\chapterimage{ordre}
\chaptertext{Nous  avons établi  au  premier chapitre  qu'il existait  plusieurs
  ensembles  de  nombres. Il  est  temps  de mettre  un  peu  d'ordre dans  tout
  ça. Nous  allons voir  comment comparer  deux nombres.  Ce sera  l'occasion de
  découvrir une démarche  mathématique pour étudier un  problème en introduisant
  des définitions  et des  théorèmes. Pour  que cela se  fasse en  douceur, nous
  allons découvrir Mathémator et son disciple Secondix.}

\chapter{Order}



\section{Ordre dans R}

\subsection{Découverte du problème}

\pro Vous  vous souvenez, cher  disciple, que l'on peut  représenter les
nombres réels sur une droite orientée munie d'un repère~:

\sx Oui~! Nous  avons vu ça dans le chapitre  précédent. Comme mon cours
est très  bien ordonné,  je retrouve  tout de suite  la figure  que nous
avions tracée~:

\begin{center}
  \includegraphics[width=0.7\linewidth]{ordre1}
\end{center}

\pro Tous les réels correspondent  aux abscisses de cette droite et vice
versa. Comment  pourriez-vous classer les abscisses des  points de cette
droite~?

\sx  Ben, comme  il y  a  une flèche  au bout,  je  dirais qu'on va  du
plus petit au plus grand en partant de la gauche vers la droite.

\pro C'est l'idée mais il  faudrait quelque chose de plus rigoureux pour
pouvoir  se  débrouiller en  calcul  algébrique,  c'est-à-dire avec  des
nombres a priori inconnus.

\sx Pfff... vous allez encore couper les cheveux en quatre et tout compliquer~!

\pro Mon  petit Secondix, si vous  ne savez pas exactement  de quoi vous
parlez, vous  risquez de  dire beaucoup de  grosses bêtises. Et  si vous
n'avez pas de repères solides  qu'on appelle les \emph{définitions}, vous allez
vous perdre dans le labyrinthe de la Science.

Mais  je  veux  vous faire  plaisir  et  nous  n'allons pas  remonter  à
l'origine de la connaissance humaine ~:~nous supposerons que vous savez ce que signifie,
pour un nombre, être positif ou négatif.

\sxap{Il  me prend  vraiment pour  un  idiot} Je  crois que  c'est à  ma
portée, Maître.

\pro Fort bien, alors énonçons  notre première définition qui servira de
socle à tout ce chapitre~:

  \begin{definition}[Comparaison de deux nombres réels]\label{def}
    Deux  nombres  $a$  et  $b$  vérifient  l'inéquation  $a<b$  si,  et
    seulement si, $a-b$ est négatif ou $b-a$ est positif.

\emph{Comparer} deux nombres c'est étudier le \emph{signe de leur différence}.
    \end{definition}



\sx  Excusez-moi mais  là,  c'est  vraiment de  la  torture gratuite  de
disciple. Je  sais que 2  est plus  petit que 3,  je n'ai pas  besoin de
passer par votre définition alambiquée.

\pro  Tout doux  mon jeune  ami~!  Prenez  le temps  de  réfléchir avant
d'émettre un jugement si radical.


\subsection{Théorèmes de rangement}


  \begin{recherche}[Comment ranger des carrés~?]
    Considérons   deux  nombres   quelconques  $a$   et   $b$  vérifiant
    $a<b$~:~comment sont rangés leurs carrés~?

    \end{recherche}
 

\sx Par exemple, $2<3$ et $2^2<3^2$ : ils sont rangés dans le même sens.



\pro  Mais  $-3<-2$  et  cependant $(-3)^2>(-2)^2$...  Des  exemples  ne
suffisent pas à conclure~:~que pensez-vous de $-1$ et 2~? De $-2$ et 1~?

\sx Oui mais s'ils sont tous positifs, ça marche.

\pro Dois-je vous  croire sur parole~? Il me faudrait  une preuve car le
terrain semble miné.

Suivons votre idée et considérons deux nombres {\bf positifs} $a$ et $b$
tels que  $a<b$. Pour comparer  leurs carrés il faudrait,  d'après notre
définition, étudier le signe de leur différence. Allons-y~!

Vous savez  que $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. Or  $a$ et $b$ sont  positifs donc
$a+b$ l'est aussi. 

De plus $a<b$ donc $a-b$ est négatif.

Ainsi,  $a^2-b^2$ est  le produit  d'un  nombre positif  et d'un  nombre
négatif.


  \begin{theoreme}[Règle des signes (admise)]
    Le produit de deux nombres de même signe est positif.

Le produit de deux nombres de signes opposés est négatif.
    \end{theoreme}
 


D'après la  règle des signes,  $a^2-b^2$ est donc  négatif, c'est-à-dire
que $a^2<b^2$. 


Nous venons  donc de  \emph{démontrer} que deux  nombres \emph{positifs}
\emph{quelconques}  et  leurs  carrés  sont rangés  \emph{dans  le  même
  ordre}.

Je vous  laisse démontrer ce qui  se passe pour deux  nombres négatifs à
titre d'exercice.

\sx Et s'ils ne sont pas de même signe~?

\pro nous  avons vu  sur un  exemple que la  conclusion n'est  pas aussi
simple. Nous nous contenterons donc de comparer des carrés de nombres de
même signe.


  \begin{theoreme}[Rangement des carrés]
    Deux nombres \emph{positifs} et  leurs carrés sont rangés \emph{dans
      le même ordre}.

\smallskip

Deux  nombres \emph{négatifs}  et  leurs carrés  sont rangés  \emph{dans
  l'ordre inverse}.
    \end{theoreme}
  
Pour ne pas que vous perdiez la main, vous démontrerez également à titre
d'exercice le théorème suivant~:




  \begin{theoreme}[Rangement des inverses]
    Deux nombres non nuls et de même signe et leurs inverses sont rangés
    \cacheg{dans l'ordre inverse.}
    \end{theoreme}
  
\sxap{le  sale boulot,  c'est toujours  pour  les mêmes...}  Ce sera  un
plaisir, ô astre de la connaissance.

\subsection{Ordre et opérations}

\pro Vous êtes plus léger qu'un gorille adulte.

\sx J'ai en effet surveillé mon alimentation ces derniers temps.

\pro Bien~! Supposons  qu'on vous mette dans les bras  chacun un poids de
10kg~:~serez-vous toujours le plus léger~?

\sxap{Je me méfis de ses questions tordues} je pense que oui.

\pro  On  doit pouvoir  énoncer  quelque  chose  de semblable  pour  les
nombres~:

  \begin{theoreme}[Addition d'un nombre aux deux membres d'une inégalité]
    Soit  $a$, $b$ et  $c$ trois  nombres réels  quelconques~; \emph{si}
    $a<b$ \emph{alors} $a\Mathbold{+c}<b\Mathbold{+c}$.

Ce  qui  signifie  qu'additionner  \emph{un  même  nombre}  (positif  ou
négatif) aux
deux membres d'une inégalité ne change pas le sens de cette inégalité.
    \end{theoreme}
  

\sx Bon ben voilà.

\pro Pas  si vite jeune  disciple~! Notre illustration  zoologique n'est
pas une preuve~:~on pourrait être trompé par des images...

Notre  seule  arme  à  disposition est  la  définition~\vref{def}.  Nous
voulons \emph{comparer} $a+c$ et $b+c$~:~il s'agit d'\emph{étudier le signe} de
leur différence. Allez-y~!

\sx J'essaye~:~$a+c-b+c$.

\pro STOP~! Vous oubliez  les parenthèses~:~on doit retrancher le nombre
$(b+c)$ au nombre $(a+c)$.

