\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[height=250mm,width=183mm]{geometry}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[upright]{fourier}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsbsy,amsfonts,amstext,amscd,amsopn,amsxtra}
\usepackage{listings,keystroke}
\usepackage{xcolor,hyperref,calc}
\usepackage[french]{varioref}
\usepackage[dvips,final]{graphicx}
\usepackage[xcas]{tablor}
%\usepackage{bold-extra,fancyvrb}
%\usepackage{luximono}
\newcommand{\ie}{\leqslant}  % inferieur ou egal
\newcommand{\se}{\geqslant}  % superieur ou egal
% %%% Place verticale dans un tableau
\newcommand{\vtab}[1][1]{\rule[-0.9em*\real{#1}]{0pt}{2.2em*\real{#1}}}
% %%% Intégration par parties dans l'ordre u,v',u',v
\newcommand{\intpp}[4]{%
	$\left\{%
	\begin{matrix}
	\vtab u(x) = #1 & \vtab u'(x) = #3 \\
	\stackrel{}{ v'(x) = #2} & \stackrel{}{v(x) = #4} \\
	\end{matrix}
	\right.$}

% vecteur
\DeclareRobustCommand{\ve}[1]{%
\overrightarrow{\rule{0em}{1.8ex} #1 \rule{0.15em}{0ex}}}

\newcommand\bbz{\mathbb{Z}}

\newcommand\bbn{\mathbb{N}}

\lstset{numbers=none,language=XCAS,xleftmargin=10pt,%
keywordstyle =\color{red}\usefont{OT1}{cmtt}{b}{n},basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{red},commentstyle=\normalfont\scriptsize\slshape,breaklines=true,backgroundcolor=\color{0.9white}}


\newcommand{\MarqueCommandeGiac}[1]{%
    \color{red}$>\ $}
\newcommand{\MarqueLaTeXGiac}{%
    \color{blue}}
\newcommand{\InscriptionFigureGiac}[1]{%
    \begin{center}
	\includegraphics[width=0.7\linewidth]{#1}
    \end{center}}

\definecolor{0.6white}{rgb}{0.6,0.6,0.6}
\definecolor{0.4white}{rgb}{0.4,0.4,0.4}
\definecolor{0.8white}{rgb}{0.8,0.8,0.8}
\definecolor{0.2white}{rgb}{0.2,0.2,0.2}
\definecolor{0.9white}{rgb}{0.9,0.9,0.9}
%% On redéfinit l'allure des sections en gardant \section, etc.

\usepackage{sectsty}


\sectionfont{\LARGE \sffamily\color{0.2white}}
\subsectionfont{\sffamily\color{0.4white}}
\renewcommand\thesection{\Roman{section} -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection}. }
\subsubsectionfont{\sffamily\color{0.6white}}
\renewcommand\thesubsubsection{\alph{subsubsection}. }


% Exercice
\newcounter{ex}
\newenvironment{exercice}[1][]{%
	\pagebreak[3]
        \refstepcounter{ex}
	\vspace{0.5em}
	{\large \textbf{\textsc{\textcolor{0.6white}{Exercice \theex}}}}
	\qquad{\large \textsl{#1}}
	\nopagebreak[4]}%
	{\par\addvspace{1em}}



\title{Corrigé Bac S spécialité France juin 2008\\
           à l'aide de XCAS}

\author{Guillaume CONNAN\\ \href{http://gconnan.free.fr}{http://gconnan.free.fr}}

\begin{document}


\setlength{\parindent}{0mm}

\maketitle

\initablor[tab]








%%%%%%% Ex1


\begin{exercice}



\begin{enumerate}
\item
%@Commande-1
\begin{lstlisting}
I:=Int(ln(x),x,1,e)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \int _{1}^{e^{1}}\ln\left(x\right)\, dx \]}}

%@Commande-2
\begin{lstlisting}
J:=Int((ln(x))^2,x,1,e)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \int _{1}^{e^{1}}\ln\left(x\right)^{2}\, dx \]}}

  \begin{enumerate}
  \item 
%@Commande-3
\begin{lstlisting}
F(x):=x*ln(x)-x
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[\text{(x)\(\rightarrow\)x*ln(x)-x}\]}}

%@Commande-4
\begin{lstlisting}
deriver(F(x))
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \ln\left(x\right)+1-1 \]}}

On en déduit I~:

%@Commande-5
\begin{lstlisting}
simplifier(F(e)-F(1))
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ 1 \]}}


\item Intégrons par parties J~: \intpp{\ln(x)}{\ln(x)}{\frac{1}{x}}{F(x)}

On obtient~:

\[J=\Bigl[\ln(x)F(x)\Bigr]_1^{\rm e}-\int_1^{\rm e}\ln(x)-1\,{\rm d}x=0-I+({\rm e}-1)={\rm e}-1-I\]

Or $I=1$ donc finalement \fbox{$J={\rm e}-2I$}.

