\documentclass[a4paper,12pt]{article}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% ZONE ROUGE : intervention très fortement deconseillee
\usepackage[latin1]{inputenc}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% ZONE ORANGE : intervention deconseillee
\parindent=0pt
\textwidth 17.0cm
\textheight25.0cm
\hoffset-1.0cm
\voffset-3.0cm
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% ZONE VERTE : Intervention obligatoire
%%% ADAPTER SUIVANT LA NATURE DE L'EPREUVE
\def\Exam{BACCALAUR\'EAT BLANC}
\def\Serie{S}
\def\Session{Session 2008}
\def\Discipline{MATH\'EMATIQUES}
\def\Option{Enseignement de spécialité}
\def\Duree{Dur\'ee de l'épreuve : 4 heures}
\def\Coef{Coefficient : 9}
\def\Code{MASSINSP1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\newcounter{nexo}
\setcounter{nexo}{1}
\renewcommand{\Exo}[1]{{\bf \large EXERCICE \arabic{nexo} (#1
\ifthenelse{#1  < 2}{point}{points} )}
\addtocounter{nexo}{1} \par \medskip}
\newcommand{\Pb}[1]{\centerline{\bf \large PROBL\`EME  (#1
\ifthenelse{#1  < 2}{point}{points} )}
\par \medskip}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% ZONE BLEUE : Intervention parfois utile mais a faire prudemment
%%% TOUT COMMENTER OU TOUT DECOMMENTER
\rput{45}(7.5,-13){
       \psframebox[linecolor=white,linewidth=0pt]{
       \font\bigpala=pplb at 2.5cm
       \pscharpath[linestyle=none,linecolor=white,
       fillstyle=solid, fillcolor=lightgray]%
       {\bigpala S~p~é~c~i~a~l~i~t~é}}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% ZONE BLEUE : Intervention parfois utile mais a faire prudemment
%%% FAIRE UN CHOIX (3 choix possibles)
%%% 1)
{\bf \large \Code \hfill \Session \quad ~}
%%% 2)
%{\bf \large \hfill \Code \quad ~}
%%% 3)
%{\bf \large \hfill  \quad ~}
%
\vskip 3cm
%
%%% FAIRE UN CHOIX (3 choix possibles)
%%% 1)
\centerline{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
{\bf \LARGE \black \Exam}}
%%% 2)
%\centerline{\psframebox{\bf \LARGE  \Exam}}
%%% 3)
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%
\vskip 1.5cm
%
\centerline{\bf \Large \Session}
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\vskip 1.5cm
%
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%
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%
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%
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%
\centerline{\bf \LARGE \Option}
%
\vskip 0.7cm
%
\centerline{\bf \Large \it \Duree}
%
\vskip 0.7cm
%
\centerline{\bf \Large \it \Coef}
%
\vskip 1.5cm
%
%%% FAIRE UN CHOIX (2 choix)
%%% 1)
\centerline{Les calculatrices électroniques de poche sont
autorisées conformément à la loi en vigueur.}
%%% 2)
%\centerline{Les calculatrices sont interdites.}
%
\vskip 0.5 cm
%
%\centerline{Autre indication éventuelle}
%
\vskip 1.5cm
%
%
\centerline{\psframebox{\it \begin{tabular}{c}
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. \\
Le candidat doit traiter tous les exercices. \\
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements\\ entreront pour une part
importante dans l'appréciation des copies.
\end{tabular}}}
%
\vskip 0.7cm
%
{\it Avant de composer, le candidat s'assurera que le sujet comporte  
bien 4
pages numérotées de 1 à 4.}

\pagebreak

\Exo{5}

Un employ\'e se rend \`a son travail. S'il est \`a l'heure il prend le bus  de 
ramassage gratuit mis \`a  disposition par l'entreprise, s'il est en  retard 
il prend le bus de la ville  et il lui en coûte 1,50 \texteuro.\\
Si l'employ\'e est \`a l'heure un jour donn\'e, la probabilit\'e qu'il soit en
 retard le lendemain est $\dfrac{1}{5}$, s'il
est en retard un jour donn\'e la probabilit\'e qu'il soit en retard le 
lendemain est $\dfrac{1}{20}$.\\
Pour tout entier naturel non nul $n$, on appelle $R_n$ l'\'ev\`enement :
\og l'employ\'e est en retard le jour $n$ \fg{}. On note  $p_n$, la probabilit\'e de 
$R_n$ et $q_n$, celle de $\overline{R_n}$. On suppose que $p_{1} = 0$.

\begin{enumerate}\item D\'etermination  d'une relation de r\'ecurrence.
 
\begin{enumerate}\item D\'eterminer les probabilit\'es conditionnelles 
$p_{R_n}\left(R_{n+1}\right)$ et $p_{\overline{R_n}}\left(R_{n+1}\right)$.