\sxap{Comment  fait-il  pour  savoir   oralement  que  j'ai  oublié  les
  parenthèses~?} Certes Maître, je reprends~:
$(a+c)-(b+c)=a+c-b-c=a-b+c-c=a-b$  euh... ah~! On  sait que  $a<b$ donc
$a-b$ est  négatif. Or $a-b=(a+c)-(b+c)$ donc  $(a+c)-(b+c)$ est négatif
aussi ce qui signifie que $a+c<b+c$.

\pro  Vous venez de  mener brillamment  votre première  démonstration en
algèbre~!

\sx J'en suis tout bouleversé~!



\pro Afin de ménager vos  émotions, nous allons nous contenter d'énoncer
les théorèmes suivants et vous les démontrerez à titre d'exercice.

Nous avons additionné, il ne reste plus qu'à multiplier...

\sx Ben  c'est pareil~:~si  un élève de  2\up{nde} est plus  léger qu'un
gorille alors dix élèves de 2\up{nde} sont plus légers que dix gorilles.

\pro Belle image, certes, mais qui peut être trompeuse~:~on a $2<3$ mais
est-ce  que $2\times(-1)<3\times(-1)$~?  Soyons donc  prudents  avec les
illustrations...


  \begin{theoreme}[Multiplication des  deux membres d'une  inégalité par
    un nombre]

Soit trois nombres réels $a$, $b$ et $c$ tels que $a<b$ et $c\neq 0$.

\begin{itemize}
\item si $c$ est \emph{positif} alors $a\cdot c<b\cdot c$~;
\item si $c$ est \emph{négatif} alors $a\cdot c>b\cdot c$
\end{itemize}

Autrement dit~:

\begin{itemize}
\item multiplier  les deux  membres d'une inégalité  par un  même nombre
  \emph{positif ne change pas le sens} de cette inégalité~;
\item multiplier  les deux  membres d'une inégalité  par un  même nombre
  \emph{négatif change le sens}  de cette inégalité.
\end{itemize}
    
    \end{theoreme}



Comme tout à l'heure, vous étudierez le signe d'une différence.

\sx Pourquoi avoir précisé $c\neq 0$~?

\pro  Cherchez   la  réponse~:~elle  est  cachée   dans  votre  brillant
cerveau... Mais passons à autre chose.



  \begin{Idee}[Division par un même nombre]
    Une division  est une multiplication par l'inverse  donc la division
    membre à membre suit les mêmes règles que la multiplication membre à membre.
    \end{Idee}



Maintenant, pour vous faire plaisir, reprenons un petit exemple~:~vous êtes
plus léger qu'un gorille et votre s\oe ur est plus légère qu'une baleine
donc vous et votre s\oe ur êtes plus légers qu'un gorille et une baleine
réunis.


  \begin{theoreme}[addition membre à membre]
    Soit $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre nombres réels. Alors 

\[\left.\begin{array}{l}a<b\\c<d\end{array}\right\rbrace\Longrightarrow
a+c<b+d\]


ce qui signifie  qu'en additionnant membre à membre  deux inégalités on
n'en change pas le sens.
    \end{theoreme}
  

Pour le  dernier théorème,  nous ne donnerons  pas de  démonstration car
elle est plus difficile et je  ne voudrais pas vous décourager donc nous
l'admettrons exceptionnellement..

\sxap{Enfin une bonne nouvelle} ah quel dommage~!

\pro Vous pouvez toujours vous y frottez si ça vous chante...


  \begin{theoreme}[Multiplication membre à membre]
       Soit $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre nombres réels \fbox{POSITIFS}. Alors 

\[\left.\begin{array}{l}a<b\\c<d\end{array}\right\rbrace\Longrightarrow
a\cdot c<b\cdot d\]


ce qui signifie qu'en multipliant  membre à membre deux inégalités entre
nombres POSITIFS on
n'en change pas le sens.
    \end{theoreme}
  


Vous aurez noté l'importance du terme POSITIF.  Essayez avec $-2<5$ et $-3<-1$...


Il nous  reste un  dernier théorème pour  la route que  \emph{vous démontrerez}
également~:



  \begin{theoreme}[Comparaison à 1]
    Soit $a$ et $b$ deux nombres réels avec \fbox{$b\neq 0$}.
\smallskip
    \begin{itemize}
    \item   si  $a$  et   $b$  sont   POSITIFS,  $a<b\Longleftrightarrow
      \frac{a}{b}<1$~;
    \item   si  $a$  et   $b$  sont   NÉGATIFS,  $a<b\Longleftrightarrow
      \frac{a}{b}>1$
    \end{itemize}
    \end{theoreme}
  




\section{Intervalles}

\subsection{Définition}

\pro  Nous avons  déjà parlé  des ensembles  de nombres  $\bbr$, $\bbq$,
$\bbd$, $\bbz$ et  $\bbn$. Cependant, nous pouvons être  amenés à parler
d'une partie seulement d'un de ces ensembles.

Par exemple,  quand il  y a  un nombre fini  d'éléments, on  utilise des
accolades~:

\[\big\{1,2,4,\sqrt{37}\big\}\]

est l'ensemble constitué des quatre nombres 1, 2, 4 et $\sqrt{37}$.



\smallskip

Cette façon de décrire un ensemble de nombres peut s'avérer inutilisable
dans  certains cas. Par  exemple, peut-on  donner la  liste de  TOUS les
nombres réels entre $-3$ et 2~?

\sx euh...

\pro rappelez-vous  qu'on ne peut  même pas parler  de \emph{successeur}
d'un réel.  S'il existait  un plus  petit réel supérieur  à $-3$,  alors il
suffirait de considérer le milieu de $-3$  et de ce nombre : il est réel et
est plus petit que le soi-disant plus petit ce qui est impossible.

\sxap{qu'est-ce que c'est que ce délire~?} Si vous le dites...

\pro comme on ne peut pas faire la liste de tous les nombres compris
entre $-3$ et 2, on va reprendre l'image de la DROITE des réels. 

Rappelez-vous~:~soit deux points distincts A et B d'une droite~; comment
appelle-t-on l'ensemble des points de la droite situés entre A et B~?

\sx Ça je  sais~! C'est le segment de droite [AB]~:~on  le note avec des
crochets.

\pro Et  bien on va utiliser la  même notation avec les  nombres mais au
lieu de parler de \emph{segment} $[-3;2]$ on dira \emph{intervalle} $[-3;2]$.

\begin{center}
  \includegraphics[width=0.7\linewidth]{intervalle1}
\end{center}

\sx  Ah oui~:~quand  il y  a  une infinité  de nombres,  on utilise  des
crochets.

\pro non~:~ce n'est pas si simple.

\sxap{Ça  m'aurait étonné...}  Ben pourtant  dans  $[-3;2]$ il  y a  une
infinité de nombres et dans $\big\{-3;2\big\}$ il n'y a que les deux nombres
$-3$ et 2 si j'ai bien compris.

\pro vous  avez bien  compris mais on  peut utiliser des  accolades même
avec  une   infinité  de  nombres.  Plus  troublant,   on  peut  décrire
l'intervalle $[-3;2]$ à l'aide d'accolades...

\[[-3;2]=\big\{x\in\bbr\,\big|\,-3\leqslant x\leqslant 2\big\}\]

ce  qui signifie~:~«~l'intervalle  $[-3;2]$ est  l'ensemble  des nombres
réels $x$  vérifiant $-3\leqslant  x\leqslant 2$~», c'est-à-dire   l'ensemble
des nombres réels compris entre $-3$ et 2.


\sxap{Qu'est-ce que  c'est que c't'embrouille} Bon ben  c'est quoi alors
un intervalle~?!

\pro Je vais  vous donner la définition officielle  mais je vais d'abord
vous en donner un petit truc qui est très pratique pour
comprendre ce qu'est un intervalle (il faudra garder ça entre nous...)



  \begin{Idee}[Définition intuitive d'un intervalle]
    Un intervalle de $\bbr$ est une partie de $\bbr$ qui n'a pas de trou...
    \end{Idee}






\sxap{C'est plutôt lui qui a un trou dans le cerveau} «~qui n'a pas de trou~» ?? 