\item On en déduit que $J=e-2$

On vérifie à l'aide de XCAS~:

%@Commande-6
\begin{lstlisting}
int((ln(x))^2,x,1,e)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ e^{1}-2 \]}}


\item Par lecture du graphique,\fbox{ $A=\int_1^{\rm e}f(x)-g(x)\,{\rm d}x=I-J=3-{\rm e}$}

On vérifie à l'aide de XCAS~:

%@Commande-7
\begin{lstlisting}
int(ln(x)-(ln(x))^2,x,1,e)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ -\left(e^{1}\right)+3 \]}}


  \end{enumerate}

\item Les coordonnées de M sont $(x,\ln(x))$ et celles de N $(x,(\ln(x))^2)$ donc \[MN=\ln(x)-(\ln(x))^2=f(x)-g(x)\]

Notons $d=f-g$. Étudions la fonction $d$ sur $[1\,;\,{\rm e}]$.

%@Commande-8
\begin{lstlisting}
d(x):=ln(x)-(ln(x))^2
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[\text{(x)\(\rightarrow\)ln(x)-ln(x)\^{}2}\]}}

Calculons $d'(x)$~:

%@Commande-9
\begin{lstlisting}
dp:=factoriser(deriver(d(x)))
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \frac{(-\left(2\ln\left(x\right)\right)+1)}{x} \]}}

Étudions son signe~:

%@Commande-10
\begin{lstlisting}
resoudre(dp>0)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ [(x>0)\mbox{ and }(x<(e^{\frac{1}{2}}))] \]}}

Calculons les valeurs particulières~:

%@Commande-11
\begin{lstlisting}
d(1),d(exp(1/2)),d(e)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ 0,\frac{1}{4},0 \]}}

On en déduit le tableau suivant~:

\begin{center}
\begin{TV}
TV([1,e],[],"d","x",ln(x)-(ln(x))^2,1,\tv)
\end{TV}
\end{center}

Le maximum est donc atteint en ${\rm e}^{\frac{1}{2}}$ et vaut $\frac{1}{4}$
\end{enumerate}

\end{exercice}







%%%%%%% Ex 2




\begin{exercice}

On vide les mémoires~:

%@Commande-12
\begin{lstlisting}
restart(NULL):;
\end{lstlisting}


\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item 
%@Commande-13
\begin{lstlisting}
A:=point(1,1,0):;B:=point(1,2,1):;C:=point(3,-1,2):;
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \mbox{Done},\mbox{Done},\mbox{Done} \]}}

%@Commande-14
\begin{lstlisting}
coordonnees(vecteur(A,B))
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ [0,1,1] \]}}

%@Commande-15
\begin{lstlisting}
coordonnees(vecteur(A,C))
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ [2,-2,2] \]}}

Les coordonnées des deux vecteurs n'étant pas  proportionnelles, on en déduit que les points ne sont
pas alignés.

\item On vérifie que A, B et C appartiennent au plan d'équation $2x+y-z-3=0$.

%@Commande-16
\begin{lstlisting}
f(C):=2*C[0]+C[1]-C[2]-3:;
\end{lstlisting}

%@Commande-17
\begin{lstlisting}
f(coordonnees(A)), f(coordonnees(B)), f(coordonnees(C))
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ 0,0,0 \]}}

Les points étant non-alignés, ils définissent le plan.

\end{enumerate}
\item On résout le système  $\begin{cases}x+2y-z-4=0\\ 2x+3y-2z-5=0\end{cases}$ en prenant $z$ comme
paramètre~:

%@Commande-18
\begin{lstlisting}
resoudre([x+2*y-t-4=0,2*x+3*y-2*t-5=0],[x,y])
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \left(\begin{array}{cc}
t-2 & 3
\end{array}\right)  \]}}

\item Comme $(P)\cap (Q)=(D)$, l'intersection des trois plans est donc égale à $(ABC)\cap(D)$.

Un point de (D) ayant pour coordonnées $(-2+t,3,t)$,  il appartient à (ABC) si, et seulement si, ses
coordonnées vérifient l'équation de (ABC)~:

%@Commande-19
\begin{lstlisting}
resoudre(f([-2+t,3,t])=0,t)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ [4] \]}}

On obtient $t=4$ : les trois plans se coupent donc au point de coordonnées $(2,3,4)$.

On vérifie avec XCAS~:

%@Commande-20
\begin{lstlisting}
resoudre([x+2*y-z-4=0,2*x+3*y-2*z-5=0,f([x,y,z])=0],[x,y,z])
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \left(\begin{array}{ccc}
2 & 3 & 4
\end{array}\right)  \]}}

\item Soit H le projeté orthogonal de A sur (D). Alors la distance cherchée est égale à AH.

