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\newtheorem{exercice}{Exercice}


\setlength{\columnseprule}{0pt}


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keywordstyle =\small\color{blue!40}\usefont{OT1}{cmtt}{b}{n},basicstyle=\small\ttfamily\color{white},commentstyle=\normalfont\scriptsize\slshape\color{black!50!white},breaklines=true,backgroundcolor=\color{black!90!blue},frame=trBL,framerule=1pt,framesep=4pt,rulesep=1pt,showstringspaces=false,stringstyle=\slshape,captionpos=b}



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  % or ...Warsaw

  \setbeamercovered{highly dynamic}
  % or whatever (possibly just delete it)
}
\usepackage{elephantbird}



\begin{document}


\title[] % (optional, use only with long paper titles)
{Mathématiques discrètes VI \\ Algèbre linéaire}

\subtitle{INFO2 - Semaines 43 à 2}

\author[] % (optional, use only with lots of authors)
{Guillaume CONNAN }
% - Give the names in the same order as the appear in the paper.
% - Use the inst{?} command only if the authors have different
%   affiliation.

\institute{\textsc{IUT} de Nantes - Dpt d'informatique }% (optional, but mostly needed)

\logo{\includegraphics[scale=0.15]{logo_iut}}

%\logo{\includegraphics[scale=0.15]{big_connan}}

\date[] % (optional, should be abbreviation of conference name)
{Dernière mise à jour: \today}
% - Either use conference name or its abbreviation.
% - Not really informative to the audience, more for people (including
%   yourself) who are reading the slides online

\subject{ }


\beamerdefaultoverlayspecification{<+->}

\AtBeginSubsubsection[]
{
  \begin{frame}<beamer>
    \frametitle{Sommaire}
 {\scriptsize
\begin{multicols}{2}
    \tableofcontents[currentsection,currentsubsection]
       \end{multicols}
}

  \end{frame}
}




\AtBeginSubsection[]
{
  \begin{frame}<beamer>
    \frametitle{Sommaire}
 {\scriptsize
\begin{multicols}{2}
    \tableofcontents[currentsection,currentsubsection]
       \end{multicols}
}

  \end{frame}
}





\AtBeginSection[]
{
  \begin{frame}<beamer>
    \frametitle{Sommaire}
 {\scriptsize
\begin{multicols}{2}
    \tableofcontents[currentsection]
       \end{multicols}
}

  \end{frame}
}


% If you wish to uncover everything in a step-wise fashion, uncomment
% the following command: 

\beamerdefaultoverlayspecification{<+->}







\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{Sommaire}
{\scriptsize
\begin{multicols}{2} 
 \tableofcontents
\end{multicols}
}

 
 \end{frame}

\section{Famille libre/liée - Base}

\begin{frame} \frametitle{Définitions}
  
\end{frame}

 \begin{frame}
   \begin{exercice}
     On travaille dans l'ev $\mathbb{R}^{2}$ :
\begin{enumerate}
\item $u=\left( 6,-9\right) $\ et $v=\left( -10,15\right) .$\ Donner des CL
de la famille $\left( u\right) ,$\ de la famille $\left( u,v\right) .$

\item Que repr\'{e}sente ${\rm Vect}\left( \mathcal{F}\right) $\ avec $%
\mathcal{F}=\left( u,v\right) $ ?

\item D\'{e}montrer que $w=\left( 2,-3\right) \in {\rm Vect}\left( 
\mathcal{F}\right) .$

\item $u$\ et $v$\ sont-ils colin\'{e}aires ?

\item $\mathcal{F}$\ est-elle libre ou li\'{e}e ?

\item D\'{e}montrer que ${\rm Vect}\left( \mathcal{F}\right) ={\rm Vect}%
\left( w\right) .$

\item D\'{e}montrer que $\left( 1,2\right) \notin {\rm Vect}\mathcal{F}.$

\item $t=\left( 1,2\right) ,$\ et $\mathcal{F}^{\prime }=\left( w,t\right) $%
\ ; d\'{e}montrer que ${\rm Vect}\left( \mathcal{F}^{\prime }\right) =%
\mathbb{R}^{2}.$
\end{enumerate}