\pro  Eh  oui~! Par  exemple  l'ensemble  $\big\{-3;2\big\}$  a un  trou
puisqu'il manque tous les  nombres entre $-3$ et 2. $\bbr\setminus\{0\}$
a aussi un trou puisqu'il manque 0. Voici la définition~:

%\vfill

%\eject

  \begin{definition}[Intervalles de $\bbr$]
    Un intervalle de  $\bbr$ est une partie de $\bbr$  d'un des 10 types
    suivants, les bornes $a$ et $b$ étant des réels.
    \begin{description}
    \item[1\er cas~:]  $\bbr=]-\infty\pv +\infty[$, c'est-à-dire  tous les
      nombres réels~;
   \item[2\eme cas~:] $\emptyset$, c'est-à-dire l'ensemble vide~;
    
    \item[Autres cas~:] l'une des huit situations suivantes

\begin{center}
   \begin{tabular}{|l|c|c|p{7cm}|}
      \hline
      & Intervalle & Inégalité & Représentation graphique \\[8pt]
      \hline
      \multirow{4}*{\rotatebox{90}{Intervalles bornés}}& $[\,a;b\,]$ & $a \leqslant x \leqslant b$ & % \begin{pspicture}(9,0.8) \psline{->}(0.5,0)(8.5,0) \rput(2,0.4){$a$} \rput(7,0.4){$b$} \psline[linecolor=0.6white,linewidth=3pt](2.1,-0.2)(2,-0.2)(2,0.2)(2.1,0.2) \psline[linecolor=0.6white,linewidth=3pt](6.9,-0.2)(7,-0.2)(7,0.2)(6.9,0.2) \psline[linecolor=0.6white,linewidth=3pt](2,0)(7,0)  \end{pspicture}
     \\[8pt]
      \cline{2-4}		
      & $[\,a;b\,[$ &  $a \leqslant x < b$ & % \begin{pspicture}(9,0.8) \psline{->}(0.5,0)(8.5,0) \rput(2,0.4){$a$} \rput(7,0.4){$b$} \psline[linecolor=0.6white,linewidth=3pt](2.1,-0.2)(2,-0.2)(2,0.2)(2.1,0.2) \psline[linecolor=0.6white,linewidth=3pt](7.1,-0.2)(7,-0.2)(7,0.2)(7.1,0.2) \psline[linecolor=0.6white,linewidth=3pt](2,0)(7,0)  \end{pspicture}
     \\[8pt]
      \cline{2-4}
      & $]\,a;b\,]$ &  $a < x \leqslant b$ &% \begin{pspicture}(9,0.8) \psline{->}(0.5,0)(8.5,0) \rput(2,0.4){$a$} \rput(7,0.4){$b$} \psline[linecolor=0.6white,linewidth=3pt](1.9,-0.2)(2,-0.2)(2,0.2)(1.9,0.2) \psline[linecolor=0.6white,linewidth=3pt](6.9,-0.2)(7,-0.2)(7,0.2)(6.9,0.2) \psline[linecolor=0.6white,linewidth=3pt](2,0)(7,0)  \end{pspicture}
     \\[8pt]
      \cline{2-4}		
      & $]\,a;b\,[$ & $ a < x < b$ & % \begin{pspicture}(9,0.8) \psline{->}(0.5,0)(8.5,0) \rput(2,0.4){$a$} \rput(7,0.4){$b$} %
        % \psline[linecolor=0.6white,linewidth=3pt](1.9,-0.2)(2,-0.2)(2,0.2)(1.9,0.2) \psline[linecolor=0.6white,linewidth=3pt](7.1,-0.2)(7,-0.2)(7,0.2)(7.1,0.2) \psline[linecolor=0.6white,linewidth=3pt](2,0)(7,0)  \end{pspicture}
     \\[8pt]
      \hline
      \multirow{4}*{\rotatebox{90}{Intervalles non bornés}}& $]-\infty;b\,]$	& $  x \leqslant b$ & % \begin{pspicture}(9,0.8) \psline{->}(0.5,0)(8.5,0)  \rput(7,0.4){$b$} \psline[linecolor=0.6white,linewidth=3pt](6.9,-0.2)(7,-0.2)(7,0.2)(6.9,0.2) \psline[linecolor=0.6white,linewidth=3pt](0.5,0)(7,0)  \end{pspicture} 
     \\[8pt]
      \cline{2-4}
      & $]-\infty;b\,[$ &  $  x < b$ &% \begin{pspicture}(9,0.8) \psline{->}(0.5,0)(8.5,0)  \rput(7,0.4){$b$} \psline[linecolor=0.6white,linewidth=3pt](7.1,-0.2)(7,-0.2)(7,0.2)(7.1,0.2) \psline[linecolor=0.6white,linewidth=3pt](0.5,0)(7,0)  \end{pspicture}
     \\[8pt]
      \cline{2-4}
      & $[\,a;+\infty\,[$ &  $ a \leqslant x $ & % \begin{pspicture}(9,0.8) \psline{->}(0.5,0)(8.5,0) \rput(2,0.4){$a$}  \psline[linecolor=0.6white,linewidth=3pt](2.1,-0.2)(2,-0.2)(2,0.2)(2.1,0.2)\psline[linecolor=0.6white,linewidth=3pt](2,0)(8.5,0)  \end{pspicture}
     \\[8pt]
      \cline{2-4}
      & $]\,a;+\infty\,[$ &  $ a < x $ &  % \begin{pspicture}(9,0.8) \psline{->}(0.5,0)(8.5,0) \rput(2,0.4){$a$}  \psline[linecolor=0.6white,linewidth=3pt](1.9,-0.2)(2,-0.2)(2,0.2)(1.9,0.2) \psline[linecolor=0.6white,linewidth=3pt](2,0)(8.5,0)  \end{pspicture}
     \\[8pt]
      \hline		
   \end{tabular}
\end{center}\end{description}

    \end{definition}



Rajoutons un peu de vocabulaire~:

  \begin{definition}[Vocabulaire]
    \begin{itemize}
    \item $[ a~; b ],\ ] a~; b [,\ ] a~; b ],$ et $[ a~; b [$ sont des
    \textbf{intervalles bornés}~;
\item les réels $a$ et $b$ sont les\textbf{ bornes} de l'intervalle~; 
\item $b-a$ est \textbf{l'amplitude} de l'intervalle $[ a~; b ]$~;
\item $\frac{a+b}{2}$ est le \textbf{centre} de l'intervalle~;
\item $[ a~; b ]$ est un intervalle \textbf{fermé}~;
\item $] a~; b [$ est un intervalle \textbf{ouvert}~;
\item $] a~; b ]$ est un intervalle \textbf{ouvert en a et fermé en b}.
\end{itemize}
    \end{definition}
 
\subsection{Réunion et intersection}

\pro Ces différents types d'intervalles ne vont pas suffire pour décrire
tous  les  ensembles  de   nombres  que  nous  allons  rencontrer  cette
année.  Par  exemple, on  voudrait  caractériser  les  nombres qui  sont
inférieurs à $-3$ ou supérieurs à 2.

\sx Ben c'est l'intervalle $]-\infty\pv -3]$ plus l'intervalle $[2\pv +\infty[$

\pro  C'est l'idée  mais  votre «~plus~»  prête à  confusion~:~qu'est-ce
qu'on  on  additionne~?  Les  bornes~? Les  éléments  des  intervalles~?
Qu'est-ce qu'un addition d'intervalles~? Je vois bien ce que vous voulez
dire mais vous n'êtes pas assez précis. 

Faisons un petit voyage dans le temps et considérons votre classe de CP.

Il  y  avait  Alain,  Bernard,  Corine,  Daniel,  Élisabeth,  Monique,
Robert,  Henriette,  Isabelle et  Jacques.  Parmi  eux, seuls  Bernard,
Élisabeth, Henriette et Jacques portaient des lunettes.

Appelons G l'ensemble des garçons et L l'ensemble
des enfants à lunettes.

Représentez la classe de CP en complétant les patates suivantes~:


\begin{center}
  \includegraphics[height=6cm]{ordre3}
\end{center}

Quel est l'ensemble contenant les garçons et les enfants à lunettes~?

\sx C'est les élèves qui sont  dans G ou dans L mais il n'a pas
encore de nom.

\pro C'est  cela. Nous  allons lui  en donner un  officiel. On  dira que
c'est \emph{la réunion} de G et L. On la notera $G\cup L$ et on lira «~G
union L~».

Pour les intervalles, c'est la même idée car il s'agit d'ensembles avant tout.



  \begin{definition}[Réunion d'intervalle]
    La \textbf{réunion} de deux intervalles est l'ensemble des réels qui appartiennent à l'un \textbf{OU} à l'autre des deux intervalles.
    \end{definition}
 


    \begin{exemple}
      La réunion des intervalles $[ -2~; 3]$ et [1~;5] est l'ensemble des
      réels $x$  qui vérifient~: $-2  \leqslant  x  \leqslant  3$  OU $1 \leqslant   x
      \leqslant  5$.

	C'est l'ensemble des réels $x$ tels que~:  $-2 \leqslant  x \leqslant  5$
        soit l'intervalle $[ -2~; 5 ]$.

		Graphiquement, cela correspond à la partie de la droite graduée qui est hachurée au moins une fois.
% 	\begin{center}\psset{xunit=1cm,yunit=2cm}
% 	\begin{pspicture}(0,-0.3)(9,0.4) \psline{->}(0.5,0)(8.5,0) \rput(2,0.4){$-2$} \rput(4,0.4){1} \rput(6,0.4){3} \rput(8,0.4){5} \psline[linecolor=0.2white,linewidth=3pt](2,0.1)(6,0.1)\psline[linecolor=0.2white,linewidth=3pt](2.1,0.2)(2,0.2)(2,0)(2.1,0)\psline[linecolor=0.2white,linewidth=3pt](5.9,0.2)(6,0.2)(6,0)(5.9,0) \psline[linecolor=0.6white,linewidth=3pt](4,-0.1)(8,-0.1)\psline[linecolor=0.6white,linewidth=3pt](4.1,0)(4,0)(4,-0.2)(4.1,-0.2)\psline[linecolor=0.6white,linewidth=3pt](7.9,0)(8,0)(8,-0.2)(7.9,-0.2)  \end{pspicture}\\
% 	 On note $[ -2~; 3] \cup  [1~;5] = [ - 2~; 5]$ où \textbf{le symbole \og~$\cup $~\fg se lit \og~union~\fg.}
% \end{center}


%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=0.7\linewidth]{intervalle2}
\end{center}
%\end{figure}

                
      \end{exemple}
    


Maintenant, si l'on veut décrire l'ensemble des garçons à lunettes...

\sx c'est l'ensemble des enfants qui sont à la fois dans F et dans L. Je
suppose qu'il va porter un nom spécial.

\pro Oui~! On dira simplement que
c'est \emph{l'intersection} de G et L. On la notera $G\cap L$ et on lira «~G
inter L~».

Pour les intervalles, c'est encore la même idée.


  \begin{definition}[Intersection d'intervalle]
    L'\textbf{intersection} de deux intervalles est l'ensemble des réels qui appartiennent à l'un \textbf{ET} à l'autre des deux intervalles.
    \end{definition}
  

    \begin{exemple}[]
      L'intersection des intervalles $[ -2~; 3]$ et [1~;5] est l'ensemble des
      réels $x$  qui vérifient~: $-2  \leqslant  x  \leqslant  3$  ET $1 \leqslant   x
      \leqslant  5$.

	C'est l'ensemble des réels $x$ tels que~:  $1 \leqslant  x \leqslant  3$
        soit l'intervalle $[ 1~; 3 ]$.

		Graphiquement, cela correspond à la partie de la droite graduée qui est hachurée deux fois.
% 	\begin{center}\psset{xunit=1cm,yunit=2cm}
% 	\begin{pspicture}(0,-0.3)(9,0.4) \psline{->}(0.5,0)(8.5,0) \rput(2,0.4){$-2$} \rput(4,0.4){1} \rput(6,0.4){3} \rput(8,0.4){5} \psline[linecolor=0.2white,linewidth=3pt](2,0.1)(6,0.1)\psline[linecolor=0.2white,linewidth=3pt](2.1,0.2)(2,0.2)(2,0)(2.1,0)\psline[linecolor=0.2white,linewidth=3pt](5.9,0.2)(6,0.2)(6,0)(5.9,0) \psline[linecolor=0.6white,linewidth=3pt](4,-0.1)(8,-0.1)\psline[linecolor=0.6white,linewidth=3pt](4.1,0)(4,0)(4,-0.2)(4.1,-0.2)\psline[linecolor=0.6white,linewidth=3pt](7.9,0)(8,0)(8,-0.2)(7.9,-0.2)  \end{pspicture}\\
% 	 On note $[ -2~; 3] \cap  [1~;5] = [ 1~; 3]$ où \textbf{le symbole \og~$\cap $~\fg se lit \og~inter~\fg.}
% \end{center}


                
%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=0.7\linewidth]{intervalle3}
\end{center}
%\end{figure}

      \end{exemple}
    

\subsection{Première   application~:~résolution   d'inéquations linéaires}

\pro Nous allons à présent utiliser tout ce que nous venons de (re)voir 
pour résoudre  une inéquation  linéaire, c'est-à-dire où  l'inconnue $x$
intervient dans une expression du type $ax$.


  \begin{exemple}[Inéquation linéaire]
    Résolvez dans $\bbr$ l'inéquation $-3(x-3)<4$
    \end{exemple}
  

\sx Ce n'est pas tout à fait le type d'expression annoncée...

\pro  Il   ne  faut  pas   se  laisser  tromper  par   les  apparences~!
$-3(x-3)=-3x+9$~:~l'inconnue  $x$ n'est  en fait  que multipliée  par un
nombre constant.

\sx Bah, c'est toujours comme ça alors.

\pro Une  nouvelle fois  vous parlez avant  de réfléchir~!  Par exemple,
l'inéquation $3x^3+\sqrt{x}+3x+2<4$  n'est pas  linéaire en $x$  car $x$
est élevé  au cube, on en  prend la racine  carrée~:~c'est beaucoup lpus
compliqué à étudier...

\sx Et puis «~résoudre dans $\bbr$~», ça veut dire quoi au juste~?

\pro Résoudre une inéquation dans un ensemble, c'est trouver les nombres
appartenant à cet ensemble  qui vérifient l'inéquation, c'est-à-dire qui
la rendent vraie quand on remplace l'inconnue par l'un d'entre eux.

À la  fin d'une inéquation, il  faudra donc donner  un \emph{ensemble de
  solutions}.


\begin{NodesList}
 \begin{displaymath}
   \begin{aligned}
     -3(x-3) &>4                                                 \AddNode\\
       x-3  &<-\frac{4}{3}                                       \AddNode\\
       x    &<-\frac{13}{3}                                      \AddNode
     \end{aligned}
 \end{displaymath}
 \LinkNodes[marge=4cm]{$\times (-\frac{1}{3})$ qui est négatif}%
 \LinkNodes[marge=3cm]{$+3$}%
\end{NodesList}

Nous en déduisons que l'ensemble des solutions est $S=\left]-\infty\pv -\frac{13}{3}\right[$


Occupons-nous à présent d'un cas un peu plus compliqué.



  \begin{recherche}[Système d'inéquations linéaires à une inconnue]
    Résolvez          dans           $\bbr$          le          système
    $\left\lbrace\begin{aligned}-2(t+1)&\leqslant 5t-1\\ 3\left(t+\frac{2}{3}\right)&<t+6\end{aligned}\right.$
    \end{recherche}
 



Il s'agit  de trouver les valeurs  du réel $t$ qui  vérifient \emph{à la
  fois} les deux inéquations. Occupez-vous de chacune séparément et nous
regrouperons les résultats.