Comme H appartient à (D), il existe un réel $t$ tel que les coordonnées de H soient $(-2+t,3,t)$.

Un   vecteur   directeur   $\ve{u}$   de   (D)   a   pour   coordonnées   $(1,0,1)$.   On   a   donc
$\ve{AH}\cdot\ve{u}=O$.  Le réel  $t$  est donc  solution  de l'équation  $(-2+t)\times 1+3\times  0
+t\times 1=0$. 

%@Commande-21
\begin{lstlisting}
H:=point(-2+h,3,h):;
\end{lstlisting}

%@Commande-22
\begin{lstlisting}
S:=resoudre(produit_scalaire(vecteur(A,H),vecteur([1,0,1]))=0,h)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ [\frac{3}{2}] \]}}


%@Commande-23
\begin{lstlisting}
H:=point(-2+S[0],3,S[0]):;coordonnees(vecteur(A,H))
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \mbox{Done},[\frac{-3}{2},2,\frac{3}{2}] \]}}

%@Commande-24
\begin{lstlisting}
distance(A,H)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \frac{\sqrt{34}}{2} \]}}

On vérifie~:

%@Commande-25
\begin{lstlisting}
D:=droite([-2+t,3,t],t):;
\end{lstlisting}

%@Commande-26
\begin{lstlisting}
distance(A,D)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \frac{\sqrt{34}}{2} \]}}

\end{enumerate}


Voici la figure~:

\begin{lstlisting}
P:=color(plan(x+2*y-z-4=0),jaune+rempli);
Q:=color(plan(2*x+3*y-2*z-5=0),cyan+rempli);
ABC:=color(plan(2*x+y-z-3=0),magenta+rempli);
D:=inter(P,Q)[0];
I:=inter(D,ABC);
A:=point(1,1,0);
H:=projection(D,A);
segment(A,H);
\end{lstlisting}

\begin{center}
  \includegraphics[width=\textwidth]{BacScorr.eps}
\end{center}


\end{exercice}





%%%%%%%%%% Ex 3

\begin{exercice}

%@Commande-27
\begin{lstlisting}
restart(NULL):;
\end{lstlisting}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $R(t)=1-P(X\ie  t)=1-\int_O^t\lambda{\rm e}^{-\lambda x}\,{\rm  d}x=1-\Bigl[-{\rm e}^{-\lambda
x}]_0^t=1-\left(-{\rm e}^{-\lambda t}+1\right)={\rm e}^{-\lambda t}$

%@Commande-28
\begin{lstlisting}
assume(t>0):;
\end{lstlisting}

%@Commande-29
\begin{lstlisting}
R(t):=simplifier(1-int(k*exp(-k*x),x,0,t)):;
\end{lstlisting}

%@Commande-30
\begin{lstlisting}
R(t)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ e^{-\left(kt\right)} \]}}

\item
$P_{X>t}(X>t+s)=\frac{P\bigl((X>t)\cap(X>t+s)\bigr)}{P(X>t)}=\frac{P(X>t+s)}{P(X>t)}=\frac{R(t+s)}{R(t)}=\frac{{\rm
e}^{-\lambda (t+s)}}{{\rm e}^{-\lambda t}}={\rm e}^{-\lambda (t+s-t)}=R(s)$ qui est indépendant de $t$.

\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item $P(X\ie t)=1-R(t)$ donc~:

%@Commande-31
\begin{lstlisting}
k:=0.00026:;
\end{lstlisting}

%@Commande-32
\begin{lstlisting}
1-R(1000)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[      0.228948 \]}}

%@Commande-33
\begin{lstlisting}
R(1000)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[      0.771052 \]}}

\item Comme $P_{X>1000}(X>1000+1000)=R(1000)$, on a $P_{X>1000}(X>2000)\simeq 0,771051585804$

\item On cherche à calculer 


 $P_{X>2000}(X\ie  3000)=1-P_{X>2000}(X>   3000)=1-P_{X>2000}(X>
2000+1000)=1-R(1000)=P(X\ie 1000)\simeq 0,228948414196$

\end{enumerate}



\end{enumerate}
\end{exercice}

%%%%%%%%%% Ex 4

\begin{exercice}[Spécialité]

%@Commande-34
\begin{lstlisting}
restart(NULL):;
\end{lstlisting}

\begin{enumerate}
\item Sachant  que $(1\,;\,-1)$ est une  solution évidente, on  obtient le résultat en  utilisant le
théorème de Gauss.