\item D\'eterminer $p\left(R_{n+1} \cap R_n\right)$ en fonction de $p_n$ et 
$p\left(R_{n+1} \cap \overline{R_n}\right)$ en fonction de $q_n$

\item Exprimer $p_{n+1}$ en fonction de $p_n$ et de $q_n$.

\item En d\'eduire que $p_{n+1} = \dfrac{1}{5} - \dfrac{3}{20}p_n$.

\end{enumerate}

\item \'Etude de la suite $\left(p_n\right)$.

Pour tout entier naturel non nul $n$, on pose $v_n = p_n - \dfrac{4}{23}$.

\begin{enumerate}
\item  D\'emontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite g\'eom\'etrique de raison $- 
\dfrac{3}{20}$.

\item   Exprimer  $v_n$ puis $p_n$ en fonction de $n$.

\item   Justifier que la suite $\left(p_n\right)$ est convergente et calculer sa
 limite.
 \end{enumerate}
 
 \end{enumerate}

\vspace{1cm}


 
\Exo{5}

\textsl{L'exercice comporte une annexe,  \`a rendre avec la copie.}\\
A et C sont deux points distincts du plan ; on note $\Gamma$ le cercle de 
diam\`etre [AC] et O le centre de $\Gamma$ ; $B$ est un point du cercle $\Gamma$
distinct des points A et C.\\
Le point $D$ est construit tel que le triangle $B$C$D$ soit \'equilat\'eral 
direct ; on a donc
$$\left(\ve{B\text{C}},~\ve{BD}\right) = + \dfrac{\pi}{3} \quad  [2\pi]$$
Le point $G$ est le centre de gravit\'e du triangle $B$C$D$.\\
Les droites (A$B$) et (C$G$) se coupent en un point $M$.

\vspace{0,25cm}

\noindent \textbf{Partie A}

\begin{enumerate} \item Placer les points $D,~ G$ et $M$ sur la figure de la
    feuille annexe.

\item Montrer que les points O, $D$ et $G$ appartiennent  \`a la m\'ediatrice 
du segment [BC] et que le point $G$ est le milieu du segment [C$M$].

\item D\'eterminer l'angle et le rapport de la similitude directe $s$ de 
centre C transformant $B$ en $M$.

\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\noindent \textbf{Partie B}\\
Dans cette question, le plan est muni d'un rep\`ere orthonorm\'e 
direct \ouv~ choisi de telle sorte que les points A et C aient pour affixes
respectives $- 1$ et 1.\\
Soit $E$ le point construit pour que le triangle AC$E$ soit 
\'equilat\'eral direct ; on a donc
$$\left(\ve{\text{AC}},~\ve{\text{A}E}\right) = + 
\dfrac{\pi}{3} \quad  [2\pi]$$

\begin{enumerate} \item Calculer l'affixe du point $E$ et construire le point $E$
    sur la feuille annexe.

\item Soit $\sigma$	la similitude directe d'expression complexe $z' = 
\dfrac{3 + \text{i}\sqrt{3}}{4}z + \dfrac{1 - \text{i}\sqrt{3}}{4}$.

D\'eterminer les \'el\'ements caract\'eristiques de $\sigma$ et en d\'eduire que $\sigma$ est la 
similitude r\'eciproque de $s$.

\item Montrer que l'image $E'$ du point $E$ par $\sigma$ a pour 
affixe $- \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et 
montrer que le point $E'$ appartient au cercle $\Gamma$.

\item On note $\mathcal{C}$ le lieu des points $M$ lorsque le point 
$B$ d\'ecrit le cercle $\Gamma$ priv\'e des points A et C.

Montrer que le point $E$ appartient  \`a $\mathcal{C}$.

Soit O$'$ l'image du point O par la similitude $s$. D\'emontrer que le 
point O$'$ est le centre de gravit\'e du triangle AC$E$. 

En d\'eduire une construction de $\mathcal{C}$.