   \end{exercice}
 \end{frame}



 \begin{frame}
   \begin{exercice}
     On sait que $\bbr^{2\times 2}$, l'ensemble des
matrices carr\'{e}es d'ordre 2 \`{a} coefficients r\'{e}els, est un espace
vectoriel sur $\mathbb{R}$ avec les deux op\'{e}rations: addition de deux
matrices et la multiplication d'une matrice par un r\'{e}el (scalaire). On
consid\`{e}re%
\begin{equation*}
F=\left\{ \left( 
\begin{array}{cc}
a & b \\ 
b & a%
\end{array}%
\right) \mid \left( a,b\right) \in \mathbb{R}^{2}\right\}
\end{equation*}%
D\'{e}montrer que $F$ est un sev de $E$ puis d\'{e}terminer deux matrices $%
M_{1}$ et $M_{2}$ v\'{e}rifiant $F={\rm Vect}\left( \mathcal{F}\right) $
avec $\mathcal{F}=\left( M_{1},M_{2}\right)$.

Cette famille est-elle libre? A-t-elle d'autres propriétés?

   \end{exercice}
 \end{frame}



 \begin{frame}
   \begin{exercice}
     \begin{enumerate}
     \item D\'{e}montrer que toute \og sous famille\fg{} d'une famille libre est libre.
     \item D\'{e}montrer que toute \og sur famille\fg{} d'une famille li\'{e}e est li\'{e}e.

     \end{enumerate}
   \end{exercice}
 \end{frame}







\section{Matrice d'une famille dans une base}

\begin{frame} \frametitle{Propriétés}
  
\end{frame}


  

 \begin{frame}
   \begin{exercice}
     Dire si les familles $\mathcal{F}=\left( u_{i}\right) $ suivantes de $%
     \mathbb{R}^{3}$ sont libres ou li\'{e}es:
     \begin{enumerate}
     \item $u_{1}=(1,1,0),u_{2}=(1,0,2)$
     \item $u_{1}=(1,1,0),u_{2}=(1,0,2),u_{3}=(0,1,-2)$
     \item $u_{1}=(1,1,0),u_{2}=(1,0,2),u_{3}=(0,1,-1)$
     \item $u_{1}=(1,1,0),u_{2}=(1,0,2),u_{3}=(0,1,-1),u_{4}=\left(
         12,155,703\right) $
     \end{enumerate}
   \end{exercice}
 \end{frame}



 \begin{frame}
   \begin{exercice}
     Dire si les familles $\mathcal{F}=\left( u_{i}\right) $ suivantes de $%
     \mathbb{R}^{3}$ sont libres ou li\'{e}es:
     \begin{enumerate}
     \item $u_{1}=(1,1,0),u_{2}=(1,0,2)$
     \item $u_{1}=(1,1,0),u_{2}=(1,0,2),u_{3}=(0,1,-2)$
     \item $u_{1}=(1,1,0),u_{2}=(1,0,2),u_{3}=(0,1,-1)$
     \item $u_{1}=(1,1,0),u_{2}=(1,0,2),u_{3}=(0,1,-1),u_{4}=\left(
         12,155,703\right) $
     \end{enumerate}
   \end{exercice}
 \end{frame}






 \begin{frame}
   \begin{exercice}
     Dire si les familles $\mathcal{F}=\left( u_{i}\right) $ suivantes de $%
     \mathbb{R}^{3}$ sont libres ou li\'{e}es:
     \begin{enumerate}
     \item $u_{1}=(1,1,0),u_{2}=(1,0,2)$
     \item $u_{1}=(1,1,0),u_{2}=(1,0,2),u_{3}=(0,1,-2)$
     \item $u_{1}=(1,1,0),u_{2}=(1,0,2),u_{3}=(0,1,-1)$
     \item $u_{1}=(1,1,0),u_{2}=(1,0,2),u_{3}=(0,1,-1),u_{4}=\left(
         12,155,703\right) $
     \end{enumerate}
   \end{exercice}
 \end{frame}



\begin{frame}
  \begin{exercice}
    \begin{enumerate}
\item $\mathcal{F}%
_{1}=(u_{1,}u_{1}+u_{2},u_{1}+u_{2}+u_{3},u_{1}+u_{2}+u_{3}+u_{4})$ est-elle
une base de\textit{\ }$\mathbb{R}^{4}?$

