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	\raisebox{#1}{%
		$\left(\raisebox{-#1}{\ensuremath{#2}}\right)$}}
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\newcommand{\Fonc}[5]{#1~\colon~\begin{array}{rll} #2 &\to &#3\\ #4& \mapsto &#5 \end{array}} % fonction d'une autre variable
\newcommand{\illt}[4]{\begin{minipage}[t]{#3\linewidth}\vspace{0cm}#1\end{minipage}\hspace{0.5cm}\begin{minipage}[t]{#4\linewidth}\vspace{-0.25cm}
\hspace{5.5cm} \begin{flushright}\includegraphics[width=\linewidth]{#2}\end{flushright}\end{minipage}}

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%  %     \textcolor{gray!10}{\_}Haskell \textcolor{gray!10}{\_}}}}
% }

% %%% Fraction en oblique
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	\raisebox{0ex}{$#1$}\negthinspace\slash
	\raisebox{-.5ex}{$#2$}}


\newcommand{\RR}{\mathcal{R}}

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%transposee
\usepackage{fouridx}
\newcommand*{\transp}[1]{\fourIdx{{\rm t}}{}{}{}{#1}}
\newcommand\tr{\vphantom{}^{\rm t}}

\newcommand{\dd}{\text{ d}}


\paper{DS-M12} % <- do not include FC, FT etc
%\version{0}                     % <- for multiple choice exams
\title{Devoir Surveillé - Mathématiques}
\time{cent dix-huit minutes} % <- number of hours: default is three
\semester{Terminale S3}
\annee{15 Octobre 2018} % <- default is the current year

% %\campus{City}
%\note{\small \bfseries Vous justifierez vos réponses
%  avec le plus grand soin. 
 % MAY THE FORCE BE WITH YOU!}


\begin{document}

{\small


\setcounter{ex}{3}


\begin{exercice}[]

  \begin{multicols}{2}
  \begin{enumerate}
  \item Notons $(E_1)$ l'équation $(2+4\I)z + 5=(5+\I)z+3\I$

    \begin{eqnarray*}
      (E_1)&\Longleftrightarrow& (2+4\I-5-\I)z=-5+3\I\\
      (E_1)&\Longleftrightarrow& z = \dfrac{-5+3\I}{-3+3\I}\\
       (E_1)&\Longleftrightarrow&      z     =      \dfrac{-5+3\I}{-3(1-\I)}\times
                                \dfrac{1+\I}{1+\I}\\
      (E_1)&\Longleftrightarrow& z = \dfrac{-5+3\I-5\I-3}{-3(1^2+1^2)}\\
      (E_1)&\Longleftrightarrow& z = \dfrac{-8-2\I}{-6}\\
      (E_1)&\Longleftrightarrow& z = \dfrac{4+\I}{3}\\
    \end{eqnarray*}
  \item Soit $(E_2)$ l'équation $\dfrac{2}{\bar{z}}=\dfrac{1}{2-\I}+\dfrac{1}{1+2\I}$
    \begin{eqnarray*}
      (E_2)&\Longleftrightarrow&\dfrac{2}{\bar{z}}=\dfrac{1+2\I+2-\I}{2+4\I-\I+2}\\
      (E_2)&\Longleftrightarrow&\dfrac{2}{\bar{z}}=\dfrac{3+\I}{4+3\I}\\
      (E_2)&\Longleftrightarrow&\dfrac{\bar{z}}{2}=\dfrac{4+3\I}{3+\I}\times\dfrac{3-\I}{3-\I}\\
      (E_2)&\Longleftrightarrow&\bar{z}=\dfrac{2(12-4\I+9\I+3)}{9+1}\\
      (E_2)&\Longleftrightarrow&\bar{z}=\dfrac{15+5\I}{5}\\
      (E_2)&\Longleftrightarrow&\bar{z}=3+\I\\
      (E_2)&\Longleftrightarrow&z=3-\I
    \end{eqnarray*}
  \end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercice}



\begin{exercice}[]
    
\begin{enumerate}
\item On calcule $P(z_0)$ sachant que $\I^3=-\I$ et $\sqrt{2}^3=2\sqrt{2}$:
\begin{eqnarray*}
  P(z_0)&=&  (\I\sqrt{2})^3 -  \left(2  + \text{i}\sqrt{2}\right)(\I\sqrt{2})^2  +
  2\left(1 + \text{i}\sqrt{2}\right)\I\sqrt{2} - 2\text{i}\sqrt{2}\\
 P(z_0)&=&  -2\I\sqrt{2} +2\left(2  + \text{i}\sqrt{2}\right)  +2(\I\sqrt{2}-2)-
           2\text{i}\sqrt{2}\\
  P(z_0)&=& -2\I\sqrt{2} + 4 + 2\I\sqrt{2} + 2\I\sqrt{2} -4 - 2\I\sqrt{2}\\
   P(z_0)&=&0
\end{eqnarray*}

donc $\I\sqrt{2}$ est bien une racine de P.
\item  
	\begin{enumerate}
        \item On développe et identifie:
\begin{eqnarray*}
   \left(     z    -     \text{i}\sqrt{2}\right)     \left(z^2     +    az     +
  b\right)&=&z^3+(a-\I\sqrt{2})z^2+(b-\I a\sqrt{2})z-\I b\sqrt{2}\\
  &=& z^3 + \left(-2 - \text{i}\sqrt{2}\right)z^2 + \left(2 + \text{i}2\sqrt{2}\right)z - 2\text{i}\sqrt{2}
\end{eqnarray*}