\sx Je suis prêt, Maître~:


%\begin{tabularx}{\textwidth}{XX}


\begin{NodesList}
 \begin{displaymath}
   \begin{aligned}
     -2(t+1)&\leqslant 5t-1\\
     -2t-2&\leqslant 5t-1 \AddNode\\
     -2t & \leqslant 5t+1 \AddNode\\
     -7t &\leqslant 1 \AddNode\\
       t &\geqslant  -\frac{1}{7}\AddNode\\
     \end{aligned}
 \end{displaymath}
 \LinkNodes[marge=2cm]{$+2$}%
 \LinkNodes[marge=1.5cm]{$-5t$}%
\LinkNodes[marge=1cm]{$\times(-\frac{1}{7})$}%
\end{NodesList}

$$S_1=\left[-\frac{1}{7}\pv +\infty\right[$$

\begin{NodesList}
 \begin{displaymath}
   \begin{aligned}
    3\left(t+\frac{2}{3}\right)&<t+8 \\
     \cacheb{3t+2}&< \cacheb{t+8} \AddNode\\
     \cacheb{3t} & < \cacheb{t+6} \AddNode\\
     \cacheb{2t} & \cacheb{<6} \AddNode\\
       t & \cacheb{<3}\AddNode\\
     \end{aligned}
 \end{displaymath}
 \LinkNodes[marge=2cm]{\cacheb{$-2$}}%
 \LinkNodes[marge=1.5cm]{\cacheb{$-t$}}%
\LinkNodes[marge=1cm]{\cacheb{$\div2$}}%
\end{NodesList}

$$S_2=\cacheb{\Big]-\infty, 3\Big[}$$
%\end{tabularx}

L'inconnue   $t$   doit   donc   être   à  la   fois   dans   les   deux
ensembles~:~$S=S_1\cap S_2=\cacheb{\left[-\frac{1}{7}, 3\right[}$




\section{Naissance de l'Algèbre: recherche personnelle}


\setindent{0cm}
\begin{flushleft}
\begin{minipage}[t]{3cm}
\begin{figure}
  \includegraphics[width=3cm]{al-khwarizmi}
\caption{Al Khwarizmi\\(780 - 850)}
\end{figure}
\end{minipage}
\end{flushleft}
\setindent{\indentationcours}
\vspace{-7.2cm}
\begin{minipage}[t]{\linewidth}
\end{minipage}


Voici notre héros:
\begin{center}
  {\LARGE
\begin{otherlanguage}{farsi}
أبو عبد الله محمد بن موسى الخوارزمي
\end{otherlanguage}

  }
\end{center}


...ou si vous préférez Abu 'Abdallah Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi.


  Son livre le plus célèbre, qu'il  a écrit entre 813 et 833 alors qu'il
  travaillait à \textit{la maison de la sagesse} de Bagdad, se nomme:
  \begin{center}
{\LARGE
    \begin{otherlanguage}{farsi}
الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة
\end{otherlanguage}
}
  \end{center}


%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=7cm]{aljabr}
\end{center}
%\end{figure}

c'est-à-dire Al-Kitab al-mukhtasar fi hisab \emph{\LARGE al-jabr} wa-l-muqabala

ou bien encore:

\begin{center}
  L'Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison
\end{center}

 \begin{itemize}
  \item Pas de notations ni de nombres! Tous les nombres et calculs sont décrits par
    des phrases:
\item nombres (\textit{dirham});
\item racines (\textit{jidhr, ce qui est caché...})
  \item choses  (\textit{shay} transposé  en espagnol  \textit{Xay} qui  a donné
    notre $x$)
\item biens (\textit{\og mâl\fg{} en arabe}) carrés des racines.

  \end{itemize}
\textit{Al-jabr }  signifie   réduction,  au   sens   de   \og  réduction   d'une
  fracture \fg{}. \og Algebrista\fg{} est d'ailleurs entré dans la langue
  espagnole pour désigner un rebouteux.



 L'al-jabr
consiste  à  réduire  l'équation  en  éliminant  les  soustractions  par
addition de termes dans les deux membres.

En effet, à  l'époque d'Al-Khwarizmi, on ne travaillait qu'avec des entiers
positifs.

Par exemple:



$$x^2 =  40x -  4x^2$$ est transformé,  par al-jabr,  en $$x^2 +  4x^2 =
40x$$ puis 

$$5x^2= 40x$$

En  effet, Al-Khawarizmi  nomme les  termes soustraits  (comme  $4x^2$ dans
l'exemple précédent) : nâqis, \og terme enlevé \fg{}.

 Le même mot est employé
pour désigner le membre manquant d'un amputé.

  

 Al-jabr consiste donc
à restaurer ce qui est manquant dans une équation. 

 Al-muqabala signifie \og confrontation\fg{}.


$$x^2 +  5 = 40x +  4x^2$$ contient des  carrés dans les deux  membres, chaque
membre est pourtant une somme.


Al-muqabala consiste donc à soustraire une quantité afin que des quantités de
même type  (dirham, racine ou  carré) ne puissent  se trouver à  la fois
dans les deux membres de l'équation. 
Dans $$x^2 + 5 = 40x + 4x^2$$

 on soustrait $x^2$ pour obtenir 

$$5 = 40x + 3x^2$$


On  retrouve  alors un  des  six  types  d'équations qu'Al-Khwarizmi  a
étudié. Une méthode de résolution générale de chaque type était proposée
ainsi qu'une démonstration, souvent géométrique.
Voici un problème proposé par Al-Khwarizmi:




\begin{center}
   \textit{Un bien et
dix de ses racines égale trente-neuf dirhams.
}
\end{center}

\begin{quote}
\textit{ Il y a une autre figure qui mène également
à cela et c'est : la surface (AB), étant le bien,
nous voulons lui ajouter l'équivalent de dix de
ses racines. 
Nous divisons par deux les dix, elles
deviennent cinq, nous les transformons en deux
surfaces sur les flancs de la surface (AB), et ce
sont les deux surfaces (J), (N).
La longueur de chacune des deux surfaces
est cinq coudées -et c'est la moitié des dix
racines- et sa largeur est comme le côté de la
surface (AB). Il nous reste alors un carré dans
l'angle de la surface (AB), et c'est cinq par cinq,
et c’est la moitié des dix racines que nous avons
ajoutées sur les flancs de la première surface.  Or
nous savons que la première surface est le bien et
que les deux surfaces qui sont sur ses deux flancs
sont dix racines. Tout cela est donc trente neuf, et
il reste pour compléter la surface la plus grande,
un carré de cinq par cinq, et c'est vingt-cinq.
Nous l'ajoutons à trente neuf afin que se complète
la surface la plus grande, et c'est la surface (DE).
Tout cela vaudra soixante-quatre.  Nous prenons
sa racine, et c'est huit, et c'est l'un des côtés de la
surface la plus grande.  Si nous lui retranchons
l'équivalent de ce que nous lui avons ajouté -et
c'est cinq- il reste trois, et c'est le côté de la
surface ( AB ) qui est le bien, et c'est sa racine; et
le bien est neuf.}
\end{quote}



\begin{recherche}
  Faites un joli dessin et réfléchissez à la méthode proposée par Al.

  Essayez ensuite avec  $x^2+6x=40$ puis avec $x^2+6x=-10$...
\end{recherche}

 Nous  venons  de voir  qu'Al-Khwarizmi  n'utilisait  pas de  notations
  spéciales pour désigner les équations qu'il résolvait.


  Il a fallu des siècles pour arriver au stade actuel.

   \begin{itemize}
  \item \textsc{Diophante}, III\up{e} siècle : $\Delta^{\Upsilon}\delta\
    \zeta\gamma\ \epsilon\sigma\tau\iota \ \iota$
\item  Nicolas \textsc{Chuquet},  fin XV\up{e}  siècle:  $4^2\ \text{p}\
  3^1\text{ egault }10^0$
\item  \textsc{Tartaglia},  début  XVI\up{e}:  $4\text{q}\text{ p  }  3\text{R}
  \text{ equale } 10\text{N}$
\item   Simon   \textsc{Stévin},   fin   XVI\up{e}:   4\textcircled{2}
  $+3$\textcircled{1}  egales  10\textcircled{0}
\item François  \textsc{Viète}, vers  1600: 4  in A quad  $+3$ in  A \ae
  quatur 10
\item René \textsc{Descartes}, vers 1640: $4xx+3x\propto 10$
\item Guillaume \textsc{Connan}, vers 2018: $4x^2+3x=10$
  \end{itemize} 


 Vous remarquez donc que  les notations sont relativement récentes mais
  on  sait  résoudre des  équations  depuis  des  millénaires:  il ne  faut  pas
  confondre mathématiques et notations ni litttérature et alphabet...



                
% %\begin{figure}
% \begin{center}
%   \includegraphics[width=0.7\linewidth]{intervalle4}
% \end{center}
% %\end{figure}

% \begin{center}\psset{xunit=1cm,yunit=2cm}
% 	\begin{pspicture}(0,-0.3)(9,0.4) \psline{->}(0,0)(9,0)  \rput(4,0.4){$-\frac{1}{7}$} \rput(6,0.4){3}  \psline[linecolor=0.2white,linewidth=3pt](0,0.1)(6,0.1)\psline[linecolor=0.2white,linewidth=3pt](6.1,0.2)(6,0.2)(6,0)(6.1,0) \psline[linecolor=0.6white,linewidth=3pt](4,-0.1)(9,-0.1)\psline[linecolor=0.6white,linewidth=3pt](4.1,0)(4,0)(4,-0.2)(4.1,-0.2)  \end{pspicture}\\
	
% \end{center}

% 


% \section{Tableaux de signes}

% \subsection{Valeurs critiques d'une expression}

% \pro Vous verrez  l'an prochain, si vous passez  brillamment les épreuves
% de cette première année d'apprentissage Mathaïe, que la plupart du temps,
% nous résoudrons  des inéquations  pour étudier des  signes. Je  ne parle
% bien sûr pas des majestueux volatiles blancs.

% \sxap{Et en  plus il  m'impose ses  blagues à deux  centimes} Ah Ah Ah~!
% J'aimerai tant avoir votre humour.

% \pro Oh~!  Ça me vient  naturellement. Bon, revenons à  nos inéquations.
% Avant toute étude de signe, il faudra repérer les dangers~:

% \begin{figure}[!h]
%   \begin{Definition}[valeurs critiques]
%     Soit $E(x)$ une expression où apparaît une variable $x$. Les \emph{valeurs
% critiques} de l'expression $E(x)$ sur un intervalle $I$ de $\R$ sont
% \begin{itemize}
% \item les valeurs de $x$ dans $I$ pour lesquelles $E(x)$ s'annule (appelées \emph{racines} de l'expression) ;
% \item les  valeurs de $x$ dans  $I$ pour lesquelles  $E(x)$ n'existe pas
%   (appelées \emph{valeurs interdites} de l'expression).
% \end{itemize}
%     \end{Definition}
%   \end{figure}


% \sx Je demande à voir...

% \pro Voici quelques exemples~:





% \begin{figure}
%   \begin{Exemple}[]
%      Rechercher les valeurs critiques de $3x-1$ sur $\R$.
%     \end{Exemple}
%   \end{figure}


% Il est clair $3x-1=0$ si, et seulement si, $x=\frac{1}{3}$.

%  D'autre part,
%  $3x-1$ existe pour toute valeur de $x$ dans $\R$. 

% L'expression $3x-1$ admet donc exactement une valeur critique, $\frac{1}{3}$, qui
% n'est pas une valeur interdite.

% \begin{figure}
%   \begin{Exemple}[]
%     Rechercher les valeurs critiques de $x^2-4$ sur $\R$.
%     \end{Exemple}
%   \end{figure}




% L'équation $x^2-4=0$ équivaut à $(x-2)(x+2)=0$. Il y a donc deux
% racines, $2$ et $-2$. 

% D'autre part, $x^2-4$ existe pour toute valeur
% de $x$ dans $\R$, donc il n'y a pas de valeur interdite.


% L'expression $x^2-4$ admet donc exactement deux valeurs critiques,
% $2$ et $-2$, qui sont toutes deux des racines.


% \begin{figure}
%   \begin{Exemple}[]
%     Rechercher les valeurs critiques de $\frac{2x-5}{-x+7}$ sur $\R$.
%     \end{Exemple}
%   \end{figure}

% L'équation $\frac{2x-5}{-x+7}=0$ équivaut à $2x-5=0$. On obtient
% ainsi comme première valeur critique $\frac{5}{2}$, qui est l'unique
% racine de cette expression.

%  D'autre part, $\frac{2x-5}{-x+7}$
% n'existe pas quand $-x+7=0$. Pourquoi~?


% \sx Ben on ne peut pas diviser par zéro.

% \pro La force est avec vous jeune Mathaïe~!

% On a donc une seconde valeur critique,
% la valeur interdite $x=7$. 

% En conclusion, l'expression admet 2
% valeurs critiques, la racine $\frac{5}{2}$ et la valeur interdite $7$.



% \begin{figure}[!h]
%   \begin{Idee}{Valeur critique d'une expression affine}
%     Soient $a$ et $b$ deux réels, avec $a\neq 0$. L'expression
% $ax+b$ admet pour unique valeur critique son unique racine
% $x=-\frac{b}{a}$.
%     \end{Idee}
%   \end{figure}



% \subsection{Valeurs témoins et signe d'une expression}

% \pro On se place dans un intervalle $I$ dont les bornes $a$ et $b$
% sont éventuellement infinies.{\bf Une expression dépendant de la
% variable $x$ ne peut changer de signe que de part et d'autre d'une
% valeur critique. }

% \sx Excusez-moi de vous interrompre mais pourquoi ce la~?

% \pro Je  suis heureux de  constater que votre  esprit est en  alerte. La
% preuve de ce  résultat ne pourra vous être  donnée qu'en année terminale
% de  votre cycle  de formation  malheureusement. Pour  une  explication à
% notre niveau actuel, il faudra  attendre le prochain chapitre pour avoir
% une illustration graphique de la situation.

% \begin{figure}[!h]
%   \begin{Idee}{Détermination pratique du signe d'une expression sur un intervalle}
%     On peut  découper notre intervalle en petits  intervalles sans point
%     critique.

% Sur  ces petits  intervalles, l'expression  ne change  pas de  signe. Il
% suffit donc de tester sur une valeur témoin dans chaque mini intervalle.
%     \end{Idee}
%   \end{figure}

% \sx Cela semble très pratique... mais en fait je n'ai rien compris.

% \pro Fffffffff... Bon, prenons un exemple~:


% \begin{figure}[!h]
%   \begin{Exemple}[]
%     Déterminer le signe de $3x-1$ en fonction de la valeur de $x$ sur $\R$
%     \end{Exemple}
%   \end{figure}

% On a vu que l'expression $3x-1$ a exactement une valeur critique,
% $\frac{1}{3}$, qui n'est pas une valeur interdite. Il nous faut donc
% trouver le signe de $3x-1$ sur les intervalles $\left]-\infty;\frac{1}{3}\right[$
% et $\left]\frac{1}{3};+\infty\right[$.