\item $\mathcal{F}_{2}=(u_{1}+u_{2},u_{2}+u_{3},u_{3}+u_{4},u_{4}+u_{1})$%
\textit{\ }est-elle une base de\textit{\ }$\mathbb{R}^{4}$\textit{\ ?}
\end{enumerate}
  \end{exercice}
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{exercice}
    \begin{enumerate}
\item On note $H=\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R}^{3}\mid
x+2y+3z=0\right\} ,$\ d\'{e}montrer que $H$\ est un sev de $\mathbb{R}^{3}$
en d\'{e}terminant $u$\ et $v,$\ deux vecteurs de $\mathbb{R}^{3},$\ de
sorte que $H=\limfunc{Vect}\left( u,v\right) .$

\item Donner une famille g\'{e}n\'{e}ratrice de $H.$

\item La famille $\left( u,v\right) $\ est-elle libre ?

\item Donner une base de $H.$

\item Quelle est la dimension de $H$\ ?

\item On note $w=(1,2,3)$, d\'{e}montrer que $w\notin H.$

\item On note $K=\limfunc{Vect}(w).$\ Donner une base de $K.$

\item Quelle est la dimension de $K$\ ?

\item D\'{e}montrer que $\left( u,v,w\right) $ est une base de $\mathbb{R}%
^{3}.$
\end{enumerate}
  \end{exercice}
\end{frame}





\begin{frame}
  \begin{exercice}
    \begin{enumerate}
    \item D\'{e}montrer que $H=\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R}^{3}\mid
        x-z=0\right\} $ est un sev de $\mathbb{R}^{3}$ et en donner une base.
    \item D\'{e}montrer que $H=\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R}^{3}\mid
        x=0\right\} $ est un sev de $\mathbb{R}^{3}$ et en donner une base.
    \item   $H=\left\{   \left(  x,y,z\right)   \in   \mathbb{R}^{3}\mid
          ax+by+cz=0\right\} $ o\`{u} $a$, $b$ et $c$ sont des r\'{e}els
          fix\'{e}s.   Dans  quel   cas   a-t-on  $H=\mathbb{R}^{3}$   ?
          D\'{e}montrer que $H$ est un sev de $\mathbb{R}^{3}$.  
    \end{enumerate}
  \end{exercice}
\end{frame}



\begin{frame}
  \begin{exercice}
    On travaille dans $\mathbb{R}^{3}:$
    \begin{enumerate}
    \item R\'{e}soudre le syst\`{e}me $\left\{ 
        \begin{array}{l}
          x+2y+3z=0 \\ 
          2x+y-z=0%
        \end{array}%
      \right. $\ par la m\'{e}thode de la $\ell$-r\'{e}duite \'{e}chelonn\'{e}e.
    \item On note $H=\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R}^{3}\mid
        x+2y+3z=0\right\} $\ et $K=\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R}%
        ^{3}\mid 2x+y-z=0\right\} .$\ D\'{e}terminer une base de $H\cap K.$
    \end{enumerate}
  \end{exercice}
\end{frame}



\begin{frame}
  \begin{exercice}
    On travaille dans $\mathbb{R}^{3}$ et on note $u=\left( 1,2,2\right)
    $ et $v=\left( -2,1,2\right)$. D\'{e}terminer des r\'{e}els $a$, $b$
    et                   $c$                  pour                   que
    $\limfunc{Vect}\left(  u,v\right)=\left\{  \left(  x,y,z\right)  \in
    \mathbb{R}^{3}\mid ax+by+cz=0\right\}$. 
  \end{exercice}
\end{frame}