\end{enumerate}

\vspace{2cm}



\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)
\SpecialCoor
\rput(3.4;90){\textbf{Annexe sp\'ecialit\'e}}
\pscircle(0;0){3}
\uput[r](3;0){C}  \uput[l](3;180){A} \uput[ur](3;40){B}
\psline(2.9;0)(3.1;0) \psline(2.9;180)(3.1;180) \psline(2.9;40)(3.1;40)
\uput[dl](3;-120){$\Gamma$}
\end{pspicture} 
\end{center}


\vspace{1cm}


 
\Exo{5}


\begin{enumerate}
\item {\bf \large Restitution organisée de connaissance}

\textsl{Prérequis~:~pour tous réels strictement positifs $a$ et $b$, $\ln(a\times b)=\ln(a)+\ln(b)$}

\begin{enumerate}
\item Montrez que $\ln\left(\frac{1}{a}\right)=-\ln(a)$
\item Déduisez-en que $\ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)$
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate} \item Soit $u$ la suite d\'efinie par : $\left\{\begin{array}{l c l}
u_0& =&0\\
u_{n+1}& =& \dfrac{1}{2 - u_n}\quad  \text{pour tout entier naturel}~n\\
\end{array} \right.$

\begin{enumerate} \item Calculer $u_1,~u_2$ et $u_3$. On exprimera chacun de ces termes sous forme d'une
 fraction irr\'eductible.

\item Comparer les quatre premiers termes de la suite $u$ aux quatre premiers 
termes de la suite $w$ d\'efinie sur $\bbn$ par $w_n= \dfrac{n}{n+1}$.

\item \`A l'aide d'un raisonnement par r\'ecurrence, d\'emontrer que, pour tout 
entier naturel $n,~u_n = w_n$.

\end{enumerate}

\item Soit $v$ la suite de terme g\'en\'eral $v_n$ d\'efini par $v_n = \ln 
\left(\dfrac{n}{n+1}\right)$ où $\ln$ d\'esigne la fonction logarithme
n\'ep\'erien.

\begin{enumerate} \item Montrer que $v_1 +v_2 + v_3 =- \ln 4$.

\item Soit $S_n$ la somme d\'efinie pour tout entier naturel non nul $n$ par : 
\[S_n =v_1 +v_2 + \cdots  +v_n.\]

\noindent Exprimer $S_n $en fonction de $n$.

\noindent D\'eterminer la limite de $S_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

\end{enumerate}

\end{enumerate}


\end{enumerate}




\vspace{1cm}


 
\Exo{5}


On considère la fonction numérique $g$ définie sur $[0\pv 1]$ par~:

\[g(t)=\begin{cases}(1-\E^{-t})\ln(t)\quad \text{pour}\quad 0<t\ie 1\\ 0\quad \text{sinon}\end{cases}\]

\begin{enumerate}
\item Démontrez que $\Lim[t]{0}\frac{1-\E^{-t}}{t}=1$.
\item Démontrez que $g$ est continue sur $[0\pv 1]$.
\item Étudiez  la dérivabilité de  $g$ sur  $[0\pv 1]$ et  démontrez que   pour tout réel  $t$ de
  $]0\pv 1]$~:
\[g'(t)=\frac{\E^{-t}}{t}\left(t\ln(t)+\E^t-1\right)\]
\item Soit $f$ la fonction définie sur $]0\pv 1]$ par \[f(t)=t\ln(t)+\E^t -1\]
  \begin{enumerate}
  \item Étudiez le sens de variation de $f$ sur $]0\pv 1]$. Vous étudierez $f'$ aux bornes de $]0\pv
    1]$.
  \item Montrez que $f'$ s'annule une seule fois sur $]0\pv 1]$ en un réel $t_0$ que vous ne chercherez
    pas à calculer.
  \item Étudiez le signe de $f'$ et le sens de variation de $f$ sur $]0\pv 1]$.
  \item Déduisez-en que  $f$ s'annule une seule fois  sur $]0\pv 1]$ pour une valeur  $t_1$ qu'on ne
    cherchera pas à calculer.
  \end{enumerate}

\item Terminez l'étude de $g$ et dressez son tableau de variation. 
\item Tracez sa courbe représentative dans un  repère orthonormé \oij d'unité 6 cm. Vous tracerez en
  particulier la tangente à la courbe au point d'abscisse 0. Vous admettrez que $t_1\simeq 0,31$.

\end{enumerate}



\end{document}
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%%% End: 