On en déduit que
\begin{cases}
  b=2\\
  a=-2
\end{cases}

Donc $P(z)=(z-\I\sqrt{2})(z^2-2z+2)$



		\item On en déduit que $P(z)=0\Longleftrightarrow
                  \begin{cases}
                    z=\I\sqrt{2}\\
                    \text{ou}\\
                    z^2-2z+2=0 (E)
                  \end{cases}
                  $

                  On résout donc l'équation $(E)$

                  \begin{eqnarray*}
                    (E)&\Longleftrightarrow& (z-1)^2-1+2=0\\
                    (E)&\Longleftrightarrow& (z-1)^2=-1\\
                    (E)&\Longleftrightarrow& z-1=\pm\I\\
                    (E)&\Longleftrightarrow& z = 1 \pm \I
                  \end{eqnarray*}

Les solutions de $P(z)=0$ sont donc $1+\I$, $1-\I$ et $\I\sqrt{2}$.
                  
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	
	 
  
\end{exercice}



\begin{exercice}[]
  

\begin{enumerate}
\item $- z^2  + 2z - 2 =  0 \Longleftrightarrow z^2-2z+2=0$ qui a  été résolue à
  l'exercice précédent et dont les solutions sont $1+\I$ et$1-\I$. 

  Or $z'=2\Longleftrightarrow -z^2+2z=2 \Longleftrightarrow z^2-2z+2=0$

  Les affixes des points demandés sont donc $1+\I$ et$1-\I$.
  
\item    Calculons     l'affixe    du    milieu    I     de    $[NM']$.    Alors
  $z_I=\dfrac{z_N+z_{M'}}{2}$.

  Or $\dfrac{z_N+z_{M'}}{2}=\dfrac{z^2+(-z^2+2z)}{2}=z=z_M$ donc $I=M$
  
\end{enumerate}
\end{exercice}







\begin{exercice}[]
 
  Soit  $g$  la fonction  définie  sur  $\bbr$  par $g(x)=x^3\E^{-x}$.  On  note
  $\Gamma$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
 
  \begin{enumerate}
\item                     On                      calcule                     la
  dérivée.    $g'(x)=3x^2\E{-x}+x^3(-\E^{-x})=x^2\E^{-x}(3-x)$.   Comme    $x^2$
  est positif sur $\bbr$ et $\E^{-x}$  est strictement positif sur $\bbr$, alors
  $g'(x)$ est du signe de $3-x$.

  On en déduit que $g$ est croissante sur $]-\infty,3]$ et décroissante sur $[3,+\infty[$.
\item  On a  $g(1)=1/\E$ et  $g'(1)=2/\E$. Or  une équation  de la  tangente est
  $y=g'(1)\times(x-1) + g(1)$ donc $$y=\frac{2x-1}{\E}$$
\end{enumerate}

\end{exercice}


\begin{exercice}[]
  \begin{enumerate}
  \item D'après l'étude statistique, on peut écrire que:
    \[
\underbrace{u_{n+1}}_{\text{effectif                                       année
    suivante}}=\uderbrace{(1-\frac{10}{100})}_{\text{Baissse                  de
    10\%}}+\underbrace{250}_{\text{Arrivée de 250 nouveaux élèves}}=0,9u_n+250
    \]
    \item 
      \begin{enumerate}
      \item Calculons  $w_{n+1}$ en fonction de  $w_n$ en cherchant $k$  tel que
        $w_{n+1}=kw_n$:
        \begin{eqnarray*}
          w_{n+1}&=&u_{n+1}-2500\\
                 &=&0,9u_n+250-2500\\
          &=&0,9u_n+0,1\times 2500
              -2500\\
                 &=&0,9u_n-2500(1-0,1)\\
                 &=&0,9u_n-0,9\times 2500\\
                 &=&0,9(u_n-2500)\\
                 &=&0,9w_n
        \end{eqnarray*}

        Donc $(w_n)$ est une suite géométrique de raison 0,9 et de premier terme $w_0=u_0-2500=471$.
      \item On en déduit que pour tout entier $n$ on a $w_n=471\times 0,9^n$. Or
        $u_n=w_n+2500$ donc finalement: \[u_n=471\times 0,9^n+2500\]
      \end{enumerate}
    \item Pour tout entier naturel $n$:
      \[
        u_{n+1}-u_n=0,9u_n+250-u_n=-0,1u_n+250=-0,1(471\times 0,9^n+2500)+250 = -47,1\times0,9^n-250+250=-47,1\times0,9^n\]
    \item La suite  $(u_n)$ est donc décroissante car  $u_{n+1}-u_n$ est négatif
      pour  tout entier  naturel $n$.  Or $u_n=471\times  0,9^n+2500>0$ donc  la
      suite $(u_n)$ est décroissante et minorée donc converge.
    \item On  cherche à trouver  le plus petit entier  naturel $n$ tel  que $u_n
      \leqslant 2801$, i.e. $471\times0,9^n+2500 \leqslant 2801$ soit:
      $$0,9^n \leqslant \frac{301}{471}\simeq 0,639$$
      À  la calculatrice  on trouve  $0,9^4= 0,6561$  et $0,9^5\simeq  0,59$. Il
      faudra donc attendre $2018+5=2023$

%$
      
    \item  Aucun  ne  convient...À  chaque  fois  $x$  est  un  entier  et  doit
      représenter $n$ or il est réaffecté comme si c'était $u_n$ avec $0,9x+250$
      ou $-50\times 0,9^x$...
 
\end{enumerate}

\end{exercice}

}

\end{document}
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%%% End:
