculs savants, vous arrivez au résultat $ 2x+3y-5+i(7x-32y+1)=0$ avec $x$ et $y$ des réels.
\end{frame}


\begin{frame}
  
Ainsi, une équation complexe revient à deux équations réelles ( bienvenue dans la deuxième dimension... ) et donc 

$$ 2x+3y-5+i(7x-32y+1)=0 \Longleftrightarrow \begin{cases} 2x+3y-5=0\\ 7x-32y+1=0\end{cases}$$

\end{frame}




\subsection{Le plan complexe}


\begin{frame}
  
Nous avons vu que chaque nombre complexe peut être associé à un point du plan qu'on munit d'un repère $\pa{O,\ve{e_1},\ve{e_2}}$

\begin{center}
  \includegraphics{limfonc.34}
\end{center}


\end{frame}



\subsection{Premiers calculs géométriques}



\begin{frame}
  \begin{Property}
$z_{\ve{u}+\ve{v}}=z_{\ve{u}}+z_{\ve{v}}$
\end{Property}
\end{frame}


\begin{frame}
  

 De même, si $\la$ est un nombre réel 

 \begin{Property}
 $z_{\la \ve{u}}=\la z_{\ve{u}}$
\end{Property}

\end{frame}



\begin{frame}
  Alors, si  $I$ est le \textbf{milieu} du segment $[A,B]$, on a


 \begin{Property}
 $z_I=\ud(z_A+z_B)$
\end{Property}


\end{frame}



\begin{frame}
   Plus généralement, si $G$ est le barycentre du système $\Big\{(A_1,\al_1),(A_2,\al_2),\cdots,(A_n\al_n)\Big\}$ alors 
\begin{Property}
$z_G=\fr{\al_1z_{A_1}+\al_2z_{A_2}+\cdots \al_nz_{A_n}}{\al1+\al2+\cdots\al_n}$
\end{Property}
\end{frame}

\begin{frame}
  Pour tous points $A$ et $B$ 
\begin{Property}
$z_{\ve{AB}}=z_B-z_A$

\end{Property}
\end{frame}

\subsection{Conjugué d'un complexe}


\begin{frame}
\begin{Definition} 
 On appelle conjugué du nombre complexe $z=a+ib$ le nombre $$\overline{z}=a-ib$$
\end{Definition}



\begin{center}
  \includegraphics{limfonc.35}
\end{center}


\end{frame}




\begin{frame}
  \begin{Property}

    \begin{itemize}
    \item $M(z)$ et $M'(\overline{z})$ sont symétriques par rapport à l'axe $(O,\ve{e_1})$
\item $\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$
\item $\overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\ \, \overline{z_2}$
\item $\overline{\overline{z}}=z$
\item $z\in\bbr\Longleftrightarrow z=\overline{z}$
\item $z\in i\bbr\Longleftrightarrow z=-\overline{z}$
\item $\RR e(z)=\ud(z+\overline{z})$
\item $\IR m(z)=\ud(z-\overline{z})$
\item Si $z=a+ib$, alors $z\overline{z}=a^2+b^2$
    \end{itemize}
\end{Property}
\end{frame}



\subsection{\`A quoi servent les conjugués ?}






\begin{frame}
  \frt{\`A montrer qu'un complexe est un réel}
En effet, si on arrive à montrer que $\overline{z}=z$, alors on en conclut que $z$ est réel.
\end{frame}


\begin{frame}
  \frt{\`A rendre réel des dénominateurs pour obtenir des formes algébriques}
En effet, $$z\cdot\overline{z}=(a+ib)(a-ib)=a^2-(ib)^2=a^2+b^2$$

\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{Exercise}
Donnez la forme algébrique de l'inverse de $2+i$
\end{Exercise}
\end{frame}



\subsection{Module d'un nombre complexe}


\begin{frame}
\begin{Definition}Le module du complexe  $z$ est le réel positif noté $|z|$ tel que $$|z|=\sqrt{z\ \,\overline{z}}$$ 
 
\end{Definition}

\end{frame}



\begin{frame}
  \begin{remarques}
    \begin{itemize}
    \item Cette définition en est bien une car $z\ \,\overline{z}=a^2+b^2$ d'après notre étude sur les conjugués. 
\item Si $a$ est un réel, $|a|=\sqrt{a\ \,\overline{a}}=\sqrt{aa}=\sqrt{a^2}$ car $\overline{a}=a$. Donc le module de $a$ est bien la valeur absolue de $a$ et notre notation est cohérente.

La notion de module dans $\bbc$ généralise donc celle de valeur absolue dans $\bbr$.
    \end{itemize}
\end{remarques}
\end{frame}




\subsubsection{Interprétation géométrique}


\begin{frame}
  \begin{center}
  \includegraphics{limfonc.36}
\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{Property}
$\ab{z_M}=\Vert\ve{OM}\Vert=OM\qquad \ab{z_{\ve{u}}}=\Vert \ve{u}\Vert $
\end{Property}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{Property}
\begin{itemize}
\item $\ab{\overline{z}}=\ab{z}$
\item $\ab{z}=0\ssi  z=0$
\item $\ab{z_1\cdot z_2}=\ab{z_1}\cdot\ab{z_2}$
\item $\RR e(z)\ie \ab{z}$
\item $\IR m(z)\ie \ab{z}$
 \end{itemize}

\end{Property}
\end{frame}




\section{Résolution d'équations du second degré}


\subsection{Résolution de $ax^2+bx+c=0$ avec  a, b  et  c  des réels}


\begin{frame}
  \begin{Theorem}

L'équation $ax^2+bx+c=0$ admet toujours des solutions sur $\bbc$. \\
Notons $\Delta=b^2-4ac$ le \textbf{discriminant} de l'équation 
\begin{itemize}
\item Si $\Delta=0$, il existe une unique solution $x=-\fr{b}{2a}$
\item Si $\Delta>0$, il existe deux solutions réelles  $x=\fr{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$
\item Si $\Delta<0$, il existe deux solutions complexes conjuguées $x=\fr{-b\pm
    i\sqrt{-\Delta}}{2a}$

\end{itemize}
\end{Theorem}
\end{frame}



\section{Forme trigonométrique}

\subsection{Argument d'un complexe non nul}

\subsubsection{Forme trigonométrique}
\begin{frame}
  \begin{center}
  \includegraphics{limfonc.37}
\end{center}


 $(r,\theta)$ étant le couple de coordonnées polaires de l'image $M$ de $z$, on a $z=r\cos\theta+ir\sin\theta$ déterminé de manière unique, car c'est en fait une forme algébrique déguisée : on l'appelle \textbf{forme trigonométrique} du complexe $z$.


\end{frame}




\subsubsection{Congruence modulo 2$\pi$}

\begin{frame}
\begin{Definition}

$x\equiv y[2\pi]\ssi \text{ il existe } k\in\bbz \text{ tel que } x=y+2k\pi$

\end{Definition}
\end{frame}


\subsubsection{Relations entre forme algébrique et forme trigonométrique}


\begin{frame}
  
Soit $z$ le complexe de forme algébrique $a+ib$ et de forme trigonométrique
$r\pa{\cos\theta+i\sin\theta}$ alors~:

\begin{itemize}
\item $a=r\cos\theta\qquad b=r\sin\theta$
\item $r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$
\end{itemize}

\end{frame}

\subsubsection{Des formes trigonométriques de référence}

\begin{frame}


\begin{itemize}
\item $1=\cos 0+i\sin 0$  donc $|1|=1$ et $\arg(1)\equiv 0[2\pi]$
\item $i=\cos\pa{\fr{\pi}{2}}+i\sin\pa{\fr{\pi}{2}}$  donc $|i|=1$ et $\arg(i)\equiv\pa{\fr{\pi}{2}}[2\pi]$
\item $|1+i|=\sqrt{2}$ et $1+i=\sqrt{2}\pa{\fr{\sqrt{2}}{2}+i\fr{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}\pa{\cos\pa{\fr{\pi}{4}}+i\sin\pa{\fr{\pi}{4}}}$ 
donc $\arg(1+i)\equiv\pa{\fr{\pi}{4}}[2\pi]$
\item $|\sqrt{3}+i|=2$ et $\sqrt{3}+i=2\pa{\fr{\sqrt{3}}{2}+\ud i}=2\pa{\cos\pa{\fr{\pi}{6}}+i\sin\pa{\fr{\pi}{6}}}$ 
donc $\arg(\sqrt{3}+i)\equiv\pa{\fr{\pi}{6}}[2\pi]$
\end{itemize}

\end{frame}



\subsection{Correspondance forme algébrique / forme trigonométrique}


\begin{frame}


\begin{itemize}
\item $a=r\cos\theta\qquad b=r\sin\theta$

\item $r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$
\end{itemize}

\end{frame}






\subsection{Opérations sur les formes trigonométriques}

\begin{frame}
  \begin{Property}
$\arg(zz')=\arg(z)+\arg(z') \,[2\pi]$
\end{Property}
\end{frame}



\begin{frame}
  \begin{Property}
    \begin{itemize}
    \item $\arg(zz')=\arg(z)+\arg(z') \,[2\pi]$
\item $\arg(z^n)=n\arg(z)\,[2\pi]$
\item $\arg\pa{\fr{1}{z}}=-\arg(z)\,[2\pi]$
\item $\arg\pa{\fr{z}{z'}}=\arg(z)-\arg(z')\,[2\pi]$
\item $\arg(\overline{z})=-\arg(z)\,[2\pi]$
\item $\arg(-z)=\pi+\arg(z)\,[2\pi]$
    \end{itemize}
\end{Property}
\end{frame}



\begin{frame}

\frt{Formule de Moivre}
  \begin{Theorem}
$$\pa{\cos \theta+j\sin\theta}^n=\cos(n\theta)+j\sin(n\theta)$$
\end{Theorem}
\end{frame}







\section{Les objets géométriques et les complexes}



\begin{frame}
  Comment caractériser un cercle ?
\end{frame}




\begin{frame}
  Comment caractériser un triangle isocèle ?
\end{frame}






\begin{frame}
  Comment caractériser un triangle rectangle ?
\end{frame}



\begin{frame}
  Comment caractériser les différents quadrilatères ?
\end{frame}


\begin{frame}
  Que représente $z-32+5i$ ?
\end{frame}

\begin{frame}
  Comment interpréter $|z-32+5i|=3$ ?
\end{frame}

\begin{frame}
  Comment interpréter $|32+iz|=5$ ?
\end{frame}




\begin{frame}
  Comment interpréter $|z-a|=|z-b|$ ?
\end{frame}





\begin{frame}
  Que se cache-t-il derrière le quotient $\fr{z_C-z_A}{z_B-z_A}$ ?
\end{frame}



\begin{frame}
  Comment interpréter $\pa{MA,MB }equiv\fr{\pi}{2}[\pi]$ ?
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{Exercise}
\begin{center}
  \includegraphics{complexe1.eps}
\end{center}
\end{Exercise}
\end{frame}






\begin{frame}
  \begin{Exercise}
\begin{center}
  \includegraphics{complexe2.eps}
\end{center}
\end{Exercise}
\end{frame}





\end{document}
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%%% End: 