\section{Changement de bases}

\begin{frame} \frametitle{Propriétés}
  \begin{exercice}
    \begin{enumerate}
    \item $\mathcal{B}$  et $\mathcal{B}^{\prime  }$ sont deux  bases de
      $\mathbb{K}^{n}.$ 
      Qu'appelle-t-on la  matrice de passage de  $\mathcal{B}$ \`{a}
      $\mathcal{B}^{\prime  }$ ?  On note  $P$ cette  matrice, \`{a}
      quoi sert-elle ?  
    \item $\mathcal{B}$ et $\mathcal{B}^{\prime }$ sont des bases de
      $\mathbb{R}^{3}$    et    $A$    est   la    matrice    de
      $\mathcal{B}^{\prime       }$      dans       la      base
      $\mathcal{B}$. D\'{e}montrer que le rang  de $A$ est 3. La
      matrice $A$ est-elle inversible ? 
    \end{enumerate}
  \end{exercice}
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{exercice}
    $u_{1}=(1,2)$    et   $u_{2}=(2,3)$    sont    deux   vecteurs    de
    $\mathbb{R}^{2},$  $\mathcal{B}=(e_{1},e_{2})$  d\'{e}signe la  base
    canonique de $\mathbb{R}^{2}$. 
    \begin{enumerate}
    \item Expliciter la base canonique.
    \item Quelles sont les coordonn\'{e}es de $u_{2}$\ dans $\mathcal{B}$\ ?
    \item Quelles sont les coordonn\'{e}es de $e_{1}$\ dans $\mathcal{B}$\ ?
    \item D\'{e}montrer que la famille $\mathcal{F}=(u_{1},u_{2})$\ est une base
      de $\mathbb{R}^{2}.$
    \item D\'{e}terminer la matrice $P$\ de passage de $\mathcal{B}$\ \`{a} $%
      \mathcal{F}.$
    \item D\'{e}terminer la matrice de passage de $\mathcal{F}$\ \`{a} $B.$\ Que
      repr\'{e}sentent les colonnes de cette matrice ?
    \item D\'{e}terminer  les coordonn\'{e}es  de $u_{1}$\ dans  la base
      $\mathcal{F}$. 
    \item D\'{e}terminer  les coordonn\'{e}es  de $e_{1}$\ dans  la base
      $\mathcal{F}$. 
    \item  $x=(-1,5),$\ d\'{e}terminer  les coordonn\'{e}es  de $x$\
      dans   la   base   $\mathcal{B}$\    et   dans   la   base
      $\mathcal{F}$. 
    \item  D\'{e}terminer  les  coordonn\'{e}es  de $x$\  dans  la  base
      $\mathcal{B}^{\prime }=(-3u_{2},7u_{1})$. 
    \end{enumerate}
  \end{exercice}
\end{frame}




\begin{frame}
  \begin{exercice}
    On note $\mathcal{B}=\left( e_{1},e_{2},e_{3}\right) $ la base canonique de $%
    \mathbb{R}^{3}$. 
    \begin{enumerate}
    \item $x=\left( 2,3,-5\right) ,$\ d\'{e}terminer les coordonn\'{e}es de $x$\
      dans $\mathcal{B}.$
    \item $u=\left( 1,1,-1\right) ,$\ $v=\left( 1,-1,2\right)$, $w=\left(
        2,0,2\right)$. D\'{e}terminer les coordonn\'{e}es des vecteurs
      $u,$\ $v$ et $w$ dans la base $B$\ ainsi que la matrice $A$ de la
      famille $F=\left(u,v,w\right)$ dans $B$. 
    \item  $\limfunc{Vect}\left( \mathcal{F}\right)$  est-il  un sev  de
      $\mathbb{R}^{3}$ ? 
    \item D\'{e}terminer la LR\'{E} de $A$. Quel est le rang de $A$ ?
    \item D\'{e}montrer que $\mathcal{F}$ est libre.
    \item D\'{e}montrer que $\mathcal{F}$ est une base de $\mathbb{R}^{3}.$
    \item Est-il vrai que $\mathbb{R}^{3}=\limfunc{Vect}\mathcal{F}$?
    \item D\'{e}terminer la matrice $A^{\prime }$\ de la famille $\mathcal{B}$
      dans la base $\mathcal{F}$.
    \item D\'{e}terminer la matrice de $\mathcal{F}$\ dans la base $\mathcal{F}$
      et la matrice de $\mathcal{B}$\ dans la base $\mathcal{B}.$
    \item D\'{e}terminer les coordonn\'{e}es de $x$\ dans la base $\mathcal{F}.$
    \item D\'{e}montrer de plusieurs fa\c{c}ons que $\mathcal{G}=\left(
        u,v\right) $\ n'est pas une base de $\mathbb{R}^{3}.$
    \end{enumerate}
  \end{exercice}
\end{frame}





\section{Applications linéaires}



\end{document}
%%% Local Variables: 
%%% TeX-master: t
%%% End: 
%% TeX-master: t
%%% End: 