%  Sur le premier intervalle, prenons la
% valeur témoin $x=0$. On obtient alors $3\times 0-1=-1<0$, donc
% l'expression est négative sur cet intervalle.


% Sur le second intervalle, prenons la valeur témoin $x=1$. On obtient
% alors $3\times 1-1=2>0$, donc l'expression est positive sur cet
% intervalle.
% On peut résumer ces informations dans le tableau de signes
% ci-dessous~:\medskip

% \begin{center}
%   \begin{TSc}
%     TSc(3*x-1,[-infinity,+infinity],n,\tv)
%     \end{TSc}
%   \end{center}

% Voyons un cas plus compliqué~:

% \begin{figure}[!h]
%   \begin{Exemple}[]
%     Déterminer le signe de  $x^2-4$ en fonction de la valeur de $x$ sur $\R$.
%     \end{Exemple}
%   \end{figure}

% On sait que l'expression $x^2-4$ admet exactement deux valeurs
% critiques, $2$ et $-2$, qui sont toutes deux des racines. Il faut
% donc déterminer son signe sur les intervalles $]-\infty;-2[$,
% $]-2;2[$ et $]2;+\infty[$. Pour cela on va choisir une valeur témoin
% dans chaque intervalle :
% \begin{itemize}
% \item sur $]-\infty;-2[$, en prenant $x=-3$ on obtient
% $(-3)^2-4=5>0$, donc l'expression $x^2-4$ est positive ;
% \item sur $]-2;2[$, en prenant $x=0$ on obtient
% $0^2-4=-4<0$, donc l'expression $x^2-4$ est négative ;
% \item sur $]2;+\infty[$, en prenant $x=3$ on obtient
% $3^2-4=5>0$, donc l'expression $x^2-4$ est positive.
% \end{itemize}
% On peut alors établir le tableau de signes suivant : 



% \begin{center}
%   \begin{TSc}
%     TSc(x^2-4,[-infinity,+infinity],n,\tv)
%     \end{TSc}
%   \end{center}

% Et un autre avec une valeur interdite~:


% \begin{figure}[!h]
%   \begin{Exemple}[]
%     Déterminer le signe de  $\frac{2x-5}{-x+7}$ en fonction de la valeur de $x$ sur $\R$.
%     \end{Exemple}
%   \end{figure}

% On sait que cette expression admet 2 valeurs critiques, la racine
% $\frac{5}{2}$ et la valeur interdite $7$. Il faut donc déterminer son
% signe sur les intervalles $\left]-\infty;\frac{5}{2}\right[$, $\left]\frac{5}{2};7\right[$ et
% $\Big]7;+\infty\Big[$. Pour cela on va choisir une valeur témoin dans chaque
% intervalle :
% \begin{itemize}
% \item sur $\left]-\infty;\frac{5}{2}\right[$, en prenant $x=0$ on obtient
% $\frac{2\times 0-5}{-0+7}=-\frac{5}{7}<0$, donc l'expression
% $\frac{2x-5}{-x+7}$ est négative ;
% \item sur $\left]\frac{5}{2};7\right[$, en prenant $x=5$ on obtient
% $\frac{2\times 5-5}{-5+7}=\frac{5}{2}>0$, donc l'expression
% $\frac{2x-5}{-x+7}$ est positive ;
% \item sur $\Big]7;+\infty\Big[$, en prenant $x=10$ on obtient
% $\frac{2\times 10-5}{-10+7}=-5<0$, donc l'expression
% $\frac{2x-5}{-x+7}$ est négative.
% \end{itemize}
% On peut alors établir le tableau de signes suivant, où la valeur
% interdite est représentée par une double barre verticale :
% \medskip


% % \begin{center}
% %   \begin{TSc}
% %     TSc((2*x-5)/(-x+7),[-infinity,+infinity],n,\tv)
% %     \end{TSc}
% %   \end{center}

%  %  \begin{center}
% %     \begin{TV*}{100}
% %       TV([-infinity,+infinity],[7],"f","x",-2*x-9*ln(abs(x-7)),2,n,\tv)
% %       \end{TV*}
% %     \end{center}

% \begin{center}
% \begin{tabular}{|c|lp{0.3cm}cp{0.3cm}cp{0.3cm}cp{0.3cm}||p{0.3cm}cp{0.3cm}r|}
% \hline $x$ & $-\infty$ && && $\frac52$ && & \multicolumn{2}{c}{$7$} & && $+\infty$
% \rule{0pt}{15pt}\\[5pt]
% \hline Signe de $\frac{2x-5}{-x+7}$ & && \cacheb{\Large $+$} && $\cacheb{0}$ && \cacheb{\Large $-$} & & & \cacheb{\Large $+$} &&\rule{0pt}{15pt}\\[5pt]
% \hline$
% \end{tabular}
% \end{center}


  \modeexercice
  

\section{Exercices}

\begin{exercice}
Comparer les nombres suivants en utilisant la méthode vue en
cours :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
    \item $12x^2+7$ et $6x^2+5$ \rule{0pt}{17pt} ;
    \item $5x+7$ et $-3+5x$ ;
    \item $\displaystyle\frac{12}{7}$ et $\displaystyle\frac{7}{4}$ ;
    \item $\displaystyle\frac{127}{57}$ et $\displaystyle\frac{48}{57}$ ;
    \item $\displaystyle\frac{9,01}{10^{53}}$ et $\displaystyle\frac{90,11}{10^{54}}$ ;
    \item $\displaystyle\frac{10^{35}}{10,01}$ et $10^{34}$ ;
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exercice}






\begin{exercice}
  Soient $x$ et $y$ sont deux nombres réels positifs tels que
$x<y$. Comparer les nombres suivants en  précisant à chaque étape la
propriété utilisée :
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
    \item $7x-5$ et $7y-5$ ;
    \item $-5x+4$ et $-5y$ ;
    \item $\displaystyle\frac{x}{2}$ et $\displaystyle\frac{y}{2}$ ;
    \item $\displaystyle\frac{7}{x}$ et $\displaystyle\frac{7}{y}$ ;
    \item $x^2-1$ et $y^2-1$ ;
    \item $\displaystyle\frac{-3x}{13}$ et $\displaystyle\frac{-3y}{13}$ ;
    \item $\displaystyle\frac{7x}{4}-5$ et $\displaystyle\frac{7y}{4}+1$ ;
    \item $\displaystyle\frac{-15x}{7}$ et $\displaystyle\frac{-15y-8}{7}$ ;
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exercice}




\begin{exercice}
 Soit $a$ un nombre positif. Le but de cet exercice est de
comparer $a$, $a^2$ et $a^3$. Nous commencerons par observer
quelques exemples avant de démontrer la règle générale.
\begin{enumerate}
    \item Ordonner $a$, $a^2$ et $a^3$ pour les valeurs de $a$ suivantes :
    $a_1=0,1$ ; $a_2=0,5$ ; $a_3=1$ ; $a_4=5$ ; $a_6=12$.
    \item Les réponses sont-elles les mêmes pour toutes les valeurs
    précédentes ? Autour de quelle valeur de $a$ y a-t-il un changement ?
    \item On suppose $a>1$. En utilisant un critère adapté, ordonner
    $a$ et $a^2$, puis $a^2$ et $a^3$.
    \item On suppose cette fois-ci $a<1$. En utilisant un critère bien
    adapté, ordonner $a$ et $a^2$, puis $a^2$ et $a^3$.
    \item Que se passe-t-il pour $a=1$ ? En déduire la règle générale sur
    l'ordre de $a$, $a^2$ et $a^3$.
\end{enumerate} 
\end{exercice}





\begin{exercice}
  Parmi les phrases suivantes, quelles sont celles qui
définissent des intervalles de $\R$ ? Donner, quand cela est
possible, la notation correspondante.
\begin{enumerate}
    \item Tous les nombres réels strictement plus petits que $15$.
    \item Tous les entiers pairs.
    \item Tous les nombres réels strictement compris entre $-5$ et 0.
    \item Tous les nombres réels dont la valeur absolue vaut $5,2$.
    \item Tous les nombres réels positifs ou nuls.
    \item Tous les entiers compris entre $2,4$ inclus et $11,8$ exclus.
    \item Tous les nombres réels dont la valeur absolue est inférieure ou égale à $1,3$.
    \item Tous les nombres réels dont la valeur absolue est supérieure ou égale à $1,3$.
\end{enumerate}

\end{exercice}



\begin{exercice}
  

La vitesse de la lumière est de $2,99792458 \times 10^8 \, m.s^{-1}$.\\
Lors d'une expérience, on a  établi que le temps nécessaire à la lumière pour aller de la Terre à la Lune est de $1,285s$ à $0,005s$ près.\\

Donner un encadrement de la distance Terre-Lune.

\textit{NB} :  la précision  de cette  distance est de  nos jours  inférieure au
$mm$, ce qui nous permet de savoir que la Lune s'éloigne de nous...
\end{exercice}




\begin{exercice}
  On donne ci-dessous 8 inéquations :
    \begin{itemize}
    \begin{multicols}{3}
            \item $-2<x<4$ ;
            \item $x \geqslant  -2,5$ ;
            \item $0 \leqslant  x<3,8$ ;
            \item $-3 \leqslant x \leqslant  -0,5 $ ;
            \item $x>0$ ;
                        \item $x \geqslant  -3$.
    \end{multicols}
    \end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Donner l'intervalle de $\R$ défini par chaque inéquation.
\item Représenter graphiquement chacun des intervalles précédents.
\end{enumerate}
\end{exercice}









\begin{exercice}
  On considère les nombres réels suivants : $2$ ; $-2$ ; $0$ ;
$-\frac{16}{3}$ ; $18$ ; $7$ ; $6,99$ ; $-2,1$ ; $1$.
\begin{enumerate}
\item Lesquels de ces nombres sont inclus dans l'intervalle $[-2;7[$~?
\item Lesquels sont inclus dans l'intervalle $]-\infty;-2]$ ?
\item Lesquels sont inclus dans l'intervalle $]0;7]$.
\end{enumerate}

\end{exercice}





\begin{exercice}
  On considère les nombres réels suivants : $2$ ; $-2$ ; $0$ ;
$-\frac{16}{3}$ ; $18$ ; $7$ ; $6,99$ ; $-2,1$ ; $1$.
\begin{enumerate}
\item Lesquels de ces nombres sont inclus dans l'intervalle $[-2;7[$~?
\item Lesquels sont inclus dans l'intervalle $]-\infty;-2]$ ?
\item Lesquels sont inclus dans l'intervalle $]0;7]$.
\end{enumerate}

\end{exercice}




\begin{exercice}
  Trouver deux nombres décimaux appartenant à l'intervalle
$[\frac{17}{3};\frac{18}{3}[$, puis deux autres dans l'intervalle
$]-12,78;-12,77[$.

\end{exercice}





\begin{exercice}
  Représenter graphiquement l'intersection des intervalles
$[-2;5]$, $]-1,4;6]$ et $[-4;4[$. Donner ensuite sa notation en
intervalle et l'égalité à laquelle il correspond.

\end{exercice}







\begin{exercice}
  
\begin{enumerate}
	\item On donne les intervalles $I=]-3;3]$ et $J=]-\infty;1]$
	\begin{enumerate}
		\item Compléter avec $\in$ ou $\notin$: \hspace{1cm}   $-\pi............I$  \hspace{1cm}  $\sqrt{2}-1............J$
		\item Dessiner en vert l'intervalle $I$ et en rouge l'intervalle $J$ sur une droite graduée :\\
		% \begin{center}
		% \includegraphics[width=\linewidth]{ordre.4}
		% \end{center}
		\item Déterminer $I\cap J$ et $I\cup J$
	\end{enumerate}
	\item On donne les intervalles $I=]-1;4[$ et $J=[-3;+\infty[$
	\begin{enumerate}
		\item Dessiner en vert l'intervalle $I$ et en rouge l'intervalle $J$ sur une droite graduée :\\
		% \begin{center}
		% \includegraphics[width=\linewidth]{ordre.4}
		% \end{center}
		\item Déterminer $I\cap J$ et $I\cup J$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{exercice}


\begin{exercice}
  Build a table which summerize the sign of the following expressions, showing
the computations leading to the critical values and involving 
test values.
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $2x-5$ ;
\item $-3x+4$ ;
\item $\frac{3}{7}x-2$ ;
\item $-2-12x$ ;
\item $7-\frac{2}{3}x$ ;
\item $-3+3x$.
\item $2+\sqrt{2}x$ ;
\item $-3x+7$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercice}

\begin{exercice}
  In this exercise we will extend the method of the signe table
to products of linear expressions.
\begin{enumerate}
\item Give the signs of the expressions $3x-15$ and $-5x-7$ in a sign table.
\item Use the previous question to copy and fill the next table.
\begin{center}
\begin{tabular}{c|lp{1cm}|p{1cm}p{1cm}|p{1cm}r}
$x$ & $-\infty$ & \multicolumn{2}{c}{$-\frac{7}{5}$} &
\multicolumn{2}{c}{$5$} & $+\infty$ \\ \hline
$3x-15$ & && && \\ \hline
$-5x-7$ & && && \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\item Add a row to the new table where you will show the sign of the
product $(3x-15)(-5x-7)$ over each interval.
\item Use the last row of the table to solve the inequations
$(3x-15)(-5x-7)>0$ and $(3x-15)(-5x-7)\leq 0$.
\end{enumerate}
\end{exercice}




\begin{exercice}
  
A dictator has bought $48$ meters of fence to build a
rectangular enclosure for his prime minister. Let $x$ be the length of the
smallest side of the enclosure and $y$ the length of the longest
side.
\begin{enumerate}
\item Prove that $y=24-x$.
\item Compute the area of the enclosure as a function of $x$.
\end{enumerate}
The dictator wants the enclosure to have an area of at least $135$
square meters. He wants to know what are the possible lengths for
the sides to do so.
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{2}
\item What inequation must we solve to answer to this problem ?
\item Check that this inequation is equivalent to $(x-15)(x-9)\leq
0$.
\item Solve this new inequation using a sign table.
\item Conclude.
\end{enumerate}
\end{exercice}







\begin{exercice}
  
A company is building items in large quantities. Let $x$ be
the number of thousands of items built. Each item is sold at the
price of £$15$ per unit. We call $S(x)$ the total of the sales,
in thousand of euros.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
    \item Compute $S(1)$, $S(2)$ and $S(3)$.
    \item Find the general formula for $S(x)$.
    %\item Draw the graph of $S$ in a coordinate system with units $5cm$ for 1 unit
 %   on the $x$-axis 1cm for 5 unit on the $y$-axis.
    \end{enumerate}
%\end{enumerate}

%\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{1}
% \item \begin{enumerate}
%     \item Draw the graph of $C$ on the same coordinate graph as $S$.
%     \item Find out graphically when the company has a positive balance (difference between sales and
%     cost).
%     \end{enumerate}
\item The cost of fabrication of $x$ thousand of items has been proved to
be close to $C(x)=25x^2-85x+75$.
\begin{enumerate}
    \item Prove that the balance of the company is equal to $B(x)=25x^2-100x+75$.
    \item Prove that $B(x)=25(x-1)(x-3)$.
    \item What equation must we solve to find out for how many items
    the company will have a positive balance ?
    \item Solve this equation using a sign table.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

\modenormal

%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "Poly2nde2018_19"
%%% End:
