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\entete{}{}{}%g,d,b

\begin{document}
\setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}






 {\LARGE \textbf{Exercice spécialité \hfill CORRIGÉ}}

\bigskip


\begin{enumerate}
\item  Soit   $\f$  l'application  complexe  associée  à   $f$.  Alors  $\f(z)$  est   de  la  forme
  \[\f(z)=az+b,\quad a\in\bbc,\ b\in\bbc\]
$f$ est donc une similitude de rapport $|a|$ et d'angle $\Arg(a)$.\textcolor{blue}{(0,25 pt)}

$|a|=\sqrt{3+1}=2$ et $a=|a|\left(-\fr{\sqrt{3}}{2}-\fr{1}{2}\I\right)=|a|\left(\cos \left(-\fr{5\pi}{6}\right)+\I\sin \left(-\fr{5\pi}{6}\right)\right)$

Donc \emph{f est de rapport 2  et une mesure de son angle est $-\fr{5\pi}{6}$}\textcolor{blue}{(0,25
  pt)}$+$\textcolor{blue}{(0,25 pt)}

On cherche  à présent  d'éventuels invariants  en résolvant l'équation  $\f(z)=z$. On  obtient comme
unique solution i~:~$f$ \emph{est donc de centre} $\Omega(\I)$\textcolor{blue}{(0,25 pt)}


\item                                        De                                       $z_{\ve{\Omega
      M_0}}=z_o-\I=\fr{\sqrt{3}}{4}-\fr{1}{4}\I=\fr{1}{2}\left(\E^{-\I\efr{\pi}{6}}\right)$,       on
  déduit que 
\[\Omega           M_0=\ofr{1}{2}\qquad           \ao{u}{\Omega           M_0}=-\ofr{\pi}{6}+2k\pi,\
k\in\bbz\]\textcolor{blue}{(0,5 pt)}



\item
  \begin{enumerate}
  \item On admire le travail :\textcolor{blue}{(0,5 pt)}

 \begin{center}
  \includegraphics{simi.11}
\end{center}

\item Soit $n$ un entier naturel et $\PR(n)$ la propriété :«~$z_{n} - \I = 2^n \E^{\I\efr{7n\pi}{6}}\left(z_{0} - 
\I\right)$~»
\begin{itemize}
\item[$\triangleright$] $2^0\E^{\I\efr{7\times 0\pi}{6}}(z_0-\I)=z_0-\I$, donc $\PR(0)$ est vraie. 
\item[$\triangleright$]On peut  donc supposer qu'il  existe un entier  naturel $k$ tel  que $\PR(k)$
  soit vraie. 
\begin{arrayl}
   z_{k+1}-\I&=&\f(z_k)-\I\\
             &=&2 \E^{-\efr{5\I\pi}{6}}(z_k-\I)\\
             &=&2 \E^{-\efr{5\I\pi}{6}}\times2^k \E^{\efr{7k\I\pi}{6}}(z_0-\I)\\
             &=&2^{k+1} \E^{\efr{7k+7-12\I\pi}{6}}\\
             &=&2^{k+1} \E^{\efr{7(k+1)\I\pi}{6}}

\end{arrayl}

Donc $\PR(k)$ vraie $\Longrightarrow \PR(k+1)$ vraie

\item[$\triangleright$] Nous  avons donc prouvé  par récurrence que  $\PR(n)$ était vraie  pour tout
  entier naturel $n$.\textcolor{blue}{ (1 pt)}
\end{itemize}

Or   on   a   montré   précédemment  que   $z_0-z_{\Omega}=z_0-\I=\fr{1}{2}   \E^{-\efr{\I\pi}{6}}$,
donc\textcolor{blue}{(0,5 pt)}
\[z_n-\I=2^{n-1} \E^{\efr{(7n-1)\I\pi}{6}}\]



\item On en déduit que $\Omega M_n=\ab{z_n-\I}=2^{n-1}$. 

On cherche  le plus petit  entier $n$ tel  que $2^{n-1}\se10^2$. Or  $2^6=64<10^2<2^7=128$. L'entier
cherché est donc 7.\textcolor{blue}{(0,5 pt)}

  \end{enumerate}

  \begin{enumerate}
  \item   $7\times(-5)-12\times(-3)=-35+36=1$,  donc  le   couple  $(-5\pv   3)$  est   solution  de
    (E). \textcolor{blue}{(0,5 pt)}
La résolution habituelle (cf cours) donne \[ \SR=\left\{(-5+12k,-3+7k),k\in\bbz\right\}\]

\item Comme son nom l'indique, $\Delta$ est l demi-droite parallèle à l'axe des abscisses et passant
  par $\Omega$. 

On cherche les entiers $n$ tels que le vecteur $\ve{\Omega M_n}$ soit colinéaire à $\ve{u}$, c'est à
dire tel que $\Arg(z_{\ve{\Omega M_n}})=2k\pi,\ k\in\bbz$

Or $z_{\ve{\Omega M_n}}=z_n-\i=2^{n-1} \E^{\efr{(7n-1)\I\pi}{6}}$. 

Les  entiers cherchés  sont  donc les  solutions  de $\fr{(7n-1)\pi}{6}=2k\pi,\  k\in\bbz$ i.e.  les
solutions  de  (E).  L'ensemble  cherché  est  donc  $\SR\cap \bbn$.  Son  plus  petit  élément  est
$-5+12=7$.\textcolor{blue}{(0,5 pt)}
  \end{enumerate}


\end{enumerate}




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