\item On se place en mode complexe~:

%@Commande-35
\begin{lstlisting}
complex_variables:=1:; complex_mode:=1:;
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \mbox{Done},\mbox{Done} \]}}

%@Commande-36
\begin{lstlisting}
za:=1-i:; zb:=7+7*i/2:; z1:=-2+3*i:;
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \mbox{Done},\mbox{Done},\mbox{Done} \]}}

L'angle de la similitude est $\bigl(\ve{AB},\ve{AM})$  et le rapport vaut $\frac{AM}{AB}$. Il s'agit
donc de calculer le module et l'argument de $Z=\frac{z_1-z_A}{z_B-z_A}$

%@Commande-37
\begin{lstlisting}
Z:=(z1-za)/(zb-za)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \frac{2*i}{3} \]}}

%@Commande-38
\begin{lstlisting}
arg(Z)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \frac{\pi }{2} \]}}

%@Commande-39
\begin{lstlisting}
abs(Z)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \frac{2}{3} \]}}


\item Soit $f$ l'application  complexe associée à $s$. Elle est de  la forme a$z+$b~:~il s'agit donc
d'une similitude directe.

%@Commande-40
\begin{lstlisting}
f(z):=Z*z+1/3-5*i/3
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[\text{(z)\(\rightarrow\)Z*z+1/3-5*(i)/3}\]}}

%@Commande-41
\begin{lstlisting}
f(za)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ 1-i \]}}

Le point  A est  donc invariant par  $s$. Or $s$  n'est pas l'identité  donc A  est le centre  de la
similitude directe.  Son rapport vaut $|Z|=\frac{2}{3}$ et  son angle $\arg(Z)=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\
k\in\bbz$.

\item
\begin{enumerate}
\item  A  étant   le  centre  de  la
similitude,           on           a
$\frac{s(AB_n)}{AB_n}=\frac{2}{3}$
et donc \[AB_{n+1}=\frac{2}{3}AB_n\]
\item   Notons   $(d_n)$  la   suite
définie  par $d_n=AB_n$.  D'après ce
qui  précède, $(d_n)$ est  une suite
géométrique  de raison $\frac{2}{3}$
et de premier terme

%@Commande-42
\begin{lstlisting}
abs(zb-za)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ \frac{15}{2} \]}}

 $d_0=AB=\frac{15}{2}$

On a donc \[d_n=\frac{15}{2}\times \left(\frac{2}{3}\right)^n\]

On  cherche  donc  à  résoudre  dans
$\bbn$ l'équation $d_n\ie 10^{-2}$

%@Commande-43
\begin{lstlisting}
no:=resoudre((15/2)*(2/3)^n<=10^(-2),n)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ [n\geq (\frac{\ln\left(\frac{1}{750}\right)}{\ln\left(\frac{2}{3}\right)})] \]}}

%@Commande-44
\begin{lstlisting}
evalf(no)
\end{lstlisting}
{\MarqueLaTeXGiac{\[ [n\geq     16.327109] \]}}

Donc l'entier cherché est 17.

\item Les  points A, $B_1$  et $B_n$
sont alignés si, et seulement si,
$\left(\ve{AB_1},\ve{AB_n}\right)\equiv
0[\pi]$ c'est-à-dire


$\arg\left(\frac{z_n-z_A}{z_1-z_A}\right)=k\pi,
\ k\in\bbz$


Or       $z_{n+1}-z_A=\frac{2}{3}{\rm
i}z_n-\frac{2}{3}-\frac{2}{3}{\rm i}=\frac{2}{3}{\rm
i}\left(z_n-z_A\right)$.    On    en
déduit                            que
$z_n-z_A=\left(\frac{2}{3}{\rm i}\right)^{n-1}(z_1-z_A)$
et              donc             que
$\arg\left(z_n-z_A\right)=(n-1)\frac{\pi}{2}+\arg(z_1-z_A)+2k'\pi\
k'\in\bbz$.

On obtient donc $(n-1)\frac{\pi}{2}+2k'\pi=k\pi$
c'est-à-dire $n=2(k'-2k)+1$ ou encore $n$ est impair.

Vérifions à l'aide de XCAS~:

%@Commande-45
\begin{lstlisting}
s:=similitude(za,2/3,pi/2):;
\end{lstlisting}

Pour obtenir l'affixe de l'image de $z_B$ par la composée d'ordre $10$ de $s$, on entre


%@Commande-46
\begin{lstlisting}
(s@@10)(zb):;
\end{lstlisting}

%@Commande-47
\begin{lstlisting}
couleur(legende(za,"A"),bleu+epaisseur_point_3),
droite(point(za),s(zb)), // la droite (AB1),
seq(couleur(legende((s@@k)(zb),"B"+k),red+epaisseur_point_2),k=1..9)
\end{lstlisting}
\InscriptionFigureGiac{BacScorr-01.eps}    

On remarque que les points de rang impair semblent appartenir à la droite $(AB_1)$.



\end{enumerate}



\end{enumerate}


\end{exercice}


\nettoyer

\end{document}